专题05 平面向量中等和线的应用（含平面向量共线定理及其推论）（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题05 平面向量中等和线的应用（含平面向量共线定理及其推论） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、平面向量共线定理及其推论 3 题型二、等和线的应用 9 压轴能力测评（13题） 19 一、平面向量共线定理 1、已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 3、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 二、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 三、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 【题型一 平面向量共线定理及其推论】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用重心及向量的中线公式得到，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果. 【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：B. 二、填空题 2．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 3．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以； 又三点共线，所以； 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为9. 故答案为：9 4．（23-24高一上·全国·期末）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：根据已知条件关系和所求问题的特征，结合向量的环境优先考虑共线定理中的三点共线系数和为1，故先由题意得，从而由共线定理得，接着结合基本不等式可求解. 5．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【答案】1 【分析】由，为上一点，且满足，可求得，再用及表示出及，进而求数量积即可. 【详解】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 三、解答题 6．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. 【详解】（1）因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. （2）充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 7．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【详解】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 8．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用向量的线性运算可得答案； （2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案； （3），， 若，，三点共线，则，求出可得答案. 【详解】（1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 【题型二 等和线的应用】（解析中部分答案未采用等和线，但是利用等和线可以快速解题） 【典例1】设是边上的点，,若，则 =（ ） 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即. 【典例2】如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 【题型训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·甘肃临夏·期末）如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】选取作为基底，表示出，根据平面向量基本定理列方程求解即可. 【详解】由图可知，， 所以，解得，则. 故选：A. 2．（2024高一·全国·专题练习）在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定， 可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：. 3．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可． 【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： ， 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. 4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）边长为2的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足，现有下列结论： ①当点P在线段BD上时，则 ②的取值范围为 ③当点P在线段BD上时，的最小值为 ④的最大值为12 则结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，直接判断①，利用点的坐标，表示，即可判断②，根据，转化为二次函数求最大值问题，即可判断③，利用坐标表示数量积，再结合几何意义，即可判断④. 【详解】①当点在线段上时，三点共线，所以，故①正确； ②建立平面直角坐标系，如图所示，根据题意可得， ，，，， 设为，， 因为， 所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以，故②错误； ③由①知，，， 则，    当时，取得最小值，故③正确； ④,， 所以，， ， 表示点到直线的距离，如图所示，点到直线的距离最大，最大值为， 所以的最大值为，故④正确.    故选：C 5．（23-24高一上·河北沧州·期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解. 【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点， 因为与的面积之比为2，则， 当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为； 当点与点重合时，可得， 此时，即，此时为最大值为， 所以的取值范围为. 故选：C.    6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，， 设，且，由，整理得，结合进而可得结果. 【详解】设，即， 可得， 因为， 即， 整理可得，且不共线， 则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 7．（23-24高一下·重庆·期末）边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，然后利用三角函数和三角恒等变换等知识求得到范围. 【详解】如图，以正三角形的高为轴，以内切圆圆心为原点，建立直角坐标系，    因为正三角形边长为2， 根据三角形面积公式得到， 所以内切圆半径为，则设，， 则， 因为， 即， 所以，解得， 则， 因为，则， 则，所以. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出内切圆半径，设，由，可解出，利用三角函数和三角恒等变换求范围. 二、填空题 8．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）若正方形边长为，点为其内切圆上的动点，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】以正方体的中心为原点，建立平面直角坐标系，设点的坐标为，根据题意得到，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】以正方体的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正方体的棱长为，可得， 又由正方形的内切圆的方程为，设点的坐标为， 则，， 因为，可得， 所以，可得， 因为，所以. 故答案为：    9．（2025高一·全国·专题练习）已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【分析】利用可得出P为的重心，取中点再利用三点共线，可得取得最小值1，再当点M与C重合时，取得最大值2，从而可得的范围. 【详解】 因为，所以， 整理得，所以P为的重心， 取AC的中点D，则. 因为，所以， 所以当点M在线段BP上时，取得最小值1， 当点M与C重合时，取得最大值2， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东惠州·期中）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】因为，， 所以. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 2．（23-24高一下·辽宁·期中）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据题意，求得且，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】以为坐标原点，过点平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 因为是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为， 因为点在的外接圆上，设，其中， 则，且， 又因为，可得且， 所以， 当时，即时，取得最大值为， 所以取得最大值为. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖北·开学考试）已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】    设的中点为，连接，则， 故即，故为的中点， 因为三点共线，故存在实数，使得， 故，而， 因为不共线，故即， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：C. 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 5．（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 二、填空题 6．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 【答案】 【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答. 【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则， 而，于是得， 又点M，O，N共线， 因此，，即，又，解得， 所以. 故答案为： 7．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据向量性质得出的关系，再应用基本不等式计算积的最大值即可. 【详解】因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是8. 故答案为：8 9．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从该窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形内角和为，若，则 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，由即可求得的最小值. 【详解】，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系， 正八边形内角和为，则， 所以，，，，，，， ，，， 因为，则， 所以，解得，，所以； 设，则，，， 则， 所以，当点P在线段CD上时，取最大值． 故答案为：2；． 10．（24-25高一上·重庆·阶段练习）在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 【答案】3 【分析】由，得，再由是的中点，结合已知条件可得，从而由三点共线，得，因为面积比得出，化简后求值. 【详解】因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，且， 所以， 即. 故答案为： 11．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】    因为，所以，因为， 所以，且三点共线， 则，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 12．（23-24高一下·北京·期中）如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 【答案】②④ 【分析】分类讨论，求出当在边上，在边上，在边上时，的取值范围以及的范围，然后根据所求判断正误. 【详解】当在边上时，如图，取中点，连接，则 设，， ， 又， ，， ，， 当在边上时，，，， 当在边上时，设，， ， ，， ，，； ①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误； ②当时，有或，这样的点有两个，故正确； ③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误； ④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确. 故答案为：②④. 13．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】延长交于D，将取值问题转换为的比值问题，根据图形将比值展开，根据内心的几何性质求解即可. 【详解】设内切圆半径为r，延长交于D，则，即， 由三点共线，得， ， ，. 当，即，亦即时等号成立，故. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面向量中等和线的应用（含平面向量共线定理及其推论） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、平面向量共线定理及其推论 3 题型二、等和线的应用 5 压轴能力测评（13题） 7 一、平面向量共线定理 1、已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 3、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 二、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 三、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 【题型一 平面向量共线定理及其推论】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 3．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 4．（23-24高一上·全国·期末）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 三、解答题 6．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 7．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 8．（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型二 等和线的应用】（解析中部分答案未采用等和线，但是利用等和线可以快速解题） 【典例1】设是边上的点，,若，则 =（ ） 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即. 【典例2】如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 【题型训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·甘肃临夏·期末）如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）边长为2的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足，现有下列结论： ①当点P在线段BD上时，则 ②的取值范围为 ③当点P在线段BD上时，的最小值为 ④的最大值为12 则结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24高一上·河北沧州·期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·重庆·期末）边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）若正方形边长为，点为其内切圆上的动点，，则的取值范围是 . 9．（2025高一·全国·专题练习）已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 一、单选题 1．（23-24高一下·广东惠州·期中）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁·期中）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 3．（24-25高一上·湖北·开学考试）已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 7．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 8．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 9．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从该窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形内角和为，若，则 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为 ． 10．（24-25高一上·重庆·阶段练习）在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 11．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 ． 12．（23-24高一下·北京·期中）如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 13．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$