专题04 坐标法与极化恒等式在平面向量中的应用（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题04 坐标法与极化恒等式在平面向量中的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、坐标法 2 题型二、极化恒等式 8 压轴能力测评（11题） 12 一、建系的常见技巧 1、前言 坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。 2、技巧 ①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等； ②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。 二、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 【题型一 坐标法】 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可. 【详解】 如图所示建立平面直角坐标系，设，显然， 所以， 由二次函数的单调性知. 故选：A 2．（23-24高一上·北京通州·期中）已知为矩形，点在线段上，且满足，则满足条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出点坐标，算出坐标，由得到，构建方程求解即可. 【详解】以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    可得, 因为点在线段上，所以可设， 所以, 又，所以，可得， 解得；，即满足条件的点P有2个. 故选：C. 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 4．（24-25高一上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，写出点、、和的坐标，设出点，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值. 【详解】如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，则，，，， 设， 则，，， ， 即当时，取得最小值5. 故选：D    5．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解. 【详解】解：由题可建立如图所示坐标系： 由图可得：， 又， 故直线的方程：，可得， 所以， 故选：C. 6．（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可. 【详解】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C 7．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知等边三角形的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点，连接，以点为原点，、所在的直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，则，利用二次函数的基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】取线段的中点，连接，则， 以点为原点，、所在的直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、，设点，则， ，， 所以，， 因为函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，， 又因为，，所以，， 因此，的取值范围是. 故选：D. 8．（23-24高一下·辽宁·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可得，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用三角函数的性质求解. 【详解】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则，其中，，， 故，,， ， ，，， ， 的取值范围为,，故的最小值为； 故选：A． 【题型二 极化恒等式】（解析中部分答案未采用极化恒等式，但是利用极化恒等式可以快速解题） 一、单选题 1．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 所以 . 故选：A 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 3．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知是的三边，且，，，点是外接圆的圆心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，则，进而可得，再结合，代入计算即可. 【详解】取的中点，然后连接，如图 所以，由O是外接圆的圆心，所以， 所以， 又，故. 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【详解】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】取中点，连接，根据和求出的表达式即可求解. 【详解】      如图，取中点，连接， ， ， 两式相减得 ， 要使有最大值，则最小， 当时，， 所以的最大值为. 故答案为：3. 6．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设外接圆的圆心为，半径为，利用平面向量的线性运算与数量积可得，再结合圆的几何性质确定其最大最小值即可得结论. 【详解】如图，设外接圆的圆心为，半径为， 可得 因为为三边上的动点，可知的最大值为到三角形顶点的距离，即为半径，且的最小值为到边的距离， 过作，垂足为，则， 所以的最大值为，最小值为， 故的取值范围是.故答案为：． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在边长为2的菱形中，，点是内一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则. 设，则，故， 即的取值范围是. 故选：A 2．（23-24高一下·北京·期中）已知圆的半径为2，AB是圆的一条直径，平面上的动点满足，则当不在直线AB上的时候，的面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量加法运算，结合数量积的运算律求出长，即可求出三角形面积的最大值. 【详解】依题意，， 即有，因此，点到直线AB距离的最大值为1， 所以面积的最大值为. 故选：D 3．（23-24高一下·四川泸州·期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，，，， 所以， 因为的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：D． 4．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】借助中点Q和平方差公式得，再探究PQ的最大值即可. 【详解】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 二、填空题 5．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用垂直关系和模得坐标表示可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】以A为原点建立如图平面直角坐标系， 设，由， 得，所以， 故，又， 所以，则，即， 所以， 当时，. 故答案为： 6．（23-24高一上·天津·期末）在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算的最小值． 【详解】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示： 过点作，垂足为，则，， 由，，可设，,，则,，由， 所以，,， 所以， 当时，取得最小值为． 故答案为：． 7．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】取的中点，连接，，计算，求出，得出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】取的中点，连接，，，如图所示： 因为为中点，所以， 所以， 因为，所以最大值为； 所以的最大值为. 故答案为：6． 8．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 【答案】 6 【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ， 显然，当为的中点时，， 所以 故答案为：6；． 9．（23-24高一下·福建漳州·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，得到方程组，求出，由投影向量的定义可知当在线段上时，取的最大值，当在线段上时，取的最小值，得到答案. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设正八边形的边长为2， 则， ， 由得， 即，解得， 故； 由投影向量可知，当在线段上时，取的最大值， 最大值为， 当在线段上时，取的最小值， 最小值为， 故的取值范围是. 故答案为：， 10．（23-24高一上·天津·期末）在梯形中，分别为线段和线段上的动点，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的函数关系式，求出的取值范围，利用对勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、、、，则， 由题意可得，解得， ， 所以，， 由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 在上单调递减，且，， 则. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 11．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是 ．    【答案】3 【分析】取边上的中点Q，设P到的距离为h，由已知可得，利用向量运算可得，结合和基本不等式求解. 【详解】取边上的中点Q，设P到的距离为h， 由，所以， ， . （当且仅当，即时等号成立）． 则的最小值为3． 故答案为：3.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 坐标法与极化恒等式在平面向量中的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、坐标法 2 题型二、极化恒等式 4 压轴能力测评（11题） 5 一、建系的常见技巧 1、前言 坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。 2、技巧 ①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等； ②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。 二、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 【题型一 坐标法】 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京通州·期中）已知为矩形，点在线段上，且满足，则满足条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 5．（2024·山东·二模）在中，交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知等边三角形的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·辽宁·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 【题型二 极化恒等式】（解析中部分答案未采用极化恒等式，但是利用极化恒等式可以快速解题） 一、单选题 1．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）已知是的三边，且，，，点是外接圆的圆心，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 5．（23-24高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 6．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 . 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在边长为2的菱形中，，点是内一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京·期中）已知圆的半径为2，AB是圆的一条直径，平面上的动点满足，则当不在直线AB上的时候，的面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 3．（23-24高一下·四川泸州·期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题 5．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为 ． 6．（23-24高一上·天津·期末）在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 . 7．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为 . 8．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 9．（23-24高一下·福建漳州·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为 ． 10．（23-24高一上·天津·期末）在梯形中，分别为线段和线段上的动点，且，则的取值范围为 ． 11．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$