专题4 综合与实践(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学重难题型册（陕西专用）

2025陕西 数 学 重难题型册 1 第二部分 2025陕西重难题型突破 专题四 综合与实践 （2024 陕西 26 题考法） 2 类型1 线段最值问题（8年5考） 1.（2023陕西26题10分） （1）如图1，在中， ， ，.若 的半径为4，点在上，点在上，连接 ，求线段 的最小值； 3 解：如解图1，连接，，过点 作 ，垂足为 ， 则, . 的半径为4， ， ， , ， ， ， 线段的最小值为 ； 4 （2）如图2所示，五边形 是某市工业新区的外环路，新区管委会在 点处，点 处是该市的一个交通枢纽.已知： ， ， .根据新区的自然环境及实际需求， 现要在矩形 区域内（含边界）修一个半径为 的圆型环道；过圆心 ，作，垂足为， 与交于点.连接，点在上，连接 .其中，线段，及 是要修的三条道路，要在所修道路， 之和最短的情况下，使所修道 路最短，试求此时环道的圆心到 的距离 的长. 5 解：如解图2，分别在， 上作 ， 连接，，， ， . ， ， ， 四边形 是平行四边形, . ， ， 6 当点在上时， 取得最小值. 作，使圆心在 上， 半径，作 ， 垂足为，并与交于点 , ， ， . 在矩形 区域内 （含边界）， 当与相切时， 最 短，此时 . 此时，在， 之和最短的 情况下， 也最短. ， 也最短. ， ， 此时环道的圆心到 的距离的长为 . （1）如图1，为的直径，是的切线．为 上的任意一点，连接.若，，则 的最小值 为___； 【解法提示】如解图1，连接，，交 于点 ,, 当点与点 重合 时，有最小值，即的长.， 是 的切线， ， ，, 的最小值为2； 2 2.问题提出 图1 解图1 Q 问题探究 （2）如图2，，，，为 内部一点，且满足 ．当取最小值时，求 的长； 图2 11 解图2 解：如解图2，以为直径作，连接，交于点 时，满足 ，且此时最短，作于点 . ，， ，， ， ，即， ， ， ， ； 12 问题解决 图3 （3）如图3，这是某学校为艺术节设计的矩形活动区域 ．已知米，米， 米，其中 表演舞台设计在处，观众席在上方，摄影师在点 处．为了方便摄影师录像，需要满足 ．点 处设置休息处，表演结束后从点处离开．现需要修建小路， ，已 知修建小路的费用为每米260元，求修建小路的最少费用．（结果取整数， 参考数据： ） 13 解图3 解：如解图3，以为直径作，作点关于 的对称 点，连接，交于点，交于点 ，此时满足 ，且 最短， 点与点关于对称，， 最短. 米，米，米， 米， 米. 米，米， （米）. 米， 米，即 （米）， （元），即修建小路的最少费用为13 572元． 14 类型2 面积问题（8年7考） 3.（2024陕西26题10分）问题提出 （1）如图1，在中， ， ，作的外接圆 ， 则的长为_____；（结果保留 ） 15 【解法提示】连接， ，如解图1.∵ 30°， ， 是等边三角形, ， 的长 为 ； 16 问题解决 （2）如图2所示，道路 的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点，，，线 段，和为观测步道，其中点和点 为观测步道出入口.已知点在上，且 ， ， ，，，现要在 湿地上修建一个新观测点 ，使 .再在线段上选一个新的步道出入口点 ， 并修建三条新步道，，，使新步道经过观测点，并将五边形 的面积 平分. 请问：是否存在满足要求的点和点？若存在， 求此时 的长；若不存在，请说明理由.（点，，， ，在同一平面内，道路 与观测步道的宽、观测点及 出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 17 解：存在满足要求的点和点 ， 此时的长为 . 理由如下： ， ， ， . ， 四边形 是平行四边形. 要在湿地上修建一个新观测点，使 ， 18 点在以为圆心， 为弦， 所对的圆心角为 的圆上， 如解图2. ， 经过点 的直线都 平分平行四边形 的面积. 新步道经过观测点 ，并将五 边形 的面积平分， 19 直线必经过的中点 .易知 是 的中位线， . ，， 四边形 是平行四边形， . 过点作于点 ，如解图 3， 四边形 是平行四边 形， ， . ， ， . ， ， ， ， 即 ， .在中， ， ， 存在满足要求的点和点 ，此 时的长为 . 4.（2021陕西26题10分）问题提出 （1）如图1，在中， ，，，是 的中 点，点在上，且，求四边形 的面积.（结果保留根号） 24 解：如解图1，过点作交 的延长线于点，过点作 于 点 . 四边形 是平行四边形， ， ， ， 在中，， . 25 点是 的中点， ，同理得 . ， ， ； 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩 地上建一个五边形河畔公园 .按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个 四边形人工湖，使点，，， 分别在边，，，上，且满足 ， .已知在五边形中， ， ， ，， .为满足人工湖周边各功能场 所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存 在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在， 求四边形面积的最小值及这时点到点 的距离；若不 存在，请说明理由. 27 解：存在，如解图2，分别延长 与，交于点，则四边形 是矩形， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 28 ， 当时，最小，最小值为 ， 此时 ， ， 符合设计要求的四边形面积的最小值为 ，这时，点 到点的距离为 . 5.（2020陕西25题12分）问题提出 （1）如图1，在 中， ， ，的平分线 交于点 .过点分别作 ，，垂足分别为， ， ，， 则图1中与线段 相等的线段是______________. 31 问题探究 （2）如图2，是半圆的直径，是上一点，且 ， 连接，的平分线交于点，过点分别作 ， ，垂足分别为，，求线段 的长. 32 解：连接 ，如解图1， 是半圆的直径， ， ， ， ， 同（1）得四边形是正方形， ， 在中， ， 33 在 中， . ， ，即 ，解得 ； 问题解决 （3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知 的直径 ，点在上，且为上一点，连接 并延长， 交于点.连接，.过点分别作， ，垂足分别为 ，.按设计要求，四边形 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动 区，圆内其余部分为绿化区.设的长为，阴影部分的面积为 . 35 ①求与 之间的函数关系式； 解：为的直径， . ， . 同（1）得四边形是正方形， ， ， ， 将绕点逆时针旋转 ，得到， ，如解图2， 则，，三点共线，， ，即 ， 36 . 在中， ， ， ； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当的长度为 时，整体布 局比较合理.试求当时,室内活动区（四边形 ）的面积. 38 解：当时， ， . 在 中，由勾股定理得 . ， ，解得 ， ， 当 时,室内活动区 （四边形）的面积为 . 6.（2024安康石泉县期末）问题提出 图1 （1）如图1，点为菱形的对角线 上一点， 连接，，若，则 的长为___； 3 40 问题探究 图2 （2）如图2，在四边形中， ， ，，，点， 分别在线 段，上，且，试判断与 之间 的数量关系，并说明理由； 41 解图1 解： ，理由如下： 如解图1，过点作交的延长线于点 ， 则 . ，， ， ， 是等腰直角三角形，， . ，，，即 . 又，， , . 42 问题解决 图3 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，王大爷拟将一块 矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形 的边的中点处有一个凉亭，在 上取一 点（不与端点重合），下方取一点，点 为矩 形内一点.根据需求，要将 区域规划为休 闲垂钓区，四边形 区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区 域为荔枝林和土鸡放养基地，计划沿， 修建两条休闲通道，为了让 43 空间更加和谐、美观，需使四边形为菱形，且 ， ，经测量米， 米，请你帮助王大爷计 算“民宿”区域（菱形 ）的面积. 解：如解图2，连接，，，过点作于点 . 解图2 在矩形中，米，米，点为边 的中点， ，米, 为等腰直角三角形, ， （米）. 四边形是菱形，， ， ,，, , ，即, , 为等腰直角三角形, , . 解图2 又 ， ，即，， 三 点共线. 四边形是菱形，垂直平分, . ，, 米, 米, 米， 米. 记与的交点为点 . 解图2 （米）， （米）， （米）, 菱形 的面积 （平方米）, 即民宿区域的面积为12 800平方米. 解图2 7.问题提出 图1 （1）如图1，在中，已知， ，在 上找一点，使得线段将 分成面积相等的两部分， 画出线段，且 的长为_____. 48 解图1 【解法提示】如解图1，取的中点，连接，线段 即 为所求.，，.在 中. ，， ， . 49 问题探究 图2 （2）如图2，点是的边上一定点，在 上找 一点，使得线段将 分成面积相等的两部分，并 说明理由. 50 解图2 解：如解图2，取的中点，连接，，过点 作 交于点，连接，则线段平分 的面积. 理由：， . ， ， ， 线段平分 的面积. 51 问题解决 图3 （3）如图3，四边形 是某市区新近改造 过程中的一块不规则空地，为了美化环境，市 规划办决定在这块空地里种植两种花卉，打算 过点 修一条笔直的通道，以便市民出行观赏 花卉，要求通道两侧种植花卉的面积相等，经测量 ， ， ， ， .若将通道记为 ，请你画出通道，并求出通道 的长. 52 解：如解图3，延长交的延长线于点，过点作于点 . 解图3 ， ， ， ，， . 53 ， ， ， ， ， ， . ， ， ， ， 解图3 . 直线平分四边形的面积， ， ，， ， ，即通道的长为 . 解图3 8.问题提出 图1 （1）如图1，的边在直线上.过顶点 作直线 ，在直线上任取一点，连接， ，则 ___.（填“ ”“”或“ ”） 56 问题探究 图2 （2）如图2，在中，，且 边上的高为3， 若过点作，连接，，求 的面积； 解：， 点和点到直线 的距离相等. ，且边上的高为3， ， ； 57 问题解决 图3 （3）如图3，有一个菱形广场，已知 米， ，连接 .现计划对这个广场进行绿 化，在阴影部分区域内种植绿植，且满足点，， 分别在，，上，， .为了节约 成本，要求种植绿植的区域面积尽可能小，你认为该 计划能否实现？如果能，请求出阴影部分面积的最小值；如果不能，请说 明理由. 58 解：能实现，理由如下： 在菱形中， ， ， ， . ， ， ，，且 ， , ，，四边形 是平行四边形, 59 则和 是等腰三角形. 设米，则米， 米. 在中， ,,边上的高为 , . 同理在中，边上的高为， . ， ， . ， 当 时，阴影部分的面积最小， 最小值为 平方米， 能实现种植绿植的区域面积尽可能小，阴影部分面积的最小值为 平方米. 类型3 角度问题（8年1考） 9.（2022陕西26题10分）问题提出 图1 （1）如图1，是等边的中线，点在 的延长线 上，且，则 的度数为_____. 【解法提示】为等边三角形， ， 是等边 的中线， ， ； 63 问题探究 图2 （2）如图2，在中，， . 过点作，且，过点作直线 ，分 别交，于点，，求四边形 的面积. 64 解：如解图1，连接 . ，， 四边形 为平行四边形, ， ， ， . ， ， ， ， ； 65 问题解决 图3 （3）如图3，现有一块型板材， 为钝角， .工人师傅想用这块板材裁出一个 型部件，并要求 ， .工人师傅在 这块板材上的作法如下： ①以点为圆心，以长为半径画弧，交于点 ， 连接 ； 66 ②作的垂直平分线，与交于点 ； 图3 ③以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，连接， ，得 . 请问，若按上述作法，裁得的 型部件是否符合要求？请证明你的结论. 67 解：符合要求，证明如下： 如解图2，过点作的平行线，过点作 的平行线， 两条平行线交于点 ， 四边形 为平行四边形. ， ， ， 四边形为正方形， , . 是的垂直平分线，是的垂直平分线， . ，， 为等边三角形， ， ， 裁得的 型部件 符合要求. 68 图1 10.如图1，已知线段与直线，过，两点，作 使其与直线相切，切点为 ，易证 ，可知点对线段 的视角最 大. 69 图2 （1）如图2，已知的外接圆为，与 相切 于点，交的延长线于点 . ①请判断与 的大小关系，并说明理由. 问题提出 70 图1 解：.理由如下：如解图1，连接 并延长交 于点，连接 ， 则 ， 为的直径， ， . 与相切于点， ， ， ， . 71 图2 ②若，，求 的长. 解：由①知 ， ， . ，， ， ， . 72 问题解决 图3 （2）如图3，一大型游乐场入口设在道路 边上，在 “雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关 部门准备在与地面道路夹角为 的射线 方向上 （位于垂直于地面的平面内）确定一个位置 ，并架设斜 杆，在斜杆的中点处安装一摄像头，对入口 实 施监控（其中点，，，，，，在同一平面内）. 已知 米，米，调研发现，当 最大时监控效果最好，请问在射线 上是否存在一点，使得达到最大？若存在，请确定点在 上 的位置及斜杆 的长度；若不存在，请说明理由. 73 图2 解：存在一点，使得达到最大.如解图2，取 的中点，过点作的平行线，经过点， 作 与相切于点， .由题 意知，此时 最大. ，是 的中点， ， . 过点作的直径，连接，则， ， . 74 是的切线，是切点， ， ， . 又，， ， ， ，.过点作 于点 . ， ， 图2 ， ， . 在 中,由勾股定理得 ， ， 当最大时，点在上距离点 米处，斜杆 的长度为 米. 图2 77 $$