第六章 平面向量及其应用单元测试卷（基础篇）-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用单元测试卷（基础篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，为边上的中线，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 4．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（    ） A． B． C．3 D．7 7．在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与可以作为基底 C． D．与方向相同 10．在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 11．在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（    ） A． B．的外接圆的半径为2 C． D．面积的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 13．设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 14．已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 16．（15分） 已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 17．（15分） 在中，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 18．（17分） 如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 19．（17分） 记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求； (3)若，当角最大时，求的面积 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用单元测试卷（基础篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，不满足题意，故A错误； 对于B，，满足题意，故B正确； 对于C，，不满足题意，故C错误； 对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误. 故选：B. 2．在中，为边上的中线，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由为边上的中线，得，又为的中点， 所以. 故选：A 3．向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【解析】. 故选：C. 4．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 5．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 6．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】B 【解析】因向量在向量上的投影向量是，则， 故，于是. 故选：B. 7．在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 故选：B 8．如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与可以作为基底 C． D．与方向相同 【答案】AC 【解析】对于A，因为，，可得，则，A正确； 对于B，平面内不共线的两个向量可以作为基底，可知两向量共线，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，与方向相反，D错误； 故选：AC. 10．在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故A符合题意； 对于B，由正弦定理，即，解得， 而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故B不符合题意； 对于C，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意； 对于D，由正弦定理，即，解得， 而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意； 故选：ACD. 11．在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（    ） A． B．的外接圆的半径为2 C． D．面积的最大值为 【答案】AD 【解析】在中，因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，所以， 对于A，因为，则，所以，因为，所以，故A正确； 对于B,由正弦定理得外接圆半径，故B错误； 对于C,如图1，，故C错误； 对于D,由余弦定理得：， 当且仅当时取等号，因此，故D正确， 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1） 【答案】13.8 【解析】根据题意得，在中，，, 在中，,, . 故答案为：13.8 13．设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 【答案】1 【解析】依题意，，, 因三点共线，即，则存在，使得， 即得，解得. 故答案为：1. 14．已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 【答案】/ 【解析】如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【解析】（1）． （2）. （3）. 16．（15分） 已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【解析】（1）依题意，向量， ， . （2）由于， 所以. 17．（15分） 在中，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 【解析】（1）在中，，，设， 根据余弦定理，得， 整理得， 因为，解得（负值已舍去）， 所以， 所以为等腰三角形. （2）若选择条件①：若 ，由（1）可知，及， 所以， 所以不存在. 若选择条件②：在中, 由, 由（1）， 所以， 解得（负值已舍去），即. 若选择条件③： 在中，由边上的高为3， 得， 由，解得. 18．（17分） 如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【解析】（1）由图可知， 因为，所以． 因为，所以 （2）由AC与EF交于点G，可设． ， ， 则解得 设边AB上的高为，边CE上的高为，则， 则． 19．（17分） 记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求； (3)若，当角最大时，求的面积 【解析】（1），由正弦定理可得：， ，， 两边同时除以，可得：. （2）方法1：，则， 结合正弦定理得，， 即， 则， 所以，即， 解得，又， 所以. 方法2：同方法可得， 由（1）可得，所以， 即，又， 所以，解得，， 所以. （3）方法1：，， ，， ， 当且仅当时等号成立，此时取到最大值， ，当最大时，. 方法2：由（1）知，则， 所以 ，当且仅当，即时，取“=”， 此时，则，. 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$