第01讲 平面向量的概念（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的概念 【人教A版2019】 模块一 向量的概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例1.1】（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）下列四个命题正确的是（    ） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 【例1.2】（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【变式1.1】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【变式1.2】（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 向量的几何表示与向量的模】 【例2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【例2.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【变式2.2】（24-25高一下·安徽淮北·阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【题型3 零向量与单位向量】 【例3.1】（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【例3.2】（23-24高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式3.1】（24-25高一下·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【变式3.2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 模块二 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 【题型4 向量相等或共线的判断】 【例4.1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一下·广东东莞·开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与共线 【变式4.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 【变式4.2】（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】 【例5.1】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例5.2】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【变式5.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：. 一、单选题 1．（23-24高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·上海·课后作业）下列说法中，正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4．（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2024高三·全国·专题练习）下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 7．（24-25高一上·北京·阶段练习）若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 8．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 二、多选题 9．（24-25高二·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．四边形是平行四边形的充要条件 D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件 10．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A．＝ B．与共线 C．与共线 D．＝ 11．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 三、填空题 12．（23-24高一下·江苏宿迁·开学考试）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 13．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 14．（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，，则； ④四边形中，，且，则四边形为正方形． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 16．（24-25高一下·全国·课后作业）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 17．（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 18．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 19．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念 【人教A版2019】 模块一 向量的概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例1.1】（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）下列四个命题正确的是（    ） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 【解题思路】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案． 【解答过程】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同； 若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线； 共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量； 两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移． 故选：B． 【例1.2】（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【解题思路】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【解答过程】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 【变式1.1】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【解题思路】根据向量的概念，逐项判断. 【解答过程】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确． 故选D． 【变式1.2】（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的个数是（   ） （1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量； （2）零向量没有方向； （3）向量的模一定是正数； （4）非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解． 【解答过程】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误； 对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误； 对于（3），零向量的模为0，不是正数，故（3）错误； 对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误； 故选：A． 【题型2 向量的几何表示与向量的模】 【例2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 【例2.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【解题思路】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向． 【解答过程】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得， 为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向． 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. 【解答过程】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为. 【变式2.2】（24-25高一下·安徽淮北·阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【解题思路】（1）根据向量的大小和方向，作向量， （2）根据向量的大小和方向，作向量， （3）根据向量的模的定义求. 【解答过程】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）    . 【题型3 零向量与单位向量】 【例3.1】（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【解答过程】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B. 【例3.2】（23-24高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【解答过程】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一下·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【解题思路】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【解答过程】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【解题思路】根据零向量和单位向量的概念求解. 【解答过程】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 模块二 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 【题型4 向量相等或共线的判断】 【例4.1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由相等向量的定义求解即可. 【解答过程】∵，，与方向不同， ∴，，与均不相等； ∵与方向相同，长度相等，∴＝. 故选：D. 【例4.2】（23-24高一下·广东东莞·开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与共线 【解题思路】 画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可. 【解答过程】 如图，    因为，方向相同，长度相等，故，故A正确； 因为，方向不同，故，故B错误； 因为，，三点共线，所以，故C正确； 因为，所以与共线，故D正确. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 【解题思路】（1）利用相等向量定义可得解； （2）利用共线向量定义可得解； （3）利用平行向量定义可得解. 【解答过程】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，. 【变式4.2】（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可. 【解答过程】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】 【例5.1】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据向量平行的意义进行判断即可. 【解答过程】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B. 【例5.2】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【解题思路】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可. 【解答过程】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图    ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【解题思路】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明； 【解答过程】解：因为，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且. 又与的方向相同，所以. 同理可证，四边形是平行四边形，所以. 因为，，所以， 又与的方向相同，所以. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：. 【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出. 【解答过程】证明：由可知且， 所以四边形为平行四边形， 从而. 又M，N分别是，的中点，于是. 所以且. 所以四边形是平行四边形. 从而. 一、单选题 1．（23-24高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【解答过程】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·课后作业）下列说法中，正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量的概念可判断D. 【解答过程】若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确; 若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确; 向量不能比较大小,C不正确; 若，则,D,不正确. 故选:B. 3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【解题思路】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案. 【解答过程】解：因为，， 所以，即，， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B. 4．（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判断；④根据向量的性质可判断. 【解答过程】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量； ②错，的模等于0； ③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确； ④错，向量不能比较大小． 故选：B． 5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】结合正方形可判断A,D项错误；再根据向量既有大小又有方向的特征排除B项，利用相等向量的定义确定C项正确. 【解答过程】    对于A，如图正方形中，若，则，但，故A错误； 对于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比较大小，故B错误； 对于C，因两向量相等包括长度相等，方向相同，故C正确； 对于D，如上图中，，但，故D错误. 故选：C. 6．（2024高三·全国·专题练习）下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【解题思路】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【解答过程】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 7．（24-25高一上·北京·阶段练习）若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【解题思路】结合共线向量的定义，分别判断条件①②③④下与是否共线，由此可得结论. 【解答过程】对于①，若与方向相反，则与共线， 对于②，由，只能确定两向量的大小相等，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线， 对于③，由或，可得或，由零向量与任意向量共线可得与共线， 对于④，由与都是单位向量，只能确定两向量的大小都为，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线. 故选：B. 8．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二·全国·课后作业）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．四边形是平行四边形的充要条件 D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件 【解题思路】A.由单位向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.由相等向量的定义判断； D.由零向量的定义判断. 【解答过程】A.单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故错误； B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误； C. 若四边形是平行四边形，则一组对边平行且相等，有， 若，则，则四边形是平行四边形，故正确； D.由零向量的规定，知正确． 故选：CD. 10．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A．＝ B．与共线 C．与共线 D．＝ 【解题思路】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误. 【解答过程】由四边形，，是全等的菱形，知：，即A正确； 由图形可知：与的方向相反，与方向相同且长度相同即＝， 故B、D正确；而与不一定共线，故C不一定正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【解题思路】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断. 【解答过程】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高一下·江苏宿迁·开学考试）在下列判断中，真命题的是 ①③⑤ . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 【解题思路】根据向量的定义及知识即可逐项判断求解. 【解答过程】对①：由定义知①正确； 对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确； 对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确； 对④：单位向量方向可以不同，故④错误； 对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确； 故答案为：①③⑤. 13．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ③ ． 【解题思路】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合. 【解答过程】①错误．若，则①不成立； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上． 故答案为：③. 14．（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是 ③ （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，，则； ④四边形中，，且，则四边形为正方形． 【解题思路】利用向量共线、相等的定义，分别进行判断，即可得出结论． 【解答过程】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【解题思路】（1）从向东作长度为3m的有向线段； （2）从向西作长度为3m的有向线段； （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段； （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段． 【解答过程】（1）从向东作长度为3m的有向线段：    （2）从向西作长度为3m的有向线段：    （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：    （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：    16．（24-25高一下·全国·课后作业）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 【解题思路】（1）根据题设以为正东方向，过A垂直于向上为正北方向，结合题设画出向量即可. （2）由题设知，易知为平行四边形，即可求. 【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求． （2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又， ∴在中，，故为平行四边形， ∴，则（海里）． 17．（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【解题思路】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【解答过程】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 18．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 19．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【解题思路】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量共线的向量； （2）由向量模相等的概念得到与向量模相等的向量； （3）由向量相等的概念得到与向量相等的向量． 【解答过程】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$