专题 利用分式方程的解解决字母参数问题（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 专题 利用分式方程的解求字母参数问题 题型一 利用分式方程的解的定义求字母的值 1．（2024•中山市校级一模）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】将x＝1代入方程，即可求a的值． 【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1， ∴， 解得a＝﹣1， 经检验a＝﹣1是方程的解． 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键． 2．（2024秋•南县期中）若方程的根为x＝6，则m的值是（　　） A．0 B．3 C． D．1 【分析】将x＝6代入即可求解． 【解答】解：∵方程的根为x＝6， ∴将x＝6代入得，， 解得． 故选：C． 【点评】此题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程的解的概念． 3．（2024•邯山区校级模拟）嘉淇准备完成题目：解方程0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（　　） A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1 【分析】设印刷不清的位置的式子为a，把x＝﹣1代入分式方程计算确定出a即可． 【解答】解：设印刷不清的位置的式子为a，即0， 把x＝﹣1代入得：1＝0， 解得：a＝﹣2， 检验：把a＝﹣2代入得：a≠0， ∴分式方程的解为a＝﹣2，即x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2， 则推断印刷不清的位置可能是x﹣1． 故选：A． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 4． （2024秋•澄海区期末）若关于x的分式方程0的解为x＝3，求常数a的值． 【分析】方程两边同乘以x（x﹣a）将分式方程化为整式方程，再根据分式方程的解的定义把x＝3代入可得到关于a的方程，然后求解即可． 【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣a）可得2x﹣3（x﹣a）＝0， 当x＝3时，2×3﹣3×（3﹣a）＝0， 解得：a＝1， ∴常数a的值． 【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0． 5．若关于x的方程1的根是2，求（m﹣4）2﹣2m+8的值． 【分析】把x＝2代入分式方程求出m的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵关于x的方程1的根是2， ∴把x＝2代入方程得：21， 解得：m＝4， 则（m﹣4）2﹣2m+8＝（4﹣4）2﹣2×4+8＝0． 【点评】此题考查了分式方程的解，做题时始终注意分式的分母不为0这个条件． 6． 已知方程的解为x＝2，求的值． 【分析】先把x＝2代入即可得出a的值，再化简，把a的值代入即可得出的值． 【解答】解：把x＝2代入得，a＝3， ∴原式 ， 当a＝3时，原式． 【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式的化简求值，把分式化简是解题的关键． 7． （2024•广东四模）若x＝k﹣1是方程1的解，求k﹣1的值． 【分析】解分式方程，令解等于k﹣1，求得k的值，将k的值代入即可得出结论． 【解答】解：． 去分母得： x﹣3＝﹣3﹣（x﹣2）． ∴x＝1． 经检验，x＝1是原方程的解． ∵x＝k﹣1是方程1的解， ∴k﹣1＝1． ∴k＝2． ∴原式． 【点评】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，负整数指数幂，二次根式和有理数的混合运算．解分式方程要有验根的过程，解分式方程去分母时，不能漏项，这是解题的关键． 题型二 利用分式方程同解问题求字母的值 1．（2024秋•东营区校级期中）若关于x的分式方程5与3的解相同，求m的值． 【分析】求出方程3的解，把解代入分式方程5求出m即可． 【解答】解：解方程3， 得，x＝4， 经检验x＝4是方程3的解， 把x＝4代入方程5， 解得，m． 【点评】本题考查了分式方程的解．解题关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到新方程，然后解答． 2． （2024春•甘州区期末）若关于x的分式方程1的解与分式方程的解相同，求m的值． 【分析】求出方程1的解，把x的值代入方程，求出m的值即可． 【解答】解：解方程1，得 x＝m+2． 把x＝m+2代入方程，得 0， 去分母并整理，得 （m﹣1）（m+2）＝0， 解得 m1＝1，m2＝﹣2． 经检验m1＝1，m2＝﹣2都是原方程的解． 故m的值是：m1＝1，m2＝﹣2． 【点评】本题考查了分式方程的解．解题关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到新方程，然后解答． 3．已知方程的解与方程的解相同，求a的值． 【分析】先解方程，然后将方程的解代入即可求出a值． 【解答】解：1， 化为整式方程得：x（x﹣1）+2（x+1）＝x2﹣1， 化简得：x＝﹣3， 经检验x＝﹣3是原方程的解， ∴原方程的解是x＝﹣3， 将x＝﹣3代入， 解得a， 经检验a是原方程的解， ∴a． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握方程的解法是解题关键． 4．（2024秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2﹣2m的值． 【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算． 【解答】解：， 3（x﹣1）＝2x， 解得x＝3， 检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0， ∴x＝3是此方程的解； 把x＝3代入， 得， 解得m； 把m代入m2﹣2m2． 【点评】本题考查了分式方程解，熟练掌握分式方程解的步骤是解题关键． 5．（2024春•宜宾月考）已知关于x的分式方程的解与方程的解相同， （1）请问这两个方程的共同解是多少？ （2）求a的值． 【分析】（1）根据等式的性质求出第二个方程的解即可； （2）把求出的x＝2代入第一个方程，求出所得分式方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：（1）， x+4＝3x， 4＝2x， x＝2， 即这两个方程的共同解是x＝2； （2）把x＝2代入方程程得：1， 2＝1， 3， 方程两边都乘a+1，得2a＝3（a+1）， 解得：a＝﹣3， 经检验a＝﹣3是方程1的解， 所以a＝﹣3． 【点评】本题考查了解分式方程和分式方程的解，能根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 6．已知关于x的方程的解比的解多1，求的值． 【分析】先解方程求得x值，再根据题意可求得的解为x＝3，将x＝3代入方程可得关于k的方程，解方程即可求解． 【解答】解：解方程得x＝4， ∵关于x的方程的解比的解多1， ∴关于x的方程的解为x＝3， ∴， 解得k＝2， ∴（2）2＝25． 【点评】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，求解关于x的方程的解是解题的关键． 题型三 利用分式方程解的范围求字母的取值范围 1．（2024秋•南昌期末）若关于x的分式方程1的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m≠1 C．m＞﹣3且m≠﹣2 D．m＞﹣3且m≠1 【分析】先把分式方程化为整式方程m+2＝x﹣1，解得x＝m+3，根据题意得到m+3＞0，解得m＞﹣3，又由于x﹣1≠0，得到m+3≠1，解得m≠﹣2，于是m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2． 【解答】解：去分母得m+2＝x﹣1 ∴x＝m+3， ∵x＞0， ∴m+3＞0，解得m＞﹣3， ∵x﹣1≠0，即x≠1， ∴m+3≠1，解得m≠﹣2， ∴m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2． 故选：C． 【点评】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分数方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0． 2．（2024秋•嘉陵区期末）关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．a＜3 C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1 【分析】去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得a﹣1﹣2（x﹣2）＝0，则，再根据该方程的解是负数得a＜﹣3，然后根据x＝±2是该方程的增根得出a＝1，a＝﹣7，据此可得a的取值范围． 【解答】解：， 去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得：a﹣1﹣2（x﹣2）＝0， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：a＜﹣3， ∵x＝±2是该方程的增根， ∴x＝2时，，解得：a＝1， 当x＝﹣2时，，解得：a＝﹣7， 综上所述：a的取值范围是：a＜﹣3且a≠﹣7． 故选：C． 【点评】此题主要分式方程的解，解一元一次方程，理解分式方程的解，熟练掌握解一元一次方程是解决问题的关键． 3．（2024秋•正定县期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≥3 C．m≤3且m≠﹣1 D．m≤2且m≠﹣1 【分析】先解关于x的分式方程，求出x，再根据分式方程的解是非负数且分式的分母不能为0，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：， ﹣m﹣1＝2（x﹣2）， ﹣m﹣1＝2x﹣4， 2x＝4﹣1﹣m， 2x＝3﹣m， ， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， 3﹣m≥0且3﹣m≠4， m≤3且m≠﹣1， 故选：C． 【点评】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤． 4．（2024秋•荣成市期中）已知关于x的分式方程4的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠﹣1 D．a＞﹣4且a≠﹣1 【分析】先求出分式方程的解，然后根据其解为非负数得到x≥0，x≠3，即a+4≥0，a+4≠3，从而求出a的取值范围． 【解答】解：原分式方程可化为， 方程两边同乘x﹣3得，x+3a＝4（x﹣3）， 去括号得，x+3a＝4x﹣12， 移项得，x﹣4x＝﹣12﹣3a， 合并同类项得，﹣3x＝﹣12﹣3a， 系数化为1得x＝a+4， ∵原分式方程的解为非负数， ∴x≥0，x≠3， 即a+4≥0，a+4≠3， 解得a≥﹣4且a≠﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不为0这一条件是关键． 5．（2024春•开江县校级期末）若关于x的分式方程的解为负数，求a的取值范围． 【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为负数列出不等式，求出不等式的解集得到a的范围，且将x＝﹣1，2代入求出a的值，即可确定出a的范围． 【解答】解：分式方程去分母得：（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2＝2x+a， 整理得：x2﹣1﹣x2+4x﹣4＝2x+a， 解得：x， 根据题意得：0， 解得：a＜﹣5， 再将x＝2代入方程得：a＝﹣1；将x＝﹣1代入得：a＝﹣7， 则a的取值范围为a＜﹣5且a≠﹣7． 【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键． 6．（2024秋•洛川县校级期末）已知关于x的分式方程1的解是非负数，求m的取值范围． 【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案． 【解答】解：给分式方程两边同乘以x﹣1，得m﹣5＝x﹣1， 解得，x＝m﹣4． ∵方程的解是非负数， ∴m﹣4≥0， 解得m≥4； 又∵x﹣1≠0，即x≠1， ∴m≠5， 综上m的取值范围为m≥4且m≠5． 【点评】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键． 7．（2024春•西安校级期末）已知关于x的分式方程 （1）若方程有增根，求k的值； （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得x＝±1，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答； （2）根据题意可得0且±1，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 解得：x， ∵分式方程有增根， ∴x2﹣1＝0， ∴x＝±1， 当x＝1时，1， 解得：k＝6， 当x＝﹣1时，1， 解得：k＝﹣8， ∴k的值为6或﹣8； （2）∵方程的解为负数， ∴x＜0且x≠±1， ∴0且±1， ∴k＜﹣1且k≠6且k≠﹣8， ∴k的取值范围为：k＜﹣1且k≠﹣8． 【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键． 题型四 利用分式方程有增根求字母的值 1．（2024秋•铁西区期末）若关于x的方程有增根，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】根据题意可得：x＝2，然后把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答． 【解答】解：， x+a+x＝x﹣2， 解得：x＝﹣2﹣a， ∵方程有增根， ∴x﹣2＝0， 解得：x＝2， 把x＝2代入x＝﹣2﹣a中得：2＝﹣2﹣a， 解得：a＝﹣4， 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 2．（2024春•宁明县期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】关于x的方程有增根时，该方程中的分式分母为零，此时只要把增根代入方程然后解出m的值． 【解答】解：∵方程有增根， ∴当x﹣4＝0时符合题意， 即x＝4是方程的增根， ∴m+1﹣x＝x﹣4， ∴m＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了方程的增根问题，掌握使分式方程无解则分母为0是关键． 3．（2024秋•肥城市期中）如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．4 D．10 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：去分母得：4＝x﹣3+m， 由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：m＝4． 故选：C． 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 4．（2024秋•新晃县期中）已知关于x的方程有增根，求m的值． 【分析】先化为整式方程，将x＝3代入，即可求解． 【解答】解：去分母，整理得（m+3）x＝4m+8， 解得：， ∵关于x的方程有增根， ∴x＝3， ∴， 解得m＝1． 【点评】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是掌握分式方程的解法． 5． （2024秋•宁远县校级月考）当m为何值时，分式方程会产生增根？ 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得 m（x﹣1）﹣2（x+1）＝3， ∵原方程增根为x＝﹣1或x＝1， ∴把x＝﹣1代入整式方程，得m， 把x＝1代入整式方程，整式方程不成立， 当m时，分式方程会产生增根． 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 6．（2024春•达川区校级期末）已知关于x的方程． （1）当m取何值时，此方程的解为x＝3？ （2）当m取何值时，此方程会产生增根？ 【分析】（1）将x＝3代入分式方程计算即可； （2）将分式方程去分母转化成整式方程，将x＝2代入整式方程解出m值即可． 【解答】解：（1）将x＝3代入分式方程得：6+m＝3，解得m＝﹣3； （2）去分母得：2x+m＝3（x﹣2）， 将x＝2代入整式方程得：4+m＝0，即m＝﹣4． ∴当m＝﹣4时，此方程会产生增根． 【点评】本题考查了分式方程的增根问题，增根是整式方程的解，但不是分式方程的解． 7．（2024秋•桓台县期中）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 【分析】（1）由分式方程有增根，得到x＝1，代入整式方程计算即可求出m的值； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是负数，求出m的范围即可． 【解答】解：（1）分式方程有增根，则方程的增根为x＝1， 原方程去分母并整理得5x﹣m+2＝0， 将x＝1代入得5﹣m+2＝0， 解得m＝7； （2）由（1）得5x﹣m+2＝0， 解这个方程得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得m＜2， ∴当m＜2时，分式方程的解是负数． 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 题型五 利用分式方程无解求字母的值 1．（2024秋•凉州区期末）若关于x的方程无解，则m＝（　　） A． B．或﹣2 C．5 D． 【分析】先把分式方程化为整式方程，再考虑整式方程无解的情况以及分式方程无解的情况即可得出答案． 【解答】解：方程可化为， 方程两边同乘2（x﹣5），得2（x﹣1）＝﹣mx， 整理得（2+m）x＝2， 当2+m≠0时，x， ∵关于x的方程无解， ∴2+m＝0或， ∴m＝﹣2或m， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的解，熟知分式方程无解的意义是解题的关键． 2．（2024秋•安阳期末）关于x的方程无解，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．无法确定 【分析】先将分式方程移项，去分母，合并同类项得x＝6﹣k，再由原方程无解得x﹣3＝0，联立方程组，求解即可． 【解答】解：原方程移项得：， 去分母得：x﹣k＝2（x﹣3）， 合并同类项得：x＝6﹣k， ∵原方程无解， ∴x＝6﹣k，x﹣3＝0， 解得k＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程是关键． 3． （2024秋•芝罘区期中）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（　　） A．﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1 D．1或﹣5 【分析】分两种情况，整式方程无解，分式方程产生增根． 【解答】解：， 去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1）， ∴（5+k）x＝3+k， ∵关于x的分式方程无解， ∴分两种情况： 当5+k＝0时，k＝﹣5， 当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1， 当x＝0时，0＝3+k， ∴k＝﹣3， 当x＝1时，5+k＝3+k， ∴k不存在，故不符合题意， 综上所述：k的值为：﹣3或﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的解，分两种情况解答是解题的关键． 4． （2024秋•华容区期末）若关于x的方程无解，求m的值． 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，解方程，可得答案． 【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1）（x﹣2），得 x﹣2+m（x﹣1）＝2m+2． 化简，得（x﹣3）m＝4﹣x． 原分式方程的增根是x＝1或x＝2． 当x＝1时，﹣2m＝3，解得m； 当x＝2时，﹣m＝2，解得m＝﹣2． 另当整式无解时，有m+1＝0得出m＝﹣1． 综上所述：m＝﹣1或或﹣2． 【点评】本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程得出关于m的方程是解题关键． 5． 已知关于x的分式方程 （1）已知m＝4，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求m的值． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将x＝1或x＝﹣2代入计算，即可求出m的值． 【解答】解：分式方程去分母得：2（x+2）+mx＝x﹣1， 整理得：（m+1）x＝﹣5． （1）当m＝4时，（4+1）x＝﹣5， 解得：x＝﹣1 经检验：x＝﹣1是原方程的解． （2）∵分式方程无解， ∴m+1＝0或（x+2）（x﹣1）＝0， 当m+1＝0时，m＝﹣1； 当（x+2）（x﹣1）＝0时，x＝﹣2或x＝1． 当x＝﹣2时m； 当x＝1是m＝﹣6， ∴m＝﹣1或﹣6或时该分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 6．关于x的分式方程． （1）当m为何值时，分式方程有增根； （2）当m为何值时，分式方程无解． 【分析】（1）根据分式方程的增根的定义解决此题． （2）根据分式方程的解的定义解决此题． 【解答】解：（1）， 去分母，得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）． 去括号，得2x+4+mx＝3x﹣6． 移项，得2x+mx﹣3x＝﹣6﹣4． 合并同类项，得（m﹣1）x＝﹣10． ∵分式方程有增根， ∴． ∴m＝6或﹣4． （2）由（1）得，（m﹣1）x＝﹣10． ∵分式方程无解， ∴（m﹣1）x＝﹣10无解或该分式方程有增根． ∴m＝1或m＝6或﹣4． 【点评】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的解的定义是解决本题的关键． 7．（2024秋•乐亭县期中）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚． （1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解； （2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数． 【分析】（1）把▲＝6代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设▲为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同乘（x﹣3），得：6﹣（x﹣1）＝x﹣3， 解得：x＝5， 检验：当x＝5时，x﹣3≠0， 所以x＝5是原分式方程的解； （2）设▲＝m，， 方程两边同乘（x﹣3），得：m﹣（x﹣1）＝x﹣3， 把x＝3代入m﹣（x﹣1）＝x﹣3，得： m﹣2＝0， 解得：m＝2， ∴原分式方程中“▲”代表的数为2． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 题型六 利用分式方程的整数解求字母的值 1．（2024秋•龙岩期末）若m是整数，且关于x的方程有整数根，则m的值是（　　） A．3或5 B．﹣3或5 C．﹣1或3 D．﹣3或﹣5 【分析】解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值． 【解答】解：， 去分母得：（3m+1）+m（x﹣1）＝2（x+1）， 化简得：（m﹣2）x＝﹣2m+1， 当m≠2时，， ∵方程有整数根，的值是整数， 当m﹣2＝1时，m＝3，方程的根； 当m﹣2＝﹣1时，m＝1，方程的根（增根，舍去）； 当m﹣2＝3时，m＝5，方程的根； 当m﹣2＝﹣3时，m＝﹣1，方程的根（增根，舍去）． 故选：A． 【点评】本题主要考查解分式方程．解题的关键是将分式方程转化为整式方程，求出方程的解． 2．（2024春•郓城县期中）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣18 B．﹣17 C．﹣6 D．﹣2 【分析】先解此分式方程，再根据题意求得所有符合条件的a的值，最后相加求和． 【解答】解：两边同时乘以x﹣2，得 ﹣（1+ax）﹣1＝3（x﹣1）， 解得x， ∴是整数，且2， 当4时，解得a＝﹣2； 当1时，解得a＝1； 当1时，解得a＝﹣7； 当2时，解得a＝﹣5； 当4时，解得a＝﹣4， ∴﹣2+1﹣7﹣5﹣4＝﹣17， 即满足条件的所有整数a的和为﹣17， 故选：B． 【点评】此题考查了含字母参数分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用分式方程解的概念和解法知识． 3．（2024春•锡山区期中）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的负整数k的值是 　 　． 【分析】根据分式方程的解以及整数解的定义可求出相应的k的值，再根据分式方程增根的定义进一步确定k的取值，再由负整数解的意义进行解答即可． 【解答】解：将关于x的方程的两边都乘以x+1，得 kx﹣x﹣1＝3， 解得x， 由于分式方程的解为整数， ∴k﹣1＝±1或k﹣1＝±2或k﹣1＝±4， 解得k＝2或k＝0或k＝3或k＝﹣1或＝5或k＝﹣3， 由于分式方程的增根为x＝﹣1， 当x＝﹣1时，即k﹣1＝﹣4， 解得k＝﹣3， 因此k≠﹣3， ∴k为负整数且k≠﹣3， ∴k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程的增根以及整数解的意义是正确解答的关键． 4．（2024•龙泉驿区模拟）若正整数a使得关于x的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数a的个数有 　　个． 【分析】解分式方程，根据其解的条件求出a的取值范围，从而确定a的所有可能值． 【解答】解：解分式方程，得x， ∵x为正整数， ∴0，解得0＜a＜18， ∵x﹣4≠0，即4，解得a≠6． ∴a＝15，12，9，3， ∴符合条件的所有正整数a的个数有4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程及一元一次不等式的解法是本题的关键． 5．（2024秋•永兴县校级月考）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【分析】解方程得到，根据分式方程有整数解得到2﹣m＝±1或2﹣m＝±2且，进一步求解即可得到整数m的值． 【解答】解：， 去分母得：mx﹣1﹣1＝2（x﹣2）， 解：， ∵有整数解， ∴2﹣m＝±1或2﹣m＝±2且， 解得：m＝1或3或0或4且m≠1， ∴此时整数m的值为3或0或4． 【点评】此题考查了分式方程的解法、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 6．（2024秋•张店区校级期末）已知关于x的分式方程的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，求符合条件的所有k值的和． 【分析】先解出分式方程，得到，代入﹣4＜x＜﹣1求出k的取值，即可得到k的值，故可求解． 【解答】解：， 解得：， ∵﹣4＜x＜﹣1， ∴， 解得：﹣7＜k＜14， ∵k为整数，∴k为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又∵分式方程中x≠2且x≠﹣3， ∴k≠35且k≠0， ∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个， ∴符合条件的k值的和为：﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝70． 【点评】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． 7．（2024秋•秀英区校级期中）已知，关于x的方程：． （1）若方程有增根，求m的取值； （2）若方程无解，求m的取值； （3）若方程的解为整数，求整数m的取值范围． 【分析】（1）解分式方程得（m﹣9）x＝3，将增根x＝﹣1，x＝1分别代入（m﹣9）x＝3，解得m＝6或12； （2）当m﹣9＝0时，方程无解，解得m＝9，故m＝6或9或12时方程无解； （3）方程的解为x，若方程的解为整数，则m﹣9＝±3，±1，分别求出m的值，并将方程无解或有增根时对应的m的值舍去即可． 【解答】解：（1）去分母，得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx， 去括号，得3x﹣3+6x+6＝mx， 移项、合并同类项，得（m﹣9）x＝3． 当x＝﹣1时，得9﹣m＝3， 解得m＝6； 当x＝1时，得m﹣9＝3， 解得m＝12． ∴若方程有增根，m的取值为6或12． （2）∵（m﹣9）x＝3， ∴当m﹣9＝0时原分式方程无解， ∴m＝9， ∵当m＝6或12时方程有增根， ∴若方程无解，m的取值为6或9或12． （3）∵（m﹣9）x＝3， ∴x， ∵方程的解为整数， ∴m﹣9＝±3，±1． 当m﹣9＝3时，m＝12（舍去）； 当m﹣9＝﹣3时，m＝6（舍去）； 当m﹣9＝1时，m＝10； 当m﹣9＝﹣1时，m＝8； ∴m＝8或10． 【点评】本题考查分式方程的增根，掌握分式方程的解法是解题的关键． 题型七 利用分式方程与不等式的结合求字母的值 1．（2024春•开江县校级期末）若关于x的不等式的解集为x＞4，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解确定出整数m的值即可． 【解答】解：不等式组整理得：， ∵不等式组的解集为x＞4， ∴m≤4， 分式方程去分母得：6+x﹣3＝mx﹣3， 解得：x， ∵分式方程有正整数解，且x≠3， ∴m﹣1＝1或3或6， 解得：m＝2，4（m＞4的值舍去）， 则所有满足题意整数m之和为2+4＝6． 故选：B． 【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 2．（2024秋•海珠区校级期末）若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．9 B．7 C．5 D．10 【分析】先解关于x的方程，根据此方程的解是负数且分式分母不能为0，求出a的取值范围，再解关于x的不等式组，根据不等式组无解，求出a的取值范围，然后找出两个解集的公共部分，再求出所有满足条件的整数a的值，求出它们的和即可． 【解答】解：， a（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x﹣1）， ax+a+x2﹣1＝x2﹣x+ax﹣a， x2﹣x2+ax﹣ax+x＝1﹣a﹣a， x＝1﹣2a， ∵关于x的方程的解为负数， ∴1﹣2a＜0且1﹣2a≠±1， 解得：且a≠1； ， 由①得：x＜a， 由②得：x≥4， ∵关于x的不等式组无解， ∴a≤4， ∴a的取值范围为：且a≠1， ∴所有满足条件的整数a的值为：2或3或4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是：2+3+4＝9， 故选：A． 【点评】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式（组）的一般步骤． 3．2024秋•泰山区期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为（　　） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【解答】解：解不等式组，得， ∵不等式组无解， ∴a﹣1≥1， ∴a≥2， 分式方程， 方程的两边同时乘（y﹣2）， 得，ay﹣5﹣y+2＝3， 整理得，（a﹣1）y＝6， ∴， ∵方程有整数解， ∴a﹣1＝±1或±2或±3或±6， ∴a＝2或a＝0或a＝3或a＝﹣1或a＝4或a＝﹣2或a＝7或a＝﹣5， ∵a≥2，y≠2， ∴a≠4， ∴a＝2或a＝3或a＝7， 故选：D． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解答本题的关键． 4．（2024秋•巫山县期末）若关于x的一元一次不等式组的解为x≥5，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为 　 　． 【分析】先解不等式组，再根据不等式组的解集为x≥5，求出a的取值范围，然后解关于y的分式方程，根据分式方程的解是正数，求出a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数a的值，最后求出它们的和即可． 【解答】解：， 由①得：2x﹣3x≤﹣5， ﹣x≤﹣5， x≥5， 由②得：x＞a+1， ∵关于x的一元一次不等式组的解为x≥5， ∴a+1＜5， 解得：a＜4， ， y﹣a＝﹣2（y﹣2）， y﹣a＝﹣2y+4， y+2y＝4+a， 3y＝4+a， ， ∵关于y的分式方程的解为正数， ∴且， 解得：a＞﹣4且a≠2， ∴﹣4＜a＜4且a≠2， ∴符合条件的所有整数a的值为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或3， ∴符合条件的所有整数a的和为：﹣3﹣2﹣1+0+1+3＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 5．（2024秋•荣昌区期末）已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，若关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数k的和为 　 ． 【分析】先解已知条件中的不等式组，根据不等式组有且只有两个整数解求出k的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，列出关于k的不等式，从而求出满足条件的所有整数k的值，再求出它们的和即可． 【解答】解：， 由①得：x＞0， 由②得：， ∴， ∵关于x的不等式组有且只有两个整数解， ∴， 10＜8﹣k≤15， 2＜﹣k≤7， ﹣7≤k＜﹣2， ， 4﹣2k﹣y+3k＝y﹣1， 2y＝5+k， ， ∵关于y的分式方程有非负数解， ∴5+k≥0且5+k≠2， 解得：k≥﹣5且k≠﹣3， ∴﹣5≤k＜﹣2且k≠﹣3， ∴满足条件的所有整数k的值为：﹣5或﹣4， ∴满足条件的所有整数k的和为：﹣5﹣4＝﹣9， 故答案为：﹣9． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 6．（2024秋•蓬莱区期中）关于x的一元一次不等式组的解集为x＞m，关于y的分式方程1有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值． 【分析】先解关于x的一元一次不等式组的解集是x＞m，可得m≥﹣7．再解关于y的分式方程，可得y，因为该分式方程有非负整数解，所以可推断出整数m的值． 【解答】解：由x+2，得x＞﹣7， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞m， ∴m≥﹣7， 分式方程1， ∴3y+4﹣y﹣2＝m﹣y， ∴y， 又∵关于y的分式方程1有负整数解且m为整数， ∴0且2， ∴m＜2且m≠﹣4， ∴﹣7≤m＜2且m≠﹣4， ∴符合条件的m的值为﹣7或﹣1． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组以及解分式方程是解决本题的关键． 7．（2024•兴隆台区校级一模）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【分析】先通过解不等式组和分式方程确定a的取值范围，再求得符合条件的a的值，最后求得此题的结果． 【解答】解：由题意得 解①得x≤5， 解②得x， ∴该不等式组的解集为x≤5， ∵该不等式组至少有2个整数解， ∴4， ∴解得a≤6， 解分式方程得， y， ∴0且2， ∴a≥1且a≠5， ∴a的取值范围为1≤a≤6且a≠5 ∴a可取整数为1，2，3，4，6， ∵是整数， ∴a＝1或a＝3， ∴1+3＝4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是4． 【点评】此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程综合问题的解决能力，关键是能根据题意准确求解、讨论． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 专题 利用分式方程的解求字母参数问题 题型一 利用分式方程的解的定义求字母的值 1．（2024•中山市校级一模）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 2．（2024秋•南县期中）若方程的根为x＝6，则m的值是（　　） A．0 B．3 C． D．1 3．（2024•邯山区校级模拟）嘉淇准备完成题目：解方程0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（　　） A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1 4． （2024秋•澄海区期末）若关于x的分式方程0的解为x＝3，求常数a的值． 5．若关于x的方程1的根是2，求（m﹣4）2﹣2m+8的值． 6． 已知方程的解为x＝2，求的值． 7． （2024•广东四模）若x＝k﹣1是方程1的解，求k﹣1的值． 题型二 利用分式方程同解问题求字母的值 1．（2024秋•东营区校级期中）若关于x的分式方程5与3的解相同，求m的值． 2． （2024春•甘州区期末）若关于x的分式方程1的解与分式方程的解相同，求m的值． 3．已知方程的解与方程的解相同，求a的值． 4．（2024秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2﹣2m的值． 5．（2024春•宜宾月考）已知关于x的分式方程的解与方程的解相同， （1）请问这两个方程的共同解是多少？ （2）求a的值． 6． 已知关于x的方程的解比的解多1，求的值． 题型三 利用分式方程解的范围求字母的取值范围 1．（2024秋•南昌期末）若关于x的分式方程1的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m≠1 C．m＞﹣3且m≠﹣2 D．m＞﹣3且m≠1 2．（2024秋•嘉陵区期末）关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．a＜3 C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1 3．（2024秋•正定县期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≥3 C．m≤3且m≠﹣1 D．m≤2且m≠﹣1 4．（2024秋•荣成市期中）已知关于x的分式方程4的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠﹣1 D．a＞﹣4且a≠﹣1 5．（2024春•开江县校级期末）若关于x的分式方程的解为负数，求a的取值范围． 6．（2024秋•洛川县校级期末）已知关于x的分式方程1的解是非负数，求m的取值范围． 7．（2024春•西安校级期末）已知关于x的分式方程 （1）若方程有增根，求k的值； （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 题型四 利用分式方程有增根求字母的值 1．（2024秋•铁西区期末）若关于x的方程有增根，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 2．（2024春•宁明县期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 3．（2024秋•肥城市期中）如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．4 D．10 4．（2024秋•新晃县期中）已知关于x的方程有增根，求m的值． 5． （2024秋•宁远县校级月考）当m为何值时，分式方程会产生增根？ 6．（2024春•达川区校级期末）已知关于x的方程． （1）当m取何值时，此方程的解为x＝3？ （2）当m取何值时，此方程会产生增根？ 7．（2024秋•桓台县期中）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 题型五 利用分式方程无解求字母的值 1．（2024秋•凉州区期末）若关于x的方程无解，则m＝（　　） A． B．或﹣2 C．5 D． 2．（2024秋•安阳期末）关于x的方程无解，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．无法确定 3． （2024秋•芝罘区期中）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（　　） A．﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1 D．1或﹣5 4． （2024秋•华容区期末）若关于x的方程无解，求m的值． 5． 已知关于x的分式方程 （1）已知m＝4，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求m的值． 6．关于x的分式方程． （1）当m为何值时，分式方程有增根； （2）当m为何值时，分式方程无解． 7．（2024秋•乐亭县期中）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚． （1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解； （2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数． 题型六 利用分式方程的整数解求字母的值 1．（2024秋•龙岩期末）若m是整数，且关于x的方程有整数根，则m的值是（　　） A．3或5 B．﹣3或5 C．﹣1或3 D．﹣3或﹣5 2．（2024春•郓城县期中）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣18 B．﹣17 C．﹣6 D．﹣2 3．（2024春•锡山区期中）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的负整数k的值是 　 　． 4．（2024•龙泉驿区模拟）若正整数a使得关于x的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数a的个数有 　　个． 5．（2024秋•永兴县校级月考）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 6．（2024秋•张店区校级期末）已知关于x的分式方程的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，求符合条件的所有k值的和． 7．（2024秋•秀英区校级期中）已知，关于x的方程：． （1）若方程有增根，求m的取值； （2）若方程无解，求m的取值； （3）若方程的解为整数，求整数m的取值范围． 题型七 利用分式方程与不等式的结合求字母的值 1．（2024春•开江县校级期末）若关于x的不等式的解集为x＞4，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 2．（2024秋•海珠区校级期末）若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．9 B．7 C．5 D．10 3．2024秋•泰山区期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为（　　） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 4．（2024秋•巫山县期末）若关于x的一元一次不等式组的解为x≥5，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为 　 　． 5．（2024秋•荣昌区期末）已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，若关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数k的和为 　 ． 6．（2024秋•蓬莱区期中）关于x的一元一次不等式组的解集为x＞m，关于y的分式方程1有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值． 7．（2024•兴隆台区校级一模）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$