第02讲 平面向量的运算（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第02讲 平面向量的运算 【人教A版2019】 模块一 平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减 法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设， 化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 【题型1 向量的加法、减法运算】 【例1.1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【解答过程】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B. 【例1.2】（24-25高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一下·江西九江·阶段练习）下列各式化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的加减法运算法则求解. 【解答过程】对于A，因为，A错误， 对于B，因为，所以，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 【变式1.2】（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】利用向量加法、减法法则逐个计算即可. 【解答过程】，（1）是； ，（2）不是； ，（3）是； ，（4）不是； ，（5）是， 所以化简结果为的个数为3. 故选：C. 【题型2 平面向量的混合运算】 【例2.1】（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）设分别是所在边上的两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】由题意知，点分别是边上的两点，且满足， 可得. 故选：B. 【例2.2】（23-24高三上·重庆·期中）在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量的线性运算计算即可. 【解答过程】 因为，所以， 则， 所以，，. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【解题思路】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式2.2】（24-25高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【解题思路】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【题型3 平面向量共线定理及其应用】 【例3.1】（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 【解题思路】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值. 【解答过程】由于，，三点共线，所以与共线. 存在实数，使得，即. 因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则. 由，将其代入可得. 故选：D. 【例3.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 【变式3.1】（2024高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】由向量平行可得出，列出方程求解即可. 【解答过程】因为，所以存在实数，使得， 即， 又因为不共线， 所以 解得． 故选：A. 【变式3.2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【解题思路】根据向量共线的判定定理结合平面向量基本定理逐项分析判断. 【解答过程】因为向量，向量为平面内两个不共线的单位向量， 且，， 对于选项A：若A、B、C三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以A、B、C三点不共线，故A错误； 对于选项B：因为， 若A、C、D三点共线，则，其中， 则则，方程组无解， 所以A、C、D三点不共线，故B错误； 对于选项C：因为， 所以A、B、D三点共线，故C正确； 对于选项D：若B、C、D三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以B、C、D三点不共线，故D错误； 故选：C. 【题型4 向量线性运算的几何应用】 【例4.1】（2024高三·北京·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由平面向量的加减及线性运算即可求解. 【解答过程】由题意：， 则 因为，同样, 所以 则． 故选：D. 【例4.2】（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【解题思路】在上取点，使得，在上取点，使得，即可确定点的位置，再求出、、与的关系，即可得解. 【解答过程】在上取点，使得，在上取点，使得， 在上取点，使得，在上取点，使得， 连接、，则、，因为， 所以与交于点，    又，， 所以， 所以. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【解题思路】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【解答过程】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以， 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 【变式4.2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 模块二 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边 等号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 【题型5 求向量数量积】 【例5.1】（24-25高二上·广东韶关·期中）已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【解题思路】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【解答过程】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 【例5.2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知两个单位向量，的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D．5 【解题思路】首先根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得. 【解答过程】因为两个单位向量，的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 【变式5.1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，结合数量积的定义得，最后由数量积的运算律即可求解. 【解答过程】， ， ， ，，， ， ， ， 故选：C. 【变式5.2】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直角三角形的几何性质，结合相似三角形的性质，利用平面向量的数量积的定义公式，可得答案. 【解答过程】由题意可作图如下： 由，则 由，则， 解得， 易知，则， 即， . 故选：B. 【题型6 向量夹角（夹角的余弦值）的计算】 【例6.1】（24-25高二上·上海嘉定·期中）若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】要卖给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出，进而求出向量夹角. 【解答过程】由及，得，解得， 又，则，， 所以与的夹角. 故选：C. 【例6.2】（24-25高三上·上海·阶段练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得，两边平方先求出可求出，，的值，从而可得答案. 【解答过程】因为，，且，所以， 所以，即，解得 又，， ， ， 所以， 故选：D. 【变式6.1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件分别求出，，，在求出，，即可求解. 【解答过程】因为，所以，所以， 即，所以，即， ，，，即； ，，，即； ， ， ， 所以. 故选：D. 【变式6.2】（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据且与不共线，可求出结果. 【解答过程】根据题意可得且与不共线， 则， 所以，解得， 当与共线时，即存在，使得， 解得， 因为与不共线，所以， 所以且， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【题型7 垂直关系的向量表示】 【例7.1】（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【解题思路】由向量在向量上的投影向量是得出，再由可得答案. 【解答过程】因为向量在向量上的投影向量是， 所以，化简得， 因为，所以， 解得. 故选：C. 【例7.2】（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【解题思路】由数量积的定义可求出，再由向量垂直的性质求解即可得出答案. 【解答过程】解：，是夹角为的两个单位向量， 则，， 因为与垂直， 则， 即，解得. 故选：A. 【变式7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量的数量积的运算律及向量垂直的性质求解即可. 【解答过程】因为，所以，即，则， 又因为，将两边平方得， 从而，故． 故选：B． 【变式7.2】（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意先解出，由与垂直，解出即可. 【解答过程】因为，所以，因为与垂直， 所以，得，得， 解得. 故选：A. 【题型8 向量的模的计算】 【例8.1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知，是单位向量，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据，求出，再结合向量的数量积的性质求. 【解答过程】因为，是单位向量，所以. 又，所以，所以 ，所以. 又 . 所以. 故选：D. 【例8.2】（2024·湖南湘西·模拟预测）已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值. 【解答过程】因为均为单位向量，且且， 所以， ， 当时，的最小值为. 故选：B. 【变式8.1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知平面向量，，满足，，若，共线，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由与共线，分共线同向和共线反向讨论，并结合向量模和数量积运算求解. 【解答过程】因为与共线，，， 当与共线同向时，则， 所以， ，这与矛盾， 所以与共线反向时，则， ， ，即，解得， . 故选：B. 【变式8.2】（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由平面向量数量积的运算和模长公式可得的最小值为3，结合二次函数最值得，即可根据数量积的运算律求解. 【解答过程】已知， 又任意，的最小值为，则的最小值3， 记，则的最小值为3， 即，即， 又向量与夹角为锐角，则， 则， 又向量满足，则， 即， 即， 即. 故选：D． 【题型9 向量数量积的最值问题】 【例9.1】（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【解答过程】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 【例9.2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意知，即BC⊥CD，因为图形对称，所以只考虑E在边BC，CD上的运动情况即可，在两种情况下，利用向量共线表示出，利用数量积即可得到范围. 【解答过程】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可， 又， 所以，即BC⊥CD，则， ①当点E在边BC上运动时，设，则， 所以； ②当点E在边CD上运动时，设，则， 所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【变式9.1】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且.    (1)当为AD的中点时，求CP的长度； (2)求的最小值. 【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算可得，结合向量的几何意义和数量积的定义即可求解； （2）设（），根据平面向量的线性运算可得，，利用数量积的运算律可得 ，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）由，得， 因为，所以， 又， 所以； （2）设，， 则， ， 所以 ， 当时，取到最小值，且为. 【变式9.2】（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【解题思路】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果； （2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 【解答过程】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以 ， 所以 . （2）因为，所以， 因为 ， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 一、单选题 1．（23-24高一下·新疆阿克苏·期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加法、减法法则可判断各选项. 【解答过程】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：B． 2．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【解题思路】由计算可得结果. 【解答过程】由可得 ， 所以. 故选：A. 3．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由数量积的运算结合夹角公式可得. 【解答过程】因为，，所以， 又，所以， 又， 所以向量与夹角的正弦值为. 故选：D. 4．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【解答过程】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C. 5．（24-25高一下·浙江温州·阶段练习）设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【解题思路】根据三点共线可得向量共线，利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意， 且， 因为三点共线， 所以存在实数，使得, 所以， 即，解得. 故选：A. 6．（23-24高一下·天津·阶段练习）若向量，满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【解题思路】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，求解投影向量即可得结论. 【解答过程】对于A，，则，A错误； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，又在上的投影向量为，D错误. 故选：C. 7．（23-24高二上·江西景德镇·期中）  八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中，则给出下列结论： ①；②；③． 其中正确的结论为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解题思路】根据平面向量的线性运算逐项进行化简计算，由此确定出正确选项. 【解答过程】对于①：因为，故①错误； 对于②：因为，则以为邻边的平行四边形为正方形， 又因为平分，所以，故②正确； 对于③：因为，且， 所以，故③正确， 故选：C. 8．（23-24高一下·北京石景山·期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题： ①； ②； ③在上的投影向量为； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4． 其中正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断①②,由投影向量和投影数量判断③④得答案． 【解答过程】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于①，，故①错误； 对于②，，则以，为邻边的对角线长是的倍， 可得，故②正确； 对于③，在上的投影向量为，故③正确； 对于④，设的夹角为，则，其中表示在上的投影数量， 易知,延长DC交AB延长线于Q,当P在线段DC上运动，投影数量最大， 易知为等腰直角三角形，且, 则在中，, 在等腰三角形中， 则 .故④正确. 则正确的个数共有3个. 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在的方向上的投影向量为 【解题思路】将平方，可得，可判断A，B；由向量模长公式分别计算，验证C；由投影向量公式验证D. 【解答过程】由于， 又因为，所以，故， 故A正确，B错误； 因为，故， 又，故， 所以，C正确； 在的方向上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据向量间关系判断向量平行关系判断A,B,C,假设向量共线求参法判断D. 【解答过程】因为，是不共线的向量，所以，都不是零向量． A中，若与共线，则，共线，这与已知矛盾，所以与不共线； B中，因为，所以与共线； C中，因为，所以与共线； D中，若与共线，则存在实数，使， 即，所以． 因为，是不共线向量， 所以，方程组无解， 所以与不共线. 故选：BC. 11．（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【解题思路】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量的数量积的定义与运算公式，投影向量的求解，以及共线的向量的表示，逐项判定，即可求解 【解答过程】对于A：根据平面向量的运算法则，可得，所以A不正确； 对于B：由平面向量的数量积的运算公式，可得， 在正六边形中，可得，所以， 所以，所以B正确； 对于C：因为，且， 所以，所以， 所以向量在向量上的投影向量为，所以C正确； 对于D：在正六边形中，可得，直线平分角， 且为等边三角形，可得与向量共线且方向相同， 在中，可得，且两三角形均为直角三角形， 所以，则， 又由，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 8 ． 【解题思路】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【解答过程】因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是8. 故答案为：8. 13．（2024高三·全国·专题练习）若M为所在平面内一点，且满足，则的形状为 等腰三角形 ． 【解题思路】根据平面向量的线性运算，结合平面向量的数量积的运算律，可得答案. 【解答过程】由，可得． 又因为，所以． 即，由此可得是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形. 14．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题： ①若，则点是三角形的垂心； ②若向量，则点的轨迹通过的重心； ③若，则点是三角形的内心； ④若，则点是三角形的内心． 其中正确的命题是： ①②③ 填写正确结论的编号 【解题思路】根据向量运算，以及三角形垂心、重心、内心、外心等知识对个命题进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】①由得，，即， 同理可得，，则点是的垂心，①正确； ②在中，以、为邻边作平行四边形，则， 从而，进而一定在的边的中线上， 由此得到点的轨迹一定过的重心，②正确；    ③时， 向量分别表示在边和上取单位向量和， 它们的差是向量，当，即， 而三角形是等腰三角形， 所以点在的平分线上，同理可得点在的平分线上， 故为的内心，③正确；    ④时， 是以、为平行四边形的一条对角线， 而是该平行四边形的另一条对角线，时， 表示这个平行四边形是菱形，即，同理得， 故为的外心，④错误． 故答案为：①②③. 四、解答题 15．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【解题思路】（1）由向量的加减法运算即可得答案； （2）由向量的加减法运算即可得答案. 【解答过程】（1）． （2）. 16．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【解题思路】（1）证明和共线即可证三点共线； （2）由向量共线定理求解即可． 【解答过程】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 17．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【解题思路】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【解答过程】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【解答过程】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 19．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【解题思路】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则 ，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【解答过程】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则 ， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量的运算 【人教A版2019】 模块一 平面向量的线性运算 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减 法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设， 化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 【题型1 向量的加法、减法运算】 【例1.1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（24-25高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一下·江西九江·阶段练习）下列各式化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 平面向量的混合运算】 【例2.1】（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）设分别是所在边上的两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高三上·重庆·期中）在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【变式2.2】（24-25高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【题型3 平面向量共线定理及其应用】 【例3.1】（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 【例3.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式3.1】（2024高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式3.2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【题型4 向量线性运算的几何应用】 【例4.1】（2024高三·北京·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（24-25高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式4.1】（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【变式4.2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 模块二 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. (4)向量的投影 如图，设是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边 等号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若与为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 【题型5 求向量数量积】 【例5.1】（24-25高二上·广东韶关·期中）已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【例5.2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知两个单位向量，的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D．5 【变式5.1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 向量夹角（夹角的余弦值）的计算】 【例6.1】（24-25高二上·上海嘉定·期中）若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（24-25高三上·上海·阶段练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 垂直关系的向量表示】 【例7.1】（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【例7.2】（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【变式7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 向量的模的计算】 【例8.1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知，是单位向量，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【例8.2】（2024·湖南湘西·模拟预测）已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知平面向量，，满足，，若，共线，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型9 向量数量积的最值问题】 【例9.1】（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例9.2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且.    (1)当为AD的中点时，求CP的长度； (2)求的最小值. 【变式9.2】（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 一、单选题 1．（23-24高一下·新疆阿克苏·期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 3．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江温州·阶段练习）设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 6．（23-24高一下·天津·阶段练习）若向量，满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 7．（23-24高二上·江西景德镇·期中）  八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中，则给出下列结论： ①；②；③． 其中正确的结论为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（23-24高一下·北京石景山·期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题： ①； ②； ③在上的投影向量为； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4． 其中正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在的方向上的投影向量为 10．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 三、填空题 12．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）若M为所在平面内一点，且满足，则的形状为 ． 14．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题： ①若，则点是三角形的垂心； ②若向量，则点的轨迹通过的重心； ③若，则点是三角形的内心； ④若，则点是三角形的内心． 其中正确的命题是： 填写正确结论的编号 四、解答题 15．（2024高一·江苏·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 16．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 17．（23-24高一下·吉林长春·期末）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 19．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$