6.1平面向量的概念【四大题型】-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

6．1平面向量的概念 【题型归纳目录】 题型一：向量的基本概念 题型二：向量的表示方法 题型三：利用向量相等或共线进行证明 题型四：向量知识在实际问题中的简单应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 题型一：向量的基本概念 【例1】下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【解析】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 【变式1-1】下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 【答案】C 【解析】向量是既有大小，又有方向的量， 因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向， 所以重力是向量， 故选：． 【变式1-2】下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 【变式1-3】下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【答案】B 【解析】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选：B 知识点二：向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释： （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 题型二：向量的表示方法 【例2】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【解析】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示． （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 【变式2-1】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【解析】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 【变式2-2】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出. 【解析】如图，根据方位角及长度来确定. 知识点三：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． （3）相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点四：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型三：利用向量相等或共线进行证明 【例3】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【解析】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 故. 【变式3-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 【变式3-2】设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【解析】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 【变式3-3】在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【解析】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 题型四：向量知识在实际问题中的简单应用 【例4】如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【解析】由题意， 所以向量的长度为2 n mile． 【变式4-1】已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得， 为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向． 【变式4-2】飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 【解析】由题图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则. 表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则. 所以为飞机从A地到C地的位移. 在中，，且， 故为等边三角形，所以，. 所以C地在A地北偏东方向上，距A地. 【变式4-3】一名模型赛车手遥控一辆赛车，称先前进1 m，然后原地逆时针转动角为一次操作. （1）当时，至少需要几次操作，赛车才可以回到出发点？按照适当的比例作图加以说明. （2）如果，且按此操作，赛车能够回到出发点，那么应该满足什么条件？ 【解析】（1）因为 属于至少需要8次操作，赛车可以回到出发点，如图所示. （2），要使赛车回到出发点，则赛车走过的是一个正多边形路径，考虑外角和为，故每次转动的角度应该是除以一个正整数所得的商，即. 【强化训练】 1．已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B 2．已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图 ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误. 故选：A 3．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 4．下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【解析】对于A选项： 平行于任何向量，若，满足，，但不一定满足，故A错； 对于B选项：根据向量传递性，正确； 对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错； 对于D选项：零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果中有一个是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D错. 故选：B. 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 【答案】D 【解析】如图， 由已知可得， ，，，， 有12对相等的向量， 改变其方向，又有12对相等的向量，共24对， 故选：D. 6．下列说法： ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. ③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量. ④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合. 故选：C 7．（多选题）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 8．（多选题）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【解析】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 9．（多选题）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【答案】ABC 【解析】由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确； 而在中，，，故，故C正确； 由于，因此与是相等的，故D错误． 故选：ABC 10．下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【答案】③ 【解析】对于①，若，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③ 11．在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 【答案】①③⑤ 【解析】对①：由定义知①正确； 对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确； 对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确； 对④：单位向量方向可以不同，故④错误； 对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确； 故答案为：①③⑤. 12．下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 【答案】0 【解析】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错； 对于②，若为零向量，零向量与任意向量平行，故②错； 对于③，，则四点可能共线，故③错； 对于④，，只能说明、的长度相等但确定不了方向，故④错； 对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错. 所以正确的命题有0个， 故答案为：0 13．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【解析】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示． （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 14．中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【解析】，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．1平面向量的概念 【题型归纳目录】 题型一：向量的基本概念 题型二：向量的表示方法 题型三：利用向量相等或共线进行证明 题型四：向量知识在实际问题中的简单应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 题型一：向量的基本概念 【例1】下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【变式1-1】下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 【变式1-2】下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 知识点二：向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释： （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 题型二：向量的表示方法 【例2】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【变式2-1】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【变式2-2】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出. 知识点三：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． （3）相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点四：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型三：利用向量相等或共线进行证明 【例3】如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【变式3-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【变式3-2】设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【变式3-3】在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 题型四：向量知识在实际问题中的简单应用 【例4】如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【变式4-1】已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【变式4-2】飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 【变式4-3】一名模型赛车手遥控一辆赛车，称先前进1 m，然后原地逆时针转动角为一次操作. （1）当时，至少需要几次操作，赛车才可以回到出发点？按照适当的比例作图加以说明. （2）如果，且按此操作，赛车能够回到出发点，那么应该满足什么条件？ 【强化训练】 1．已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 3．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 4．下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，则与方向相同或相反 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 6．下列说法： ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（多选题）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 8．（多选题）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 9．（多选题）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 10．下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 11．在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 12．下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 13．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 14．中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$