6．2平面向量的运算【十二大题型】-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

6．2平面向量的运算 【题型归纳目录】 题型一：向量加法法则 题型二：向量加法运算律的应用 题型三：向量加法的实际应用 题型四：向量的减法运算 题型五：向量减法法则的应用 题型六：向量的线性运算 题型七：用已知向量表示其他向量 题型八：向量共线的判定及应用 题型九：三点共线的常用结论 题型十：求两向量的数量积 题型十一：向量的模和夹角的计算问题 题型十二：与垂直有关的问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 题型一：向量加法法则 【例1】请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    【变式1-1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【变式1-2】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【变式1-3】已知、，用向量加法的三角形法则作出.    知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 题型二：向量加法运算律的应用 【例2】已知A、B、C、D、E是平面上任意五个点，求证：．这个结果可以推广到更多点的情况吗？ 【变式2-1】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【变式2-2】如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-3】化简下列各式: (1) (2) 知识点三：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 题型三：向量加法的实际应用 【例3】某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 【变式3-1】2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则的最小值为（    ） A．40 B． C． D．80 【变式3-2】已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 【变式3-3】若满足，则的最大值为 ．最小值为 ． 知识点四：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 题型四：向量的减法运算 【例4】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【变式4-1】如图，已知向量，，，求作向量．    【变式4-2】如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【变式4-3】如图，已知向量，，，，作出向量.    题型五：向量减法法则的应用 【例5】化简下列各式： (1)； (2) 【变式5-1】化简下列各式： (1)； (2)； (3)； 【变式5-2】化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【变式5-3】化简： (1)； (2)． 知识点五：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 题型六：向量的线性运算 【例6】化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【变式6-1】化简： (1)； (2)； (3) 【变式6-2】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【变式6-3】化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 题型七：用已知向量表示其他向量 【例7】如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点六：向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 题型八：向量共线的判定及应用 【例8】已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式8-1】已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式8-3】设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 题型九：三点共线的常用结论 【例9】如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【变式9-1】如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【变式9-2】已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．    (1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 【变式9-3】如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. (1)与的关系； (2)求的最小值 知识点七：平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： 1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． （2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． （3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． 2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 知识点八：平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识点九：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点十：向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识点诠释： 1、已知实数、、（），则．但是； 2、在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 题型十：求两向量的数量积 【例10】在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【变式10-1】已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则 . 【变式10-2】若向量满足，且的夹角为，则 . 【变式10-3】已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 . 题型十一：向量的模和夹角的计算问题 【例11】已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【变式11-1】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【变式11-2】已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式11-3】已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 题型十二：与垂直有关的问题 【例12】已知是非零向量，且，. (1)证明：； (2)若，求实数 . 【变式12-1】已知向量，满足，，. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 【变式12-2】已知向量，，且与的夹角为. (1)求； (2)若，求实数k的值. 【变式12-3】设，是平面内两个不共线的向量． (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使和共线； (3)若，，，求实数m的值． 【强化训练】 1．（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·重庆·模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．（2024高三·全国·专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 10．（多选题）（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 11．（多选题）（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 12．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为 ． 13．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 14．（24-25高一上·河北保定·期中）在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 16．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知中，， P在线段上，且，，设，. (1)用向量，表示； (2)若，求. 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．2平面向量的运算 【题型归纳目录】 题型一：向量加法法则 题型二：向量加法运算律的应用 题型三：向量加法的实际应用 题型四：向量的减法运算 题型五：向量减法法则的应用 题型六：向量的线性运算 题型七：用已知向量表示其他向量 题型八：向量共线的判定及应用 题型九：三点共线的常用结论 题型十：求两向量的数量积 题型十一：向量的模和夹角的计算问题 题型十二：与垂直有关的问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 题型一：向量加法法则 【例1】请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    【解析】如图所示． 【变式1-1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【解析】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【变式1-2】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 【变式1-3】已知、，用向量加法的三角形法则作出.    【解析】在平面内任取点，作，作，以起点，为终点作向量， 于是， 所以即为所作向量. 知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 题型二：向量加法运算律的应用 【例2】已知A、B、C、D、E是平面上任意五个点，求证：．这个结果可以推广到更多点的情况吗？ 【解析】由题意可得：； 可以推广，推广可得：对于平面上任意个点， 均有. 证明如下： . 【变式2-1】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）． （2）． （3）． 【变式2-2】如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式2-3】化简下列各式: (1) (2) 【解析】（1）原式. （2）原式 知识点三：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 题型三：向量加法的实际应用 【例3】某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 【解析】（1）如图所示． （2）由，得四边形为平行四边形， 所以. 【变式3-1】2020年10月27日，在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上，东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS（船舶自动识别系统）基站的新建工作，中国首个海上风机塔AIS基站宣告建成.已知风机的每个转子叶片的长度为20米，每两个叶片之间的夹角相同，风机塔（杆）的长度为60米，叶片随风转动，假设叶片与风机塔在同一平面内，如下图所示，则的最小值为（    ） A．40 B． C． D．80 【答案】A 【解析】由题知，，即， 则， 则当风叶旋转到最低点时，最小，且值为. 故选：A 【变式3-2】已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【解析】当单位向量，…，方向相同时， 取得最大值， ； 当单位向量，…，首尾相连时，， 所以的最小值为. 故答案为：； 【变式3-3】若满足，则的最大值为 ．最小值为 ． 【答案】 5 1 【解析】由向量加减法的几何意义可知， 由，得， 当方向相同时，， 当方向相反时，， 即的最大值为．最小值为. 故答案为：；. 知识点四：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 题型四：向量的减法运算 【例4】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【解析】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 【变式4-1】如图，已知向量，，，求作向量．    【解析】在平面内任取一点，作向量，，则向量， 再作向量，则向量，即为所求作向量. 【变式4-2】如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 【变式4-3】如图，已知向量，，，，作出向量.    【解析】如图，任取一点，作，，，. 作平行四边形OAEC和平行四边形OBFD，连接OE，OF， 则，. 连接EF，则就是所求的向量. 题型五：向量减法法则的应用 【例5】化简下列各式： (1)； (2) 【解析】（1）利用平面向量的加减运算法则可得， （2）由平面向量的加减运算法则可得 【变式5-1】化简下列各式： (1)； (2)； (3)； 【解析】（1）； （2）； （3）. 【变式5-2】化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 【变式5-3】化简： (1)； (2)． 【解析】（1）； （2） . 知识点五：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 题型六：向量的线性运算 【例6】化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【解析】（1）； （2）； （3）. 【变式6-1】化简： (1)； (2)； (3) 【解析】（1）； （2）； （3）. 【变式6-2】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 【变式6-3】化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）； （2）； （3）. 题型七：用已知向量表示其他向量 【例7】如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 【变式7-1】已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B. 【变式7-2】在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 【变式7-3】如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以 . 故选：C. 知识点六：向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 题型八：向量共线的判定及应用 【例8】已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 【变式8-1】已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】、、三点共线， 设，即， 由于、不共线，则，消去可得. 因此，、、三点共线的充要条件为. 故选：D. 【变式8-2】已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【解析】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 【变式8-3】设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由题意， 且， 因为三点共线， 所以存在实数，使得, 所以， 即，解得. 故选：A. 题型九：三点共线的常用结论 【例9】如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【解析】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2）由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 【变式9-1】如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【解析】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 【变式9-2】已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．    (1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，， ①当时，求的值（用含，的式子表示）； ②当，时，求的最小值． （说明：可能用到的计算公式：，）． 【解析】（1）因为 而点为线段上靠近点的三等分点， 则，可得，所以. （2）①由题意得，， ，， 所以， 事实上，对任意正整数，且时， ，， 有， 所以， 所以. ②当，时， ，， ， 令， 当，2，3时， 当或3时，上式有最小值为 当时， 当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为 综上，的最小值为. 【变式9-3】如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. (1)与的关系； (2)求的最小值 【解析】（1），又， ， ， 又三点共线，. （2）因为，，， 当且仅当取等， 所以的最小值为. 知识点七：平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： 1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． （2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． （3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． 2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 知识点八：平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 知识点九：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点十：向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识点诠释： 1、已知实数、、（），则．但是； 2、在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 题型十：求两向量的数量积 【例10】在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【答案】 【解析】如图所示，在平行四边形中，连接，交于点， 则. 故答案为：. 【变式10-1】已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则 . 【答案】1 【解析】， ， . 故答案为：1 【变式10-2】若向量满足，且的夹角为，则 . 【答案】1 【解析】由题，. 故答案为：1. 【变式10-3】已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 . 【答案】 【解析】由题意可得：， ，， . 故答案为：. 题型十一：向量的模和夹角的计算问题 【例11】已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【解析】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 【变式11-1】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 【变式11-2】已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 【变式11-3】已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 【解析】（1）， . （2） . 题型十二：与垂直有关的问题 【例12】已知是非零向量，且，. (1)证明：； (2)若，求实数 . 【解析】（1）由题意，. （2）因为， 所以， 即， 则， 解得. 【变式12-1】已知向量，满足，，. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 【解析】（1）因为向量，满足，，， 所以 ； （2）因为向量与相互垂直， 所以， 所以， 所以，解得. 【变式12-2】已知向量，，且与的夹角为. (1)求； (2)若，求实数k的值. 【解析】（1）由，得，又，与的夹角为，则， 所以. （2）由，得，即， 于是，所以. 【变式12-3】设，是平面内两个不共线的向量． (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使和共线； (3)若，，，求实数m的值． 【解析】（1）因为，， 所以． 又， 所以． 所以，共线， 又因为它们有公共点B， 所以A，B，D三点共线． （2）因为和共线， 所以存在实数，使， 即． 因为，是平面内两个不共线的向量， 所以， 所以，． （3）由题意可得，， 因为， 则， 解得． 【强化训练】 1．（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【解析】因为则，则， 所以，所以， ， 故选：C. 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 4．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 5．（2024·重庆·模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 故选：B. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 7．（2024高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图， 则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方形的内切圆圆心为O，如图所示： 考虑是线段上的任意一点，，， 圆的半径长为1，由于是线段上的任意一点，则， 所以. 故选：A 9．（多选题）（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【解析】因为，， 所以，即，解得，A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以与的夹角为，C正确，D错误． 故答案为：AC 10．（多选题）（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】AD 【解析】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD 11．（多选题）（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】AB 【解析】因为，，三点共线，则存在实数，使得， 即，即，所以， 又因为向量，不共线，所以，解得， 所以实数，的值互为倒数即可求解． 故选：AB． 12．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】设与的夹角为， 由，可得， 即， 即，又， 即，即， 又，所以 故答案为：. 13．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【答案】1 【解析】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 14．（24-25高一上·河北保定·期中）在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以， 则， 又，，，所以， 所以 ， 又，即，解得. 故答案为： 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知非零向量，满足，且，. (1)求的值； (2)证明：； (3)设与的夹角为，求及的值. 【解析】（1）因为， 所以，故， 又， 所以， （2）因为， 所以，又， 所以， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 因为， 又，，， 所以. 16．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知中，， P在线段上，且，，设，. (1)用向量，表示； (2)若，求. 【解析】（1）由题意得. （2）根据题意知，                             所以 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$