第六章 平面向量及其应用单元测试卷（能力篇）-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则实数（    ） A．或 B．1或 C．或 D．1或 5．地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A． B． C．2 D． 7．已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 8．在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．点D满足，且，O是外心，则下列判断正确的是（   ） A． B．的外接圆半径是 C． D．CD的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量两两夹角为60°，且，则 ． 13．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 . 14．在平面凸四边形中，，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，，．设，且. (1)求； (2)求满足的实数，； (3)求，的坐标及向量的坐标． 16．（15分） 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且的面积为． (1)求B； (2)求； (3)若，求b． 17．（15分） 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 18．（17分） 在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 19．（17分） 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． (1)求的值； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】. 故选：C. 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，所以， 因为，所以，所以. 故选：A 3．已知向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，与的夹角为， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 4．已知向量，，若，则实数（    ） A．或 B．1或 C．或 D．1或 【答案】D 【解析】由，，得， 由，得，即，所以或. 故选：D 5．地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点为地震的位置， 依题意，，，，则， 由正弦定理，得 （） 所以地震的位置距离甲地． 故选：C 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】 ， 由正弦定理得 ，即 ， ， ， ， ， ， 由余弦定理得： ； 故选： 7．已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 【答案】B 【解析】对于A，在中，由，得， 整理得 ，则都是锐角， 是锐角三角形，A正确； 对于B：由及正弦定理得， 即，则或，即或， 因此是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得， 即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确； 对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确. 故选：B 8．在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【解析】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 平分，故， 由三角形面积公式得， ，， 因为，所以， 即， 由基本不等式得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，B：，A正确，B错误； 对于C，D：因为，，所以， 又因为M，O，N三点共线，所以，故，C正确，D错误． 故选：AC. 10．已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 【答案】ACD 【解析】 因为，则，又，，共线，所以，A正确； 由，则，则，当且仅当时取等号，B错误； 由，当时有最小值，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．点D满足，且，O是外心，则下列判断正确的是（   ） A． B．的外接圆半径是 C． D．CD的最大值为 【答案】ABC 【解析】选项A，因为，由正弦定理得， 又，所以，而，所以，A正确； 选项B，因为，所以，所以，B正确； 选项C，取中点，如图所示，在中， ， 在中，，，C正确； 选项D，，当且仅当圆心在上时取等号，所以，D错误． 故选：ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量两两夹角为60°，且，则 ． 【答案】． 【解析】. 故答案为：. 13．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 . 【答案】8 【解析】由得， 所以，所以. 故答案为：. 14．在平面凸四边形中，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】令，则， 令，又为平面凸四边形，则，且， 在中 ， 由，则， 所以， 故当时，最大，则最大. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，，．设，且. (1)求； (2)求满足的实数，； (3)求，的坐标及向量的坐标． 【解析】（1）由题意得， ，， 所以； （2）解法一：因为，所以，解得； 解法二：∵，所以，又且与不共线， 所以； （3）设为坐标原点，∵＝－， ∴，∴． 又，∴， ∴．∴． 16．（15分） 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且的面积为． (1)求B； (2)求； (3)若，求b． 【解析】（1）由题意可得， 由正弦定理得， 由余弦定理可得， 又，所以． （2）由题意可得，所以． （3）由余弦定理得， 所以． 17．（15分） 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【解析】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18．（17分） 在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 【解析】（1）由三点共线，则存在使得， 则，整理可得， 由三点共线，则存在使得， 则，整理可得； 根据平面向量基本定理可得，解得； 因此； （2）由（1）可得， 又，由①可得； 又，则, 则， ， ； 则， 所以的余弦值为. （3）由（1）可知，则， 由共线，设， 又，可得， 则，可得； 所以，即， 因此，又，则， 则，解得，故的范围为. 19．（17分） 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． (1)求的值； (2)求的面积； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 【解析】（1）由， 由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 得，且，所以； （2）由为边上中线，可得， 则， 由，可得， 则，则， 则， ， 则； （3）由，可得， 设， 由的面积为面积的，可得， 则，则，设，由为中线，可得， 则，由共线可得， ， 由可得， 由，可得，则 第2页，共13页 第3页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$