1.与线段有关的最值问题(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学重难题型册（陕西专用）

2025陕西 数 学 重难题型册 1 第一部分 模型、方法 一、与线段有关的最值问题 2 类型1 利用“垂线段最短”求最值（8年1考） 角度1 一定一动型 问题 已知直线外一定点，直线上一动点，求 长的最小值 图示 ______________________________________________ 解题思 路 利用垂线段最短解决问题，即过点作直线的垂线段 ，此时 最短 3 1.如图，在中，，是边 上的一个动点， 连接，若长的最小值为4，则 的面积为____. 12 4 2. 如图，点是的斜边上一动点， 于点，于点，， ，则线段 长的最小值为___. 5 【解析】在中,， ， .如解图，连接 ， ， .又 ， 四边形 是矩形， ， 当最短时，也最短，即当时， 最短,此时 ，， 线段长的最小值为 . 6 角度2 一定两动型 问题 已知点是内一定点，点，分别是， 上的动点，求 的最小值 图示 _____________________________________________________________ 解题 思路 要使的值最小，设法将， 转化在同一条直线上， 利用垂线段最短解决问题，即作点关于的对称点，过点 作 的垂线，分别交，于点，，则 的最小值即为 线段 的长 7 3.如图，在锐角三角形中，是的平分线， ， 分别是线段，上的动点，， ， 则 的最小值为___. 5 【解析】如解图，作点关于的对称点，连接 ， 过点作于点是的平分线， 必在 上，， 当 ， ，三点共线，且时，的值最小. ， ，，， 的最小值为5. 8 4.如图，在中， ，是边 上 一点，，分别是射线，上异于点 的动点， 连接，，.若 ， ，求 的最小值. 9 解：如解图，作点关于的对称点 ，连接 ，，过点作的垂线交于点，交 于点 . 由对称的性质得 ， ，此时 的值 最小，最小值为线段 的长. ， ，点与点关于对称， ， ， ， 10 . 在 中， ， 的最小值为 . 类型2 利用“两点之间线段最短”求最值（含将军饮马问题） （8年4考） 角度1 一线两点型 异侧线 段和最 小 问题 两定点，位于直线异侧，在直线上找一点 ，使得 的值最小 图示 ___________________________________________________________________________ 解题 思路 根据两点之间，线段最短，知 的最小值即为线段 的长.连接交直线于点，点 即为所求 12 同侧线段和最小 问题 两定点，位于直线同侧，在直线上找一点 ，使得 的值最小 图示 ______________________________________________________________________________ 解题思路 将两定点同侧转化为异侧，即作点 关于 直线的对称点，连接交直线 于点 ，点 即为所求 续表 13 5.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于，两点，点 的坐标为 ，点的坐标为，是 轴上的一个动点，则当 的值最小时，点 的坐标为______. 14 【解析】根据题意知，当,,三点共线时， 的 值最小，则点为直线与轴的交点.将 代入 ，得，则.将 代 入，得，则.将 ， 分别代入，得 解得 .令，得，则 . 15 6.如图，在等边三角形中，，平分，点是边 的中 点，点是线段上的动点，则 的最小值为_____. 16 【解析】如解图，连接， 是等边三角 形，平分， 所在直线是等边三角形的一条 对称轴，， ， ，的最小值为 的长. 点是边的中点， ， .在 中，由勾股定理得 ，的最小值为 . 17 7.如图，正方形的边长为4，在 上，且 ，是上的一个动点，则 的最小值 为___. 5 18 【解析】如解图，连接， 四边形 是正 方形， 对角线 所在直线是其一条对称轴， ， ， 的最小值为的长.在 中， ， ， ，即 的最小值为5. 19 8.如图，在矩形中，，，动点 满足 ，则点到，两点的距离之和 的最小值为 _____. 20 【解析】设在中， 边上的高是 ， ， ， 动点在与平行且与 的距离是2 的直线上，如解图，作点关于直线的对称点，连接，则 的长就 是的最小值.在中，， ， ，即的最小值为 . 21 角度2 一点两线型 问题 点是内部一定点，在上找一点，在上找一点 ，使 得 的周长最小 图示 _________________________________________________________ 解题 思路 要使的周长最小，即 的值最小，根据两点 之间线段最短，将三条线段转化在同一条直线上，即分别作点 关 于，的对称点，，连接分别交，于点， ， 则点， 即为所求 22 9.如图，在锐角三角形中， ，点是边 上的一个定点，点 ，分别是和边上的动点，当的周长最小时， 的度 数是______. 23 【解析】如解图，分别作关于，的对称点， ， 交于点，交于点，连接，交于点 ， 交于点，此时 的周长最小. ， ，， ，，， ， ， . 24 10.如图，是边长为2的等边三角形，是 边的 中点，是边上的动点，是边上的动点，当 ， 的位置在何处时，才能使 的周长最小？并求出 这个最小值. 25 解：如解图，分别作点关于，的对称点 ， ，交于点，交于点，连接 ，交 于点，交于点 . ， ， 的周长为 . 根据两点之间线段最短知，的长即为 周长 的最小值. 26 ， ， ， . 为的中点，， ， ， . 易得, , ,同理 ， ，分别为， 的中点. 由对称可知 ， 同理可得， ， ， ， 周长的最小值为3. 角度3 两点两线型 问题 点，是内部的两定点，在上找一点，在 上找一点 ，使得四边形 的周长最小 图示 _______________________________________________________ 解题 思路 的长为定值，要使四边形 的周长最小，即 的值最小.作点关于的对称点，作点 关于 的对称点，连接分别交，于点，，则点， 即为所求 29 11.如图，在矩形中，，，，，， 分 别是边，上的动点，求四边形 周长的最小值. 30 解：如解图，作点关于的对称点，作点 关 于的对称点，连接交于点，交 于 点 ， 则， ， 四边形 的周长 ，此时四边形 的周长有最小值，最小值为 的值. ，，， ， 31 . ，，， ， . 在中， ， 在中， ， 四边形周长的最小值为 . 角度4 造桥选址问题 问题 已知直线直线，点在直线的上方，点在直线 的下方，在 直线，上分别找点，，使得，且 的 值最小 图示 ____________________________ 解题 思路 的长是定值，要使的值最小，即 的值 最小.作，，连接交直线于点，过点 作 于点，则点， 即为所求 33 12.（北师八下P90T18改编）如图，有一所小学与中学分别 位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥， 方便两所学校的交流.已知小学离较近街道的一边距离为200 米，中学离较近街道的一边距离为300米，小学与中学的水 平距离为500米，街道宽度为700米（街道两边平行）.请问：天桥建在何处 才能使由小学到中学的路程最短（天桥必须与街道垂直）？请在图中画出 天桥修建的位置，并计算出最短路线的距离. 34 解：如解图，线段 即为天桥修建的位置. 过点作交的延长线于点 . 在中， ， 米， （米）， （米）， 最短路线的长为 米. 35 13.如图，在矩形中，,,为 的 中点，连接，若，为 边上的两个动点，且 ，连接，，求 的最小值. 36 解：如解图，在上截取线段，作 点关 于的对称点，连接与交于点，连接 ，过 点作的平行线交的延长线于点 ， . ， ， 四边形 是平行四边形， ， , 37 此时取得最小值，最小值为 的长. 是的中点， . 易知 ， ， ， ， 的最小值为 . 39 $$