第4节 整式（含因式分解）(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

2025陕西 数 学 课堂精讲册 1 第一部分 追本溯源夯基础 第一单元 数与式 第四节 整式（含因式分解） 2 一阶 教材知识全梳理 3 考点1 代数式 代数式 用基本运算符号把数和字母连接而成的式子.单独的一个数或一 个字母也是代数式 列代数式 找出问题中的数量关系，再用含有数、字母和运算符号的式子 表示出来 代数式求 值 （1）直接代入法； （2）整体代入法（整体思想） 首先观察已知条件与所求代数式的关系，然后将所求代数式变 形，使其为含有已知代数式的形式，最后把已知代数式看成一 个整体代入所求代数式中求值 4 考点2 整式的相关概念 单项 式 概念 由数或字母的积组成的式 子.单独的一个数或一个字 母也是单项式 _________________________________________________________________________ 系数 单项式中的数字因数 次数 一个单项式中，所有字母 的指数的①____ 多项 式 概念 几个单项式的和 ________________________________________________________________________ 和 5 多项 式 项 多项式中的每个单项式叫 做多项式的项，其中不含 字母的项叫做②________ ________________________________________________________________________ 次数 多项式中③__________项 的次数 整式 单项式和多项式统称整式 同类 项 所含字母④______，并且⑤______字母的指数也相同的项 （所有常数项都是同类项） 常数项 次数最高 相同 相同 续表 6 考点3 整式的运算（重点） 1. 整式的加减（实质：合并同类项） 运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 合并同类 项 把各同类项的⑥______ 相加减，字母连同它的指数⑦______. 如： ⑧______ 去括号法 则 括号前是“ ”，去括号时，括号内各项不变号.如： ⑨________； 括号前是“-”，去括号时，括号内每一项都变号.如： ⑩________. 口诀：“ ”不变，“-”变 系数 不变 . . 7 2. 幂的运算，为正整数 同底数幂相乘 底数不变，指数⑪______ ，即 ⑫_______ 同底数幂相除 底数不变，指数⑬______，即 ⑭_______ 幂的乘方 底数不变，指数⑮______，即 ⑯______ 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 ⑰______ 相加 相减 相乘 8 3. 整式的乘除 单项式 乘单项 式 把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不 变，作为积的因式.如： ⑱_______ 单项式 乘多项 式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如： ⑲________________ 多项式 乘多项 式 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得 的积相加. 如： ⑳____________________ 9 乘法公 式 （1）平方差公式 公式： ㉑_____ ____ 几何背景： _______________________________________________________________________________________ （2）完全平方公式 公式： ㉒_________ _________ 几何背景： ________________________________________________________________________________ 续表 10 单项式 除以单 项式 把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如： ㉓_______ 多项式 除以单 项式 先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 如： ㉔_______ 续表 11 考点4 因式分解 定 义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方 法 （1）提公因式法： ㉕_____________； 公因式的确定 （2）公式法： ； ； （3）【知识拓展】十字相乘法： 12 步 骤 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【特别提醒】（1）因式分解的结果一定是积的形式，且每个因式都不能 再进行因式分解； （2）因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形 式，二者是互逆的变形. 续表 13 考点5 代数推理 示例：（课标P144例66）设是一个四位数，若 可以被3 整除，则这个数可以被3整除. 论证如下： ， 显然 可以被3整除， 因此，若可以被3整除，则 就可以被3整除. 14 二阶 追本溯源练考点 15 考点1 代数式 1. （人教七上P59T1改编）根据要求列代数式： （1）, 两数的平方和是________; （2）设甲数为，乙数比甲数少 ，则乙数为____________; （3）原价为 元/双的球鞋，“十一”期间八折出售，则售价为______元/双; （4）自来水每立方米元，电每千瓦时 元，若小明家本月用水8立方米， 用电100千瓦时，则一共应缴费_____________元. 16 2. （华师七上P117T17改编）如果代数式 的值是7，那 么代数式 的值等于( ) A A. 2 B. 3 C. D. 4 17 3. （北师七上P85T2改编）如图. （1）图中阴影部分的周长为_________，面积为_______； （2）若， ，则阴影部分的周长是____，面积是____. 36 70 18 考点2 整式的相关概念 4. （北师七上P88随堂练习改编）下列说法中，正确的是______. （填序号） 不是单项式；②单项式的系数是0；③单项式 的次数是2；④多 项式是五次二项式；⑤多项式的常数项是1； 与 是同类项. 19 考点3 整式的运算（8年7考，且近7年连续考查） 5. （人教八上P109思考改编）如图是利用割补法求图形面积的示意 图，下列公式中与之相对应的是( ) A A. B. C. D. 20 6. （2018~2023陕西真题组合改编）下列运算正确的是________. （填序号） ； ； ； ； ⑤ ； ⑥ . 21 7. （2024陕西15题5分）先化简，再求值： ， 其中， . 解： . 当， 时， 原式 . 22 考点4 因式分解（8年2考） 8. （北师八下P104T1改编）分解因式： （1） __________； （2） _________________; （3） __________; （4） __________________; （5） _____________________; （6） ______________. 23 9. （2024陕西9题3分）分解因式: __________. 24 考点5 代数推理 10.若，，均为整式，且，则称（或）能整除 ．例如，由 ，可知（或）能整除 .已 知能整除，则 的值为( ) A A. B. C. D. 25 【新增】新北师七上问题解决策略——归纳 11.长方形内点的个数与可以形成的三角形个数的有关数据如表： 长方形内点的个数 1 2 3 4 … 可以形成的三角形的个数 4 6 8 10 … 【归纳】观察表格中的四组数据变化，比较后发现长方形内点的个数每增 加1个，可以形成的三角形的个数增加2个，故可以通过这一规律总结得到： 当长方形内点的个数为为正整数 时，可以形成的三角形有_________ 个； 【解决问题】当长方形内有100个点时，可以形成的三角形有_____个. 202 26 新北师七下综合与实践——设计自己的运算程序 12.若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为，和 ，则这个三 位数可记为，易得 . （1）如果要用数字3，7，9组成一个三位数（各数位上的数不同），那么 组成的数中最大的三位数是_____，最小的三位数是_____; 973 379 27 （2）若一个三位数各数位上的数由，， 三个数字组成，且 .那么，请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以 被99整除; 解： ， 最大的三位数是，最小的三位数是 ， ， 最大三位数与最小三位数之差可以被99整除； 28 （3）任选一个三位数，要求个位、十位、百位上的数字各不相同且不为 零，把这个三位数的三个数字重新排列，得出一个最大的三位数和一个最 小的三位数，用最大的三位数减去最小的三位数，可得到一个新数，再将 这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到 同一个重复出现的数，将这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.那么“卡普雷卡 尔黑洞数”是_____. 495 【解法提示】任选一个三位数972，由题意可得 ， ，，， “卡普雷卡 尔黑洞数”是495. 29 温馨提示 请完成分层进阶练习册P5~P6习题 30 31 $$