专题3 二次函数综合题(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学重难题型册（陕西专用）

2025陕西 数 学 重难题型册 1 第二部分 2025陕西重难题型突破 专题三 二次函数综合题 （2024 陕西 25 题考法） 2 类型1 抛物线型实际问题（8年3考，且近3年连续考查） 1.（2022陕西25题8分）现要修建一条隧道，其截面为抛 物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以 为坐 标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于 轴的直 线为 轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求： ，该抛物线的顶点到的距离为 . 3 （1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式； 解：由题意可知抛物线的顶点为 ， 设抛物线的函数表达式为 ，把 代入，可得 ， 抛物线的函数表达式为 ； 4 （2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示， 即在该抛物线上的点， 处分别安装照明灯.已知点 ，到的距离均为，求点， 的坐标. 解：令，得 ， 解得， ， ， . 5 2.如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上， 若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系，当拱 门上的点到点的水平距离为（单位：）时，它距地面的竖直高度为 （单位： ）. 图1 图2 6 （1）测量拱门，发现与 的几组数据如下表： 2 3 6 8 10 12 4 5.4 7.2 6.4 4 0 根据上述数据，求出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度 （即拱门底部两个端点间的距离），并求与 满足的函数关系式. 7 解：由表格中的数据可得拱门对应的抛物线经过和 ， 拱门对应的抛物线的对称轴为直线 ， 拱门对应的抛物线的顶点坐标为 ， 拱门的高度为 . 由题意，得拱门对应的抛物线经过和， 拱门的跨度为 . 设与满足的函数关系式为 ， 将代入,得， . 与满足的函数关系式为 ； 8 （2）在一段时间后，公园重新维修拱门，在同样的坐标系下，新拱门上 的点距地面的竖直高度（单位：）与它到点的水平距离（单位： ） 近似满足函数关系，若记原拱门的跨度为 ，新 拱门的跨度为，则___（填“ ”“”或“ ”）. 【解法提示】将代入 ，则 ，解得 （负值不合题意，舍去）， .令,解得,. 抛物线 与轴的交点为和， 新拱门的跨度为 . ，，， . 9 3.我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的 语言表达世界.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的 雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线.在如图2所示雨伞最 大纵截面上建立平面直角坐标系，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨 ， 的交点，点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于 轴 对称.分米，点.设抛物线的表达式为 . 图1 图2 10 解：， . 把和代入 ， 得解得 抛物线的表达式为 ； （1）求抛物线的表达式； 11 解：设直线的表达式为 ， 将代入，得 ， 解得 ， 直线的表达式为 ， 联立函数表达式，得 解得或 点的坐标为 . （2）分别延长，交抛物线于点，，求 的长. 12 抛物线的对称轴是 轴， 点的坐标为 ， （分米）， 即 的长为10分米. 4.（2024渭南澄城县一模）王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园 装饰景观灯，提供了两个素材. 素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱的高为 ，抛 物线型灯杆的最高点距离地面，且到灯柱的水平距离为 ，灯 泡到地面的距离为 .（灯泡大小忽略不计） 素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线型灯杆， 灯泡，关于对称（， 分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之 间修建一个支架 . 14 小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系， 请你帮他完成以下两个任务： 15 （1）求该抛物线在第一象限的函数表达式 （不要求写出自变量 的取值范围）； 解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为 ， 设该抛物线的函数表达式为 ， 把代入中，得 ，解得 ， 该抛物线在第一象限的函数表达式为 ； 16 （2）小张同学设计的支架长为 ，请你结合已 学知识，判断他设计的景观灯支架 的长度是否符 合要求，并说明理由. 17 解：他设计的景观灯支架 的长度符合要求，理由 如下： 在中，当 时， 解得或（舍去）， . 灯泡，关于 对称， ， ， 他设计的景观灯支架 的长度符合要求. 18 5.（2024宝鸡凤翔区一模）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡 条件决定，一般接近抛物线.如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛 物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重 量，两桥塔，间距为，桥面 水平，主索最低点 为点，点距离桥面为，如图2，以的中点为原点， 所在直线 为轴，过点且垂直于的直线为 轴，建立平面直角坐标系. 图1 图2 19 解：由题意可知点的坐标为 . 设主索抛物线的函数表达式为 . 又 , 点坐标为 ， 将和代入 ,得 主索抛物线的函数表达式为 ； （1）求主索抛物线的函数表达式； 20 （2）距离点水平距离为和 处的吊索共四条需要更换，求四根吊 索总长度. 21 解：由题意，得当时， ，此时吊索的长度为 . 由抛物线的对称性得当时，此时吊索的长度也为 . 当时， ,此时吊索的长度为 . 由抛物线的对称性得当时，此时吊索的长度也为 . 即 ， 四根吊索总长度为 . 22 6.（2024陕师大附中模拟）如图，在平面直角坐标系中， 某跳水运动员站在跳台上的处进行 跳台跳水训练， 水面平行于轴，水面边缘点的坐标为 .运动员 （将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点 、 最高点、入水点的抛物线，最高点的坐标为 . 23 （1）直接写出抛物线的函数表达式及点 的坐标； 解：抛物线的函数表达式为 ， 点的坐标为 ； 24 （2）如图，该运动员从点入水后，经过最低点 ，再从点 出水，运动路线为另一条抛物线.若抛物线与 开口大 小相同，且，求最低点 离水面的距离. 25 解：由题意，设抛物线 的函数表达式为 . 又，， ， ， 抛物线的对称轴是直线 ， 抛物线的函数表达式为 . 将代入 ，得 26 ，解得 ， 顶点的坐标为 ， 最低点 离水面的距离为 . 7.如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形 状可以近似地看作一条抛物线.经过测量，他发现立柱， 均与地面垂 直，且，，之间的水平距离 .绳子最低点与 地面的距离为 . 28 图1 （1）按图1建立的平面直角坐标系，求抛物线的解 析式； 解：由题意,得抛物线的对称轴为直线 ， 顶点的坐标为，点，点 . 设抛物线的解析式为 ， 将点代入 ,得 ，解得 ， ; 29 图2 （2）由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣 服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱 撑起绳子，如图2，的高度为 ， 通过调整的位置，使左边抛物线 对应 的函数解析式为 ，且最低 点离地面，求水平距离 . 30 解：由题意，知抛物线 的最低点离地面 ， , 抛物线的解析式为 . 点在抛物线 上， , , 31 则抛物线 的解析式为 ， 当 时， 即 ， 整理，得 ， ， （不合题意，舍去）， ， ， 即水平距离为 . 8.（2023陕西25题8分）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱 门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 ，还要兼顾美观、大 方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个 方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一 方案一，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 .其中，点在轴上，， . 33 方案二 方案二，抛物线型拱门的跨度 ，拱高 .其中，点在轴上， ， . 要在拱门中设置高为 的矩形框架，其面积越大越好 （框架的粗细忽略不计）.方案一中，矩形框架 的 面积记为，点，在抛物线上，边在 上；方案二中，矩形框架 的面积记为，点，在抛物线上，边在 上.现知，小华 已正确求出方案二中，当时， ，请你根据以上提 供的相关信息，解答下列问题： 34 （1）求方案一中抛物线的函数表达式； 解：由题意知方案一中抛物线的顶点为 . 设抛物线的函数表达式为 ， 把代入,得 ， 解得 ， 方案一中抛物线的函数表达式为 ； 35 （2）在方案一中，当时，求矩形框架 的 面积,并比较， 的大小. 解：在中，令,得 , 解得或 ， ， . ， . 36 9.（2024铁一中模拟）“昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦.”行走在秦岭脚 下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚.其中一种植户雷莹借助现有地 势，将大棚的一端固定在离地面2米高的墙体的端点 处，另一端固定 在离地面1米高的墙体的端点处，墙体，均垂直于水平面 .测 得， 两墙体之间的水平距离为4米，且大棚横截面顶部为抛物线型， 建立如图所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度 （米）与 其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足： . 37 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求雷莹家大棚的最高处到地面的距离； 38 解：由题意知，，，，， ， 把，点的坐标代入，得 解 得 . ， 当时，有最大值，最大值为， 雷莹家大棚的最 高处到地面的距离为 米； 39 （2）现要对入口处进行加固，如图所示： 方式一：雷莹在距离墙体左侧1米处垂直地面放置一根管材 ，管材一 端固定在地面上，另一端点刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线 段）上，用角铁固定另一根管材，使 ，且管材 的另一 端固定在墙体 上； 方式二：在距离墙体，等距（即中点 ）处以相同的方式放置管 材， .已知两种方式都能起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方 式所使用的管材更少？ 40 解：方式一：如解图1. 解图1 米，米， 米. 当时， ， 即米， （米）； 41 解图2 方式二：如解图2， 米， 米. 当时，， 米， （米）. ， 方式二所使用的管材更少. 42 10.（2024高新一中模拟）【情境探究】小明和小强做弹力球游戏.游戏规 则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放 置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球 板触碰），否则小明胜. 43 【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛 物线，如图所示.在一次游戏过程中：小明站在起点 处抛弹力球，以 为坐标原点，水平方向直线和竖 直方向直线分别为轴和 轴建立平面直角坐标系， 弹力球从离地面2米的处抛出，第一次落地前，球在距离起点 水平距离 为2米处，达到飞行最大高度为3.6米，弹力球在 处落地后再次弹起，第 二次飞行的水平距离 米，且飞行的最大高度为第一次的一半. 44 （1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式； 解：由题意得弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式的顶点坐标为 . 设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式为 . 此抛物线经过点 ， ，解得 ， 弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式为 . 【问题解决】 （2）小强在距起点8米处放置接球板， 垂直地 面于点，且 米，请通过计算判断谁会获胜. 46 解：当时， ， 解得（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为 . ， 点的坐标为 . 第二次飞行的最大高度为第一次的一半， 弹力球第二次飞行时抛物线的顶点坐标为 ， 设弹力球第二次飞行时抛物线的函数表达式为 . 47 此抛物线经过点 ， ， 解得 ， 弹力球第二次飞行时抛物线的函数表达式为 . 当时， . ， 球与接球板不触碰. 小明获胜. 类型2 二次函数背景下的几何问题（8年5考） 考向1 线段、面积问题 一、线段问题 求线 段长 已知，若轴，则 ； （2）若轴，则；（3）若 与坐标轴不平 行，则 线段 最值 （1）利用二次函数性质求最值； （2）利用对称性求线段和最值，即将军饮马问题（相关内容见本 册P2） 49 二、坐标系中的三角形面积求法 当有一边或两边 在坐标轴上时 相关内容见课堂精讲册P37【技巧点拨】 当三边均不在坐 标轴上时 _______________________________________ _______________________________________ 50 11.（陕西2024版例析与指导P27T7）如图，抛物线过点 ，，矩形的边在线段 上 （点在点的左侧），点，在抛物线上.设 ，当 时， . （1）求抛物线的函数表达式； 解：设抛物线函数表达式为 . 当时，， 点的坐标为 . 四边形是矩形， 点的坐标为 ， 将点坐标代入函数表达式得，解得 ， 抛物线的函数表达式为 ； 51 （2）当为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？ 52 解：由抛物线的对称性得， . 当时，点的纵坐标为 ， 矩形的周长 . ， 当时，矩形 的周长有最大值，最 大值为 . 53 12.如图，已知抛物线与轴交于， 两点，与轴交于点 . （1）求线段 的长； 解： 抛物线的解析式为 ， 令，则;令，解得， ， ,， ， . 54 （2）是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点 的 坐标. 55 解：如解图，当为与直线的交点时，连接 . 点与点关于直线 对称， ，即为 的最小 值. 由（1）可知，,， ， 易得直线的解析式为 . 抛物线的对称轴为直线.将代入 ， 得 , 当的值最小时，点的坐标为 . 56 13.（2018陕西24题10分）已知抛物线与轴相交于， 两点（点在点的左侧），并与轴相交于点 . （1）求，，三点的坐标，并求 的面积； 解：当时，，解得， ， ，， . 当时， ， ， ， 的面积为 ； 57 （2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，且与轴相交于， 两点（点在点的左侧），并与轴相交于点，要使和 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式. 58 解：由题意，得 . 要使,只要抛物线与轴交点为或 即可. 设所求抛物线的表达式为或 . 又 抛物线与抛物线 的顶点纵坐标相同， , , 解得,（ 舍去）， 满足条件的抛物线的函数表达式为, 或 . 59 考向2 特殊三角形、四边形的存在性问题 14.抛物线的顶点为，与轴交于，两点，与 轴 负半轴交于 . （1）求抛物线的解析式； 解：设抛物线的解析式为 ， 将代入，得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ； 60 （2）为对称轴右侧抛物线上一点，以 为斜边作等腰直角三角形，直 角顶点落在对称轴上，求 点的坐标. 61 解：当时，有 ， 解得， ， 点的坐标为，点的坐标为 . 如解图，过点作,垂足为 ，设抛物线的对 称轴与轴交于点 . 设点的坐标为,则 , . , , . 在和 中， 62 , ， ， . ， ，即 或 ， 解得（舍去），， ， 点的坐标为或 . 15.（2017陕西24题10分）在同一直角坐标系中，抛物线 与抛物线关于轴对称，与 轴 交于，两点，其中点在点 的左侧. 64 （1）求抛物线， 的函数表达式； 解：，关于 轴对称， 与的交点一定在轴上，且与 的形状、大小均 相同， ，，的对称轴为直线 ， 的对称轴为直线， ， 的函数表达式为， 的函数表达式 为 ； 65 （2）求， 两点的坐标； 解：在的函数表达式中，令可得 ， 解得或，， ； 66 （3）在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点 ，使得 以为边，且以，，， 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出， 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 67 解：存在.理由如下： 只能为平行四边形的一边， 且 . 由（2）可知， ， 设，则或 ， ①当时，则 ， 解得 ， ，， ； 68 ②当时，则 ， 解得 ， ，， . 综上可知，存在满足条件的点，，其坐标为， 或 ， . 69 考向3 三角形全等、相似的存在性问题 16.（2021陕西25题8分）已知抛物线与轴交于点， （点在点的左侧），与轴交于点 . （1）求点， 的坐标； 解： ， 令，得， ， 令，得 ， 解得，， ； 70 （2）设点与点关于该抛物线的对称轴对称.在轴上是否存在点 ，使 与相似，且与是对应边？若存在，求出点 的坐标； 若不存在，请说明理由. 解：存在点，设 . 由题意知，且与 是对应边， ，即 ， 解得， ， 或 . 71 17.（2020陕西24题10分）如图，抛物线 经过点和 ，与两坐 标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线 . （1）求该抛物线的表达式； 解：将点和代入 , 得解得 故抛物线的表达式为 ； 72 （2）是该抛物线上的点，过点作 的垂线，垂足为 ，是上的点.要使以，， 为顶点的三角形与 全等，求满足条件的点， 的坐标. 73 解：由（1）可知 , 抛物线的对称轴为直线 ， 令，则 或1， 令，则 ， ，， ， . ， 当时，以，，为顶点的三角形与 全等. 74 如解图，设点，当点 在抛物线对称轴的右侧 时，，解得 ， ，故点 ， 点的坐标为或 ； 当点 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性 可得，点，此时点的坐标为 或 . 综上所述，点的坐标为或；点 的坐标 为或 . 76 $$