16.1(第1课时)二次根式的概念（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.1(第1课时) 二次根式的概念 第16章 二次根式 “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远． “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则，其中R是地球半径，约为6400km． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度h为800m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值； (2)已知一座山的海拔为320m，这座山到海边的最短距离为60km，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 若x2＝16，则x＝_______；若y 2＝3，则y＝_____． ±4 若正方形的面积为S，则正方形的边长为_____． S 思考： 思考： 思考： 思考： 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)一张海报为长方形，若长是宽的3倍，面积为9 m2，则它的宽为_____m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_______． (2)一个圆柱的体积为V，高为H，则底面半径为R=__ ___． 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， , 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， , ． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 这些式子有什么共同特征？ 思考： 问题1： 问题2： 概念学习：二次根式 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”． 例1 例2 当 a 或者x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）由 x－1≥0， 得 x≥1． 所以当 x≥1 时， 在实数范围内有意义． （2）由 ≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3． 所以当 a＜3 时， 在实数范围内有意义． （1） ;（2） ;（3） ; (4) ; （5） ． 例2 当 a或者x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （5）由 x－4≥0，得 x≥4．由 x－6≠0，得 x≠6． 当 x≥4 且 x≠6 时， 在实数范围内有意义． （1） ;（2） ;（3） ; (4) ; （5） ． 解：(3)，解得 所以时， 在实数范围内都有意义． （4）因为不论 a 为何值， ≥0 恒成立， 所以 a 取任意实数， 在实数范围内都有意义． 　　求使式子有意义的字母取值范围： 　　（2）分式型： 　　（3）零指数幂型：a0＝1 　　（1）二次根式型： 被开方数≥0 分母≠0 底数≠0 思考： (2)当 x 时， 在实数范围内有意义. (1)当 x 时， 在实数范围内有意义. 当 x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 为任意实数 为非负数 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值 范围又是什么？ 当a ＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0； 当a =0时， 表示0的算术平方根，因此 =0. 这就是说，当a ≥0时， ≥0. 我们把这个性质叫做二次根式的双重非负性. 思考： 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的 被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性 例3 已知 +2 +6,求 的值. 解题技巧 当出现多个根号里面互为相反式时，根据二次根式的性质，必须每个二次根式的被开方数（式）都为零. 例4 已知y= ,求8x+5y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴8x+5y=64. ∵64的算术平方根为8， ∴8x+5y的算术平方根为8． 出现 的形式，根据二次根数的双重非负性， 可得a=0. 例5 △ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足 b2－4b＋4＋ ＝0，求c的取值范围． 又∵a，b，c为三角形的三边长， ∴b＝2，a＝5. ∴3<c<7. 解：依题意，得(b－2)2＋ ＝0， 若满足等式，则的值 若满足等式，则的值 例6 若m满足等式，的值. 例7 先观察下列等式，再回答问题． (1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子； (2)你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律． 例8 运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系： ，其中重力加速度常数 若已知地球半径R≈6400km，则第一宇宙速度v是多少？ 解：由题意得，第一宇宙速度 例9 “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则，其中R是地球半径，约为6400km． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度h为800m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值； 例9 “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则，其中R是地球半径，约为6400km． (2)已知一座山的海拔为320m，这座山到海边的最短距离为60km，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 定义 有意义的条件 双重非负性 带有二次根号 被开方数为非负数 抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式求出其解集. 二次根式 二次根式 中,a≥0且 ≥0 1.下列各式中不是二次根式的是 ( ) A. B. C. D. C 2.下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B 3.若 ，则x-y的值为 ( ) A．1 B．－1 C．7 D．－7 C 4.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 5.若 , 则a-b+c=_____. 3 6.若 , , 则代数式的值为___________. 4 7.已知 ，试求x+2y的值. 解：由题意知 解得x=1， y=2024， 所以 1-x ≥ 0, x-1 ≥ 0 所以x+2y=1+2×2024=4049. 8.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 　 （1） ；　　（2） ；　　（3） ；　　（4） ． 解：（1）由 a－7≥0，得 a≥7． 当 a≥7 时， 在实数范围内有意义． （2）由 2a＋3≥0，得 a≥ ． 当 a≥ 时， 在实数范围内有意义． （3）由 －a≥0，得 a≤0． 当 a≤0 时， 在实数范围内有意义． （4）由 5－a≥0，得 a≤5． 当 a≤5 时， 在实数范围内有意义． 9.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求4x+6y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴4x+6y=4+2×6=16， ∴4x+6y的平方根为±4. 10.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ， 求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． ± (2)＝n. 解：(1)＝5，＝6； ＝2， ＝3， ＝4，… $$