第5节 二次函数的图象与性质(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

2025陕西 数 学 课堂精讲册 1 第一部分 追本溯源夯基础 第三单元 函 数 第五节 二次函数的图象与性质 2 一阶 教材知识全梳理 3 考点1 二次函数的图象与性质（重点） 1. 二次函数的概念 一般地，形如，，为常数，且 的函数，叫做 二次函数.其中，是自变量，，， 分别是函数解析式的二次项系数、 一次项系数和①________. 常数项 4 2. 二次函数表达式的三种形式： （1）一般式：,,为常数，且 ； （2）顶点式： ； （3）交点式：，,为抛物线与 轴交点的 ②____坐标. 横 5 3. 二次函数的图象与性质 解析式 的符号 大致图象 _____________________________________ _____________________________________ 开口方向 开口向③____ 开口向④____ 对称轴 直线⑤_ ________ 上 下 6 顶点坐标 ⑥_ _____________ 增减性 在对称轴左侧，随 的增大而 ⑦______； 在对称轴右侧，随 的增大而 ⑧______ 在对称轴左侧，随 的增大而 ⑨______； 在对称轴右侧，随 的增大而 ⑩______ 最值 当⑪_ ____时， 取得最小 值，最小值为 当时， 取得最大值， 最大值为 ， 减小 增大 增大 减小 续表 7 【技巧点拨】利用二次函数的图象与性质比较函数值大小的方法 综合利用抛物线的开口方向、增减性及点与抛物线对称轴的距离进行比较： （1）若两点在对称轴的同侧，则根据抛物线的开口方向和随 的变化趋 势进行判断； （2）若两点在对称轴的异侧，则根据抛物线的开口方向和两点与对称轴 的距离进行判断： ①当 时，点与对称轴的距离越小，纵坐标越⑫____； ②当 时，点与对称轴的距离越小，纵坐标越⑬____. 小 大 8 考点2 二次函数图象与系数的关系 开口方向 （由 决 定） 开口向上⑭_____；开口向下 ⑮_____； 越大，开口越小; 相同，开口大小相同； 和 的图象关于⑯_____对称 对称轴 （由， 决 定） 对称轴在轴左侧（即， 同号）； 对称轴是轴（即 ⑰_____）； 对称轴在轴右侧 ⑱_ ________（即， ⑲ ______） 口诀：左 同右异 轴 异号 . . . . 9 与 轴的交 点 （由 决 定） 与轴正半轴相交 ； 过原点 ⑳______； 与轴负半轴相交 ㉑______ 与 轴的交 点个数 （由 决 定） 与轴有两个交点 ； 与轴有一个交点 ； 与轴无交点 ㉒_____________ 续表 10 其他特殊关 系 （先把含 ，， 的 项移到等式 或不等式的 一边） 看到 ， 比较 和1的大小 看到 ， 比较 和㉓____的大小 看到 ， 找当时， 的值 看到 ， 找当㉔____时， 的值 看到 ， 找当时， 的值 看到 ， 找当㉕____时， 的值 续表 11 考点3 二次函数解析式的确定（重点） 1. 基本方法：待定系数法； 2. 步骤：设解析式 代入已知点的坐标，得方程（组） 解方程（组） 得解析式； 12 3. 根据已知条件，设合适形式的解析式 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 一般式： 顶点坐标 其他点坐标 顶点式：㉖______________ 与 轴的两个交点的坐标 ， 其他点坐标 交点式： ㉗_________________ 【技巧点拨】（1）当抛物线与轴的两个交点的坐标为， 时， 抛物线的对称轴为直线；（2）当已知抛物线与 轴的一个交点坐 标对称轴时，可求出抛物线与 轴的另一个交点的坐标，仍可设交点式. 13 考点4 二次函数图象的变换（重点） 1. 二次函数（一般式）图象的平移 平移前图象的 解析式 平移方向 平移后图象的解析式 口诀 向左平移 个单 位长度 左加右减 自变量 向右平移 个单 位长度 ㉘___________________ _______ . . . . . . . . 14 平移前图象的 解析式 平移方向 平移后图象的解析式 口诀 向上平移 个单 位长度 ㉙__________________ 上加下减 常数项 向下平移 个单 位长度 ㉚_________________ 续表 . . . . . . . . 15 2.二次函数（顶点式）图象的平移、翻折（对称）与旋转 变换前图象的解 析式及顶点坐标 变换方式 变换后 的 值 变换后的 顶点坐标 变换后图象的 解析式 ， 向左平移 个单 位长度 向右平移 个单 位长度 ㉛________ ___________ 向上平移 个单 位长度 ㉜________ ___________ 16 变换前图象的解 析式及顶点坐标 变换方式 变换后 的 值 变换后的 顶点坐标 变换后图象的 解析式 ， 向下平移 个单 位长度 ㉝________ ___________ 沿 轴翻折 （关于 轴对 称） ㉞ _____________ ________ 沿 轴翻折 （关于 轴对 称） ㉟________ _______ 续表 17 变换前图象的解 析式及顶点坐标 变换方式 变换后 的 值 变换后的 顶点坐标 变换后图象的 解析式 ， 绕顶点旋转 ㊱ _____________ ________ 绕原点旋转 ㊲ _____________ ________ 【技巧点拨】二次函数的图象在变换过程中，图象开口大小不变，即 不变. 续表 18 考点5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的根是抛物线与 轴交点 的横坐标 方程 的 根 抛物线与 轴的交 点 两个㊳__________实数 根 ㊴ __________ ㊵ __________________ 一个交点 没有实数根 没有交点 不相等的 两个交点 两个相等的实数根 19 2. 二次函数<m></m>与不等式的关系 不等式 解集 图示 函数 的图象位于函 数 的图象㊶______对应 的点的横坐标的取值范围 ______________________________________________________ 函数 的图象位于函 数 的图象㊷______对应 的点的横坐标的取值范围 上方 下方 20 二阶 追本溯源练考点 21 考点1 二次函数的图象与性质（必考） 1. （2024陕西8题3分）已知一个二次函数 的自变 量与函数 的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) D A. 图象的开口向上 B. 当时，的值随 的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 22 2. （北师九下P40例2改编）已知二次函数的解析式为 ，将其化为顶点式是________________，化为交点式是 ___________________. 23 第3题图 3. （人教九上P41T7改编）已知抛物线 . （1）该抛物线开口向____，对称轴是直线______，与 轴有___个交点，交点坐标是_______________，与 轴的交点坐标是______，有最____（填“大”或“小”） 值，最____值为___，顶点坐标为______； 下 2 和 大 大 4 24 第3题图 （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线； 解： 第3题解图 25 第3题图 （3）当时，随 的增大而______，最大值为___； 当时， 的取值范围是____________； 增大 3 （4）若抛物线经过点和，则___ ；若 抛物线经过点和，则___.（填“ ”“ ”或“ ”） 26 考点2 二次函数图象与系数的关系（8年1考） 4.已知二次函数 的图象如图所示， 有下列5个结论：；； ； ；⑤若方程 有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有( ) A A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 27 【解析】 图象开口向下， 对称轴在 轴的右 侧，与异号， 图象与 轴交于正半轴， ，，故①错误； 二次函数图象与 轴交 于不同两点，则， ，故②错 误；，.又 当时， ，即 ，，， ，故③ 正确；时函数有最大值， 当时的值大于当 时的值，即， 28 成立，故④正确；将轴下方的二次函数图象翻折到 轴上方， 则与直线 有四个交点即可，由二次函数图象的轴对称性 知，关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤ 错误.综上所述，③④正确，故选A. 考点3 二次函数解析式的确定（8年6考） 5. （人教九上P57T6改编）已知抛物线 . （1）若抛物线经过点，， ，则该抛物线的解析式是_____ _____________； （2）若抛物线的顶点坐标为，且经过点 ，则该抛物线的解析式 是_________________； （3）已知抛物线经过点， ，则该抛物线的解析 式是________________； 30 （4）已知抛物线经过点， ，则该抛物线的解 析式是_________________； （5）已知抛物线的对称轴为直线 ，且经过点 ，则该抛物线的解析式是________________. 31 考点4 二次函数图象的变换（8年5考） 6. （2020陕西10题3分）在平面直角坐标系中，将抛物线 沿 轴向下平移3个单位长度.则平移后得到 的抛物线的顶点一定在( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 32 【解析】， 该抛 物线的顶点坐标是， 将其沿 轴向下平移3个单位长度 后得到的抛物线的顶点坐标是， ， ， ， ， 点 在第四象限. 33 7. （2019陕西10题3分）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与关于 轴对称，则 符合条件的， 的值为( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】 抛物线 与 关于轴对称， 解得 符合条件的，的值为， . 34 考点5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 8. （北师九下P53T4改编）如图，一次函数 和二次函数的图象交于点和点 . （1）方程 的解为_________________； ， （2）方程 的解为_________________； ， （3）不等式 的解集是____________； （4）若，则方程 的实数根的个数为___. 2 35 三阶 分层设问攻重难 36 重难点 二次函数性质综合题 9.点,都在二次函数 的图象上， 且 . （1）将该二次函数的表达式化为顶点式是_________________； （2）该二次函数的图象的对称轴为直线______，顶点坐标为________. 37 （3）若该二次函数的图象经过点 . ①直接写出该二次函数的表达式； 解：该二次函数的表达式为 . ②若，则___；（填“ ”“ ”或“ ”） 38 ③若，求点 的坐标. 解：，,两点关于直线 对称, . ，， . 将代入，得 ， 点的坐标为 . 39 （4）若， ，求该二次函数的表达式； 解：，， . 将，分别代入 ， 得， ， ， ， 该二次函数的表达式为 . 40 （5）若且 时，该二次函数的最大值与最小值的差为1， 点，在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出 的取值范围. 解： . 【解法提示】， 二次函数的图象开口向上.由（2）可知，二次 函数图象的顶点坐标为.又 点， 在二次函数图象的对称轴的异 侧，， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 当 时，函数在处取得最小值 当 时，函数 41 的最大值与最小值的差为1， 当 时，函数的最大值为0.①若 ，则，即，解得 ， 函数的最大值为， ， ；②若，则，即 ， 解得， 函数的最大值为 ，，.综上所述， 的取值范围为. 温馨提示 请完成分层进阶练习册P28~P30习题 43 44 $$