2025年九年级数学中考填空题复习 数与式之整式与二次根式

第 1页（共 13页） 中考数学第一轮复习 填空题练习 数与式之分式与二次根式 填空题： 1．计算 � �−� − � �−� 的结果为 ． 2．若 � − 9在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 ． 3．若分式 �−1 2� 的值为 0，则实数 x的值为 ． 4．计算： 12 − 3 = ． 5．若 a+ 1� = 5，则 a 2+ 1�2 = ． 6．计算：（ 48 −3 13）÷ 3 = ． 7．计算： 4 �−2 + �2 2−� = ． 8．计算： 12 − 8 × 6 = ． 9．已知 a2﹣2b+1＝0，则 4� �2+1 的值是 ． 10．实数 m在数轴上对应点的位置如图所示，化简： (� − 2)2 = ． 11．化简： �−� � ÷（x− 2��−� 2 � ）＝ ． 12．如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有 障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则 图中的 x至少为 （精确到个位，参考数据： 21 ≈4.58）． 第 2页（共 13页） 13．已知 a1＝ x+1（ x≠ 0 且 x≠﹣ 1）， a2= 1 1−�1 ， a3= 1 1−�2 ，…， an= 1 1−��−1 ，则 a2024 的值 为 ． 14．实数 a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|− (� − 1)2 + (� − �)2 = ． 15．若 3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1− 2��−� 2 �2 ）÷ �−� �2�的值为 ． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求 积 公 式 ， 即 如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 该 三 角 形 的 面 积为 S= 14 [� 2�2 − ( � 2+�2−�2 2 ) 2]．现已知△ABC的三边长分别为 1，2， 5，则△ABC的面积为 ． 17．分式 2� �−2 与 8 �2−2� 的最简公分母是 ，方程 2� �−2 − 8 �2−2� =1的解是 ． 18．计算： 3 3 +| 3 −2|﹣（ 1 2 ） ﹣1＝ ． 19．有一组数据：a1= 3 1×2×3，a2= 5 2×3×4，a3= 7 3×4×5，…，an= 2�+1 �(�+1)(�+2)．记 Sn＝a1+a2+a3+…+an， 则 S12＝ ． 20．公元 3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式 �2 + � ≈ � + �2�得到 2的近似值．他的算法是： 第 3页（共 13页） 先将 2看出 12 + 1：由近似公式得到 2 ≈ 1 + 12×1 = 3 2；再将 2看成 ( 3 2 ) 2 + ( − 14 )，由近似值公式 得到 2 ≈ 32+ −14 2×32 = 1712；…依此算法，所得 2的近似值会越来越精确．当 2取得近似值 577 408 时，近似 公式中的 a是 ，r是 ． 21．化简： �2−4�+4 �2+2� ÷（ 4 �+2 −1）＝ ． 22．计算： 3 3 +（ 3 −3）0﹣|− 12|﹣2﹣1﹣cos60°＝ ． 23．计算（a− 2��−� 2 � ）÷ �−� � 的结果是 ． 24．设�1 = 1 + 1 12 + 1 22，�2 = 1 + 1 22 + 1 32，�3 = 1 + 1 32 + 1 42，…，�� = 1 + 1 �2 + 1 (�+1)2． 设� = �1 + �2 +⋯+ ��，则 S＝ （用含 n的代数式表示，其中 n为正整 数）． 25．（1）在实数范围内因式分解：5x2﹣8xy+2y2＝ ． （2）若三角形的三边长为 a、b、c，设 p= 12（a+b+c），可根据海伦公式 S= �(� − �)(� − �)(� − �)， 求这个三角形的面积．当 a＝ 7， b＝ 8， c＝ 10 时，用科学计算器求这个三角形的面积 S ＝ ．（结果精确到 0.001） 第 4页（共 13页） 熊生泉数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 25 小题，总分 25.0 分） 1．计算 � �−� − � �−� 的结果为 1 ． 【考点】分式的加减法．菁优网版权所有 【解答】解：原式= �−��−� ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 2．若 � − 9在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 x≥9 ． 【考点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式．菁优网版权所有 【解答】解：根据题意得 x﹣9≥0， 解得：x≥9． 故答案为：x≥9． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 3．若分式 �−1 2� 的值为 0，则实数 x的值为 1 ． 【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有 【解答】解：∵分式 �−1 2� 的值为 0， ∴x﹣1＝0且 2x≠0， 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了分式值为 0的条件，注意：当分子 A＝0且分母 B≠0时，分式 � � 的值为 0． 4．计算： 12 − 3 = 3 ． 【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有 【解答】解：原式＝2 3 − 3 = 3． 故答案为： 3． 【点评】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 第 5页（共 13页） 5．若 a+ 1� = 5，则 a 2+ 1�2 = 3 ． 【考点】分式的混合运算；完全平方公式．菁优网版权所有 【解答】解：∵a+ 1� = 5， ∴a2+ 1�2 =（a+ 1 �） 2﹣2＝（ 5）2﹣2＝3． 故答案为 3． 【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握完全平方公式是解题的关键． 6．计算：（ 48 −3 13）÷ 3 = 3 ． 【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有 【解答】解：原式＝（4 3 −3× 33）÷ 3 ＝（4 3 − 3）÷ 3 ＝3 3 ÷ 3 ＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．计算： 4 �−2 + �2 2−� = ﹣x﹣2 ． 【考点】分式的加减法．菁优网版权所有 【解答】解： 4 �−2 + �2 2−� = 4�−2− �2 �−2 = 4−� 2 �−2 ＝﹣x﹣2 故答案为：﹣x﹣2． 【点评】此题主要考查了分式加减法的运算方法，要熟练掌握同分母、异分母分式加减法法则． 8．计算： 12 − 8 × 6 = −2 3 ． 【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有 【解答】解：原式= 2 3 − 48 = 2 3 − 4 3 =− 2 3， 第 6页（共 13页） 故答案为：−2 3． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则和如何把二次 根式化成最简形式． 9．已知 a2﹣2b+1＝0，则 4� �2+1 的值是 2 ． 【考点】分式的值．菁优网版权所有 【解答】解：∵a2﹣2b+1＝0， ∴a2+1＝2b， ∵a2≥0， ∴a2+1≥1， ∴b＞0， ∴ 4� �2+1 = 4�2� ＝2． 【点评】本题主要考查了分式的值，解题关键是熟练掌握利用整体代入法求值的方法． 10．实数 m在数轴上对应点的位置如图所示，化简： (� − 2)2 = 2﹣m ． 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．菁优网版权所有 【解答】解：由数轴可知：1＜m＜2， ∴m﹣2＜0， ∴ (� − 2)2 =|m﹣2|＝2﹣m． 故答案为：2﹣m． 【点评】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键． 11．化简： �−� � ÷（x− 2��−� 2 � ）＝ 1 �−� ． 【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有 【解答】解：原式= �−�� ÷ �2−2��+�2 � = �−�� • � (�−�)2 = 1�−�， 第 7页（共 13页） 故答案为： 1 �−� ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算 顺序． 12．如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有 障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则 图中的 x至少为 74 （精确到个位，参考数据： 21 ≈4.58）． 【考点】二次根式的应用．菁优网版权所有 【解答】解：如图，连接 AB，过点 A作 AC∥DE交 DB的延长线于点 C， 则 AC＝60﹣30＝30 （cm），BC＝（x﹣60）cm， 在 Rt△ABC中，BC= ��2 − ��2 = 332 − 302 =3 21 ≈3×4.58＝13.74≈14（cm）， ∴x﹣60＝14， 第 8页（共 13页） ∴x＝74， 故答案为：74． 【点评】本题考查了勾股定理和二次根式的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，另外要仔细审题， 理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13．已知 a1＝x+1（x≠0且 x≠﹣1），a2= 1 1−�1 ，a3= 1 1−�2 ，…，an= 1 1−��−1 ，则 a2024的值为 − 1 � ． 【考点】分式的混合运算；规律型：数字的变化类．菁优网版权所有 【解答】解：∵a1＝x+1， ∴a2= 1 1−�1 = 11−(�+1) =− 1 �， a3= 1 1−�2 = 1 1−(−1�) = ��+1， ∴a4= 1 1−�3 = 11− ��+1 = 11 �+1 =x+1， ∴a5=− 1 �， a6= � �+1， …， 由上可得，每三个为一个循环， ∵2024÷3＝674⋯2， ∴a2024=− 1 �． 故答案为：− 1�． 【点评】本题考查了分式的混合运算，数字的变化规律等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题 的关键． 14．实数 a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|− (� − 1)2 + (� − �)2 = 2 ． 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．菁优网版权所有 【解答】解：由数轴可得， ﹣1＜a＜0，1＜b＜2， ∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0， ∴|a+1|− (� − 1)2 + (� − �)2 ＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a） 第 9页（共 13页） ＝a+1﹣b+1+b﹣a ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的 思想解答． 15．若 3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1− 2��−� 2 �2 ）÷ �−� �2�的值为 2 3 ． 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有 【解答】解：（1− 2��−� 2 �2 ）÷ �−� �2� = � 2−(2��−�2) �2 • �2� �−� = (�−�) 2 �2 • �2� �−� ＝b（a﹣b） ＝ab﹣b2， ∵3ab﹣3b2﹣2＝0， ∴3ab﹣3b2＝2， ∴ab﹣b2= 23， ∴原式= 23． 故答案为： 2 3 ． 【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求 积 公 式 ， 即 如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 该 三 角 形 的 面 积为 S= 14 [� 2�2 − ( � 2+�2−�2 2 ) 2]．现已知△ABC的三边长分别为 1，2， 5，则△ABC的面积为 1 ． 【考点】二次根式的应用．菁优网版权所有 第 10页（共 13页） 【解答】解：∵S= 14 [� 2�2 − ( � 2+�2−�2 2 ) 2]， ∴△ABC的三边长分别为 1，2， 5，则△ABC的面积为： S= 14 [1 2 × 22 − ( 1 2+22−( 5)2 2 ) 2] =1， 故答案为：1． 【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 17．分式 2� �−2 与 8 �2−2� 的最简公分母是 x（x﹣2） ，方程 2� �−2 − 8 �2−2� =1的解是 x＝﹣4 ． 【考点】最简公分母；解分式方程．菁优网版权所有 【解答】解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2）， ∴分式 2� �−2 与 8 �2−2� 的最简公分母是 x（x﹣2）， 方程 2� �−2 − 8 �2−2� = 1， 去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2）， 去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x， 移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0， 解得：x＝2或﹣4， ∵当 x＝2时，x（x﹣2）＝0，当 x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0， ∴x＝2是增根， ∴方程的解为：x＝﹣4． 故答案为：x（x﹣2），x＝﹣4． 【点评】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． 18．计算： 3 3 +| 3 −2|﹣（ 1 2 ） ﹣1＝ 0 ． 【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．菁优网版权所有 【解答】解：原式= 3 +2− 3 −2 ＝0 故答案为：0． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂 的运算法则是解题的关键． 19．有一组数据：a1= 3 1×2×3，a2= 5 2×3×4，a3= 7 3×4×5，…，an= 2�+1 �(�+1)(�+2)．记 Sn＝a1+a2+a3+…+an， 第 11页（共 13页） 则 S12＝ 201 182 ． 【考点】分式的加减法；规律型：数字的变化类．菁优网版权所有 【解答】解：a1= 3 1×2×3 = 1+2 1×2×3 = 1 1×2×3 + 2 1×2×3 = 1 2×3+ 1 1×3 = 1 2 − 1 3 + 1 2（1− 1 3）， a2= 5 2×3×4 = 2+3 2×3×4 = 2 2×3×4 + 3 2×3×4 = 1 3×4+ 1 2×4 = 1 3 − 1 4 + 1 2（ 1 2 − 1 4 ）， …． a12= 12+13 12×13×14 = 12 12×13×14 + 13 12×13×14 = 1 13×14 + 1 12×14 = 1 13 − 1 14 + 1 2（ 1 12 − 1 14 ）， …， ∴S12= 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 + 1 4 − 1 5 +⋯+ 1 2（1− 1 3 + 1 2 − 1 4 + 1 3 − 1 5 +⋯− 1 13 − 1 14） = 12 − 1 14 + 1 2（1+ 1 2− 1 13 − 1 14） = 201182， 故答案为： 201 182 ． 【点评】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 20．公元 3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式 �2 + � ≈ � + �2�得到 2的近似值．他的算法是： 先将 2看出 12 + 1：由近似公式得到 2 ≈ 1 + 12×1 = 3 2；再将 2看成 ( 3 2 ) 2 + ( − 14 )，由近似值公式 得到 2 ≈ 32+ −14 2×32 = 1712；…依此算法，所得 2的近似值会越来越精确．当 2取得近似值 577 408 时，近似 公式中的 a是 17 12 ，r是 − 1144 ． 【考点】二次根式的应用．菁优网版权所有 【解答】解： 2看作 ( 1712 ) 2 + ( − 1144 )， 由近似值公式得到 2 ≈ 1712+ − 1144 2×1712 = 577408， 所以 a= 1712时，r=− 1 144； 故答案为 a= 1712，r=− 1 144． 【点评】本题考查了二次根式的应用：利用类比的方法解决问题． 21．化简： �2−4�+4 �2+2� ÷（ 4 �+2 −1）＝ − �−2� ． 【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有 第 12页（共 13页） 【解答】解：原式= (�−2) 2 �(�+2) ÷（ 4 �+2 − �+2 �+2 ） = (�−2) 2 �(�+2) ÷ 2−� �+2 = (�−2) 2 �(�+2)• �+2 −(�−2) =− �−2� ， 故答案为：− �−2� ． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 22．计算： 3 3 +（ 3 −3）0﹣|− 12|﹣2﹣1﹣cos60°＝ − 3 ． 【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有 【解答】解：原式= 3 +1﹣2 3 − 12− 1 2 =− 3． 故答案为− 3． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的 乘除运算，再合并即可． 23．计算（a− 2��−� 2 � ）÷ �−� � 的结果是 a﹣b ． 【考点】分式的混合运算．菁优网版权所有 【解答】解：原式= � 2−2��+�2 � • � �−� = (�−�)2 � • � �−� =a﹣b， 故答案为：a﹣b 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．设�1 = 1 + 1 12 + 1 22，�2 = 1 + 1 22 + 1 32，�3 = 1 + 1 32 + 1 42，…，�� = 1 + 1 �2 + 1 (�+1)2． 设� = �1 + �2 +⋯ + ��，则 S＝ �2+2� �+1 （用含 n的代数式表示，其中 n为正整数）． 【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有 【解答】解：∵Sn＝1+ 1 �2 + 1 (�+1)2 = �2(�+1)2+(�+1)2+�2 �2(�+1)2 = [�(�+1)]2+2�2+2�+1 [�(�+1)]2 = [�(�+1)+1]2 [�(�+1)]2 ， ∴ �� = �(�+1)+1 �(�+1) =1+ 1 �(�+1) =1+ 1 �− 1 �+1， ∴S＝1+1− 12+1+ 1 2 − 1 3 +⋯+1+ 1 � − 1 �+1 ＝n+1− 1�+1 第 13页（共 13页） = (�+1) 2−1 �+1 = �2+2� �+1 ． 故答案为： �2+2� �+1 ． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值．关键是由 Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律． 25．（1）在实数范围内因式分解：5x2﹣8xy+2y2＝ 5（x− 4− 65 y）（x− 4+ 6 5 y） ． （2）若三角形的三边长为 a、b、c，设 p= 12（a+b+c），可根据海伦公式 S= �(� − �)(� − �)(� − �)， 求这个三角形的面积．当 a＝7，b＝8，c＝10时，用科学计算器求这个三角形的面积 S＝ 27.811 ．（结 果精确到 0.001） 【考点】二次根式的应用；提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有 【解答】解：（1）方程 5x2﹣8xy+2y2＝0的解为 x1= 4− 6 5 y，x2= 4+ 6 5 y， ∴5x2﹣8xy+2y2＝5（x− 4− 65 y）（x− 4+ 6 5 y）； （2）S= 12.5 × (12.5 − 7) × (12.5 − 8) × (12.5 − 9) ≈27.811． 【点评】用到的知识点为：ax2+bx+c＝0 的两根为 x1，x2，则 ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）；当含有 2 个未知数时，应把其中一个看成已知数． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2025/2/4 11:45:36；用户：熊生泉；邮箱：XFS- 780475264296 2339.42133300；学号： 61818202 中考数学第一轮复习 填空题练习 数与式之分式与二次根式 填空题： 1．计算的结果为 　 　． 2．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 3．若分式的值为0，则实数x的值为 　 　． 4．计算：　 　． 5．若a，则a2　 　． 6．计算：（3）　 　． 7．计算： 　 　． 8．计算：　 　． 9．已知a2﹣2b+1＝0，则的值是 　 　． 10．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：　 　． 11．化简：（x）＝　 　． 12．如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 　 　（精确到个位，参考数据：4.58）． 13．已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2，a3，…，an，则a2024的值为 　 　． 14．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|　 　． 15．若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1）的值为 　 　． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　 　． 17．分式与的最简公分母是　 　，方程1的解是　 　． 18．计算：|2|﹣（）﹣1＝　 　． 19．有一组数据：a1，a2，a3，…，an．记Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S12＝　 　． 20．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的a是 　 　，r是 　 　． 21．化简：（1）＝　 　． 22．计算：（3）0﹣||﹣2﹣1﹣cos60°＝　 　． 23．计算（a）的结果是　 　． 24．设，，，…，． 设，则S＝　 　（用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 25．（1）在实数范围内因式分解：5x2﹣8xy+2y2＝　 　． （2）若三角形的三边长为a、b、c，设p（a+b+c），可根据海伦公式S，求这个三角形的面积．当a＝7，b＝8，c＝10时，用科学计算器求这个三角形的面积S＝　 　．（结果精确到0.001） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$