专题 分式方程常见的实际应用（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 专题 分式方程常见的实际应用 ★★列分式方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．验：检验，是否是分式方程的根，是否符合实际意义. 6．答：注意单位和完整地写出答句． 题型一 分式方程在工程问题中的应用 解题技巧提炼 工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1． 基本关系式： ①总工作量=工作效率×工作时间； ②总工作量=各单位工作量之和． 1．（2024春•邛崃市期末）科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配x辆汽车，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 2．某项工作，甲、乙合作5天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．由乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍．甲单独完成这项工作所需多少天？（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2024•藁城区二模）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（　　） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③ 4．（2024春•深圳期中）新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍．甲工程队单独完成此项工程需要 　 　天． 5．（2024秋•潍坊月考）一项工程，若由甲队单独去做，要比规定时间多用5天完成；若由乙队单独去做，要比规定时间少用5天完成．若甲、乙两队合作2天，余下的工程由甲队单独去做，则超规定时间2天完成．这项工程规定几天完成？ 6．（2024春•渠县校级期末）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 7．（2024秋•玉林期末）我市为了连接高铁北站，启动了教育东路改扩建工程，此工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需150天，若甲工程队单独工作25天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了50天完成． （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ （2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x，y均为正整数，且x＜46，y＜72，求甲、乙两队各做了多少天？ 8．（2024秋•大渡口区校级期中）“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米． （1）甲、乙两队各修道路多少米？ （2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的1.2倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？ 9．（2024秋•龙湖区期末）一项工程，甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 题型二 分式方程在销售问题中的应用 解题技巧提炼 商品销售问题 进价、售价、利润、利润率、让利、打折相关概念及其关系：成本有时也叫进价，售价有时也叫标价． 利润=售价-进价=成本×利润率； 实际售价=标价×折扣； 标价=成本×（1+利润率） 利润率= ×100% = ×100% ※※注意：“商品利润=售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 1．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（　　） A．197元 B．198元 C．199元 D．200元 2．（2024秋•邢台月考）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元，且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（　　） A．15元 B．元 C．10元 D．元 3．（2024春•怀宁县期末）据悉，怀宁县蓝莓种植面积已达8.8万亩，成为长三角最大的县级蓝莓种植区，怀宁蓝莓已成为安徽省首批有影响力的绿色食品区域公用品牌，每年的5月中旬至7月中旬是怀宁蓝莓的采摘期．某超市从蓝莓基地第一次购进了3000元的蓝莓，很快售完，第二次又以同样的钱购进蓝莓，因为第二次购进的蓝莓个头小，所以单价比第一次少20元，但重量却比第一次多25kg，则第一次购进蓝莓的单价是多少元（　　） A．60 B．50 C．40 D．30 4．（2024•普宁市二模）一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 　 　把． 5．某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利　 　元． 6．（2024•五华区校级模拟）云南多地中小学开展清明祭英烈活动，悼念革命先烈，传承红色基因，他们通过献花、默哀等方式，表达对革命先烈的崇高敬意和无限哀思．某中学准备一次性购买若干束A款鲜花和B款鲜花，其中用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束，且A款鲜花的单价是B款鲜花单价的1.5倍．求一束A款鲜花和一束B款鲜花的售价分别是多少元？ 7．（2023秋•安顺期末）镇宁樱桃是安顺市镇宁县特产．某水果店老板用3000元购进了一批镇宁樱桃，由于樱桃刚在果园采摘比较新鲜，前三天他以高于进价40%的价格共卖出150千克，由于樱桃保鲜期短，第四天他发现店里的樱桃卖相已不大好，于是果断地将剩余樱桃以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元．设该水果店老板购进了x千克镇宁樱桃． （1）这批樱桃的进价为 　 　元/千克；（用含x的式子表示） （2）该水果店老板这次购进樱桃多少千克？ 8．（2024秋•安居区校级月考）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备，每台B种设备价格比每台A种设备价格多700元，花3000元购买A种设备和花7200元购买B种设备的数量相同． （1）求A种、B种设备每台各多少元？ （2）根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共20台，总费用不高于17000元，求A种设备至少要购买多少台？ 9．（2024秋•渝中区校级月考）每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务． （1）求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？ （2）“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？ 题型三 分式方程在行程问题中的应用 解题技巧提炼 相遇问题： 甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间； 追击问题： 快者走的路程－慢者路程=追击路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间； 1．（2024•深圳模拟）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了20min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•郯城县期末）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，则骑车同学的速度为（　　） A．10千米/时 B．15千米/时 C．20千米/时 D．30千米/时 3．（2024秋•玉州区期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（　　） A．30km B．36km C．40km D．46km 4．（2024•弥勒市二模）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（　　） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 5．（2024秋•肥城市期中）甲、乙两个火车站相距720km，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，从甲站到乙站的时间缩短1.2h，则火车原来的速度为 　 ． 6．（2023•绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为 　 　km/h． 7．（2024秋•西乡塘区校级期末）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.3元．若充电费和加油费均为100元时，电动车可行驶的路程是燃油车的2.5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费． 8．（2024•安宁市模拟）渝昆高铁是中国境内一条连接重庆与昆明的高速铁路，渝昆高铁是我国“八纵八横”高速铁路主通道之一京昆通道的重要组成部分，线路起自重庆西站，途经重庆市、四川省、贵州省和云南省，接入昆明南站．待渝昆高速铁路建成通车后，甲、乙两人分别乘坐渝昆高铁、绿皮火车从重庆到昆明旅游，已知渝昆高铁全路程段长700千米，绿皮火车全路程段长1120千米．两人同时出发，甲所乘渝昆高铁的平均速度是乙所乘绿皮火车平均速度的5倍，甲比乙早14小时到达目的地，求甲所乘渝昆高铁和乙所乘绿皮火车的平均速度分别是多少？ 9．（2024秋•永年区期中）2016年4月27日，河北经贸大学的青年志愿者协会举办了以“低碳生活，绿色出行”为主题的志愿活动，为响应“低碳生活，绿色出行”的号召，赵琦每天骑自行车或步行上学，已知赵琦家距离学校4千米，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自行车上学比步行上学早到0.6小时． （1）求赵琦步行上学的速度； （2）若赵琦某次上学步行了0.5千米后发现没有带数学作业，于是他原速原路返回家拿数学作业，然后自自行车去上学，他到家后开门、拿数学作业、取自行车等共用0.15小时，为了不迟到，赵琦以高于平时的骑自行车的稍等匀速向学校行驶，若赵琦从步行出门到最后到学校共用了0.6小时，求赵琦这次骑自行车的速度． 题型四 分式方程在顺水逆水中的应用 解题技巧提炼 航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度. 顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速. 往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程 1．（2024秋•巴南区期末）重庆和宜昌之间的航线是三峡游轮的经典航线之一，已知重庆与宜昌之间航线约为630千米，一轮船往返于重庆和宜昌两码头之间，轮船由重庆顺流而下到宜昌所用时间比逆流而上所用时间少14小时（不计中途停靠时间），已知平均水流速度为6千米/小时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•云溪区期中）A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地．共用去9小时，已知水流速度为4千米/小时，若设该轮船在水中的速度为x千米/小时，则可列方程（　　） A．9 B．9 C．4＝9 D．9 3．（2024秋•覃塘区期中）已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程为 　 ． 4．（2024秋•广饶县期末）一艘轮船顺水航行60km所用的时间与逆水航行40km所用时间相同，若水流速度为3km/h，则轮船在静水中的速度为 　 　km/h． 5．一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流返回甲地，已知水流速度是每小时3km/h，去时所用时间是回来所用时间的，求轮船在静水中的速度？ 题型五 分式方程在耕地问题中的应用 解题技巧提炼 耕地问题的数量关系是：总产量=单位面积的常量÷总面积 1．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•黔西南州）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 3．“退耕还林还草”是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积共69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为5：3，设退耕还林的面积为x公顷，下列所列方程哪一个是不正确的？（　　） A． B．69000﹣xx C． D． 4．（2024秋•汾阳市期末）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为12600kg，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍．若设改良前的平均亩产量为x kg，则可列方程为 　 ． 5．（2024•东明县三模）现有两块面积相同的小麦试验田，第一块种植原品种，第二块种植新品种，结果分别收获小麦12000kg和14000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，求第一块试验田每公顷的产量． 6．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000千克和15000千克．已知第二块试验田每公顷的产量比第一块多3000千克，分别求这两块试验田每公顷的产量． 题型六 分式方程应用的压轴题 1．（2024春•平桂区 期末）某中学为创建“绿色学校”，响应“节能减排”号召，决定购进甲、乙两种型号的节能灯，已知甲型号节能灯的单价比乙型号节能灯的单价贵5元，用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同． （1）甲、乙两种型号的节能灯的单价各是多少元？ （2）李老师购买这两种节能灯共60盏，且投入的经费不超过1700元，那么最多可购买多少盏甲型号节能灯？ （3）根据“节能减排”要求，为了更省电，学校对原灯泡进行了更换，发现李老师买的节能灯不够，又派出刘老师去购买，且两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，你知道她甲、乙两种型号的节能灯各购买多少盏吗？ 2．（2024秋•肃南县校级期末）某电子城用4000元购进一批蓝牙耳机，很快出售完，于是电子城又用20000元购进第二批同款蓝牙耳机，所购数量是第一批购进数量的四倍，但每个蓝牙耳机的进价比第一批贵了20元． （1）求第二批蓝牙耳机每副的进价； （2）该电子城将第二批蓝牙耳机的进价提高50%后出售，最后第二批蓝牙耳机有m副没有售出，电子城计划将没有售出的蓝牙耳机打八折促销． ①用含m的代数式表示第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润； ②经核算，第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润率不低于40%（不考虑其他因素），求m的最大值． 3．（2024秋•岳阳楼区月考）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成这项工程需要120天．若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做，36天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，该工程是由甲队或乙队单独完成省钱，还是由甲、乙两队全程共同完成省钱？说明理由． 4．（2024•潢川县校级三模）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本． （1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元； （2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 5．（2024秋•海阳市期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成． （1）求乙单独完成该项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由． 6．（2024秋•汉川市期末）中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择，承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的1.5倍；②若由甲队单独施工5天后，再由甲、乙两队共同施工21天可完成剩余工程； ③若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000，且每天的工程费用甲队比乙队多2000元． （1）求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？ （2）从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由； （3）若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000元，则甲工程队至少要施工多少天？ 7．（2023秋•怀柔区期末）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为x元． （1）根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 x 7000 《红楼梦》 14000 （2）根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ （3）该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 专题 分式方程常见的实际应用 ★★列分式方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．验：检验，是否是分式方程的根，是否符合实际意义. 6．答：注意单位和完整地写出答句． 题型一 分式方程在工程问题中的应用 解题技巧提炼 工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1． 基本关系式： ①总工作量=工作效率×工作时间； ②总工作量=各单位工作量之和． 1．（2024春•邛崃市期末）科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配x辆汽车，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】设技术升级前每天装配x辆汽车，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合“现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设技术升级前每天装配x辆汽车，则现在平均每天装配（x+30）辆汽车， 依题意，得． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2．某项工作，甲、乙合作5天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．由乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍．甲单独完成这项工作所需多少天？（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】设甲单独完成这项工作需要x天，则乙单独完成这项工作需要2x天，利用甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总工作量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设甲单独完成这项工作需要x天，则乙单独完成这项工作需要2x天， 根据题意得：1， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意， ∴甲单独完成这项工作需要8天． 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2024•藁城区二模）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（　　） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③ 【分析】设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需（x+5）天．根据甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需（x+5）天． 依题意得：1， 解得：x＝20． 经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意， ∴（x+5）＝25 这三种施工方案需要的费用为： 方案①：1.5×20＝30（万元）； 方案②：1.1×（20+5）＝27.5（万元），但乙队单独完成这项任务超过了日期，不能选； 方案③：1.5×4+1.1×20＝28（万元）． ∵30＞28， ∴第③种施工方案最节省费用， 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（2024春•深圳期中）新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍．甲工程队单独完成此项工程需要 　 　天． 【分析】设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x天，根据甲工程队完成的任务量+乙工程队完成的任务量＝工程总量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x天， 依题意得：1， 解得：x＝45， 经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意， 则2x＝90． 答：甲工程队单独完成此项工程需要90天． 故答案为：90． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 5．（2024秋•潍坊月考）一项工程，若由甲队单独去做，要比规定时间多用5天完成；若由乙队单独去做，要比规定时间少用5天完成．若甲、乙两队合作2天，余下的工程由甲队单独去做，则超规定时间2天完成．这项工程规定几天完成？ 【分析】设这项工程规定x天完成，则甲队单独去做需要（x+5）天，乙队单独去做需要（x﹣5）天，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设这项工程规定x天完成，则甲队单独去做需要（x+5）天，乙队单独去做需要（x﹣5）天， 根据题意，得1， 解方程，得x＝25， 经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意． 答：这项工程规定25天完成． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．（2024春•渠县校级期末）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 【分析】如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数﹣乙工厂单独加工完成这批产品的天数＝10列出方程． 【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品， 依题意得10， 解得：x＝40． 经检验：x＝40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x＝60． 答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品． 【点评】本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．注意分式方程一定要验根． 7．（2024秋•玉林期末）我市为了连接高铁北站，启动了教育东路改扩建工程，此工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需150天，若甲工程队单独工作25天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了50天完成． （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？ （2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x，y均为正整数，且x＜46，y＜72，求甲、乙两队各做了多少天？ 【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要a天，根据总工程量＝甲队完成的部分+乙队完成的部分即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论． （2）根据总工程量＝甲队完成的部分+乙队完成的部分即可得出关于x、y的二元一次方程，用含y的代数式表示出x，结合x、y均为正整数即可解答． 【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要a天，由题意得， 解之得a＝100， 经检验a＝100是原方程的解． 答：乙工程队单独做需要100天完成； （2）∵甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，则；， 即， 又∵x＜46，y＜72， ∴， 解得：42＜x＜46， ∵x，y均为正整数， ∴x＝45，y＝70， 答：甲队做了45天，乙队做了70天． 【点评】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出分式方程和二元一次方程． 8．（2024秋•大渡口区校级期中）“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米． （1）甲、乙两队各修道路多少米？ （2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的1.2倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？ 【分析】（1）设甲队修道路x米，乙队修道路y米，根据某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设乙队每天修道路a米，则甲队每天修道路1.2a米，根据甲队完成的任务时间比乙队多2天，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设甲队修道路x米，乙队修道路y米， 由题意得：， 解得：， 答：甲队修道路600米，乙队修道路400米； （2）设乙队每天修道路a米，则甲队每天修道路1.2a米， 由题意得：2， 解得：a＝50， 经检验，a＝50是原方程的解，且符合题意， ∴1.2a＝1.2×50＝60， 答：甲队每天修道路60米． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 9．（2024秋•龙湖区期末）一项工程，甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需a天，则乙公司单独完成此项工程需1.5a天，根据合作12天完成可列出方程，解方程即可得到答案，注意要验根； （2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，依据共需付施工费102000元列方程求解，进而分别求得两个公司施工所需费用，比较即可得到结论． 【解答】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需a天，则乙公司单独完成此项工程需1.5a天． 根据题意，得， 解得x＝20， 经检验知x＝20是方程的解且符合题意． 1.5x＝30， 答：甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司单独完成此项工程需30天； （2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元， 根据题意得12（y+y﹣1500）＝102000，解得y＝5000， 甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000＝100000（元）； 乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）＝105000（元）； 故甲公司的施工费较少． 【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会利用未知数，构建方程解决问题． 题型二 分式方程在销售问题中的应用 解题技巧提炼 商品销售问题 进价、售价、利润、利润率、让利、打折相关概念及其关系：成本有时也叫进价，售价有时也叫标价． 利润=售价-进价=成本×利润率； 实际售价=标价×折扣； 标价=成本×（1+利润率） 利润率= ×100% = ×100% ※※注意：“商品利润=售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 1．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（　　） A．197元 B．198元 C．199元 D．200元 【分析】设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20），根据“花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数”列方程即可． 【解答】解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20）元，根据题意列方程得： ， 解得：x＝200 经检验：x＝200是原分式方程的解，则A商家每张餐桌的售价为200元． 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，审清题意找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 2．（2024秋•邢台月考）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元，且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（　　） A．15元 B．元 C．10元 D．元 【分析】设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是0.9x元，B礼物的单价是1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合A种礼物比B种礼物多10份，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是0.9x元，B礼物的单价是1.2x元， 依题意得：10， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意． 答：这一批礼物平均单价是15元． 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2024春•怀宁县期末）据悉，怀宁县蓝莓种植面积已达8.8万亩，成为长三角最大的县级蓝莓种植区，怀宁蓝莓已成为安徽省首批有影响力的绿色食品区域公用品牌，每年的5月中旬至7月中旬是怀宁蓝莓的采摘期．某超市从蓝莓基地第一次购进了3000元的蓝莓，很快售完，第二次又以同样的钱购进蓝莓，因为第二次购进的蓝莓个头小，所以单价比第一次少20元，但重量却比第一次多25kg，则第一次购进蓝莓的单价是多少元（　　） A．60 B．50 C．40 D．30 【分析】设第一次购进蓝莓的单价是x元，则第二次购进蓝莓的单价是（x﹣20）元，根据“重量却比第一次多25kg”即可列出方程，求解即可解答． 【解答】解：设第一次购进蓝莓的单价是x元，根据题意，得， ， 解得：x1＝60，x2＝﹣40， 经检验，x1＝60，x2＝﹣40都是该方程的解， 但x2＝﹣40不合题意，舍去． 答：第一次购进蓝莓的单价是60元． 故选：A． 【点评】本题考查分式方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 4．（2024•普宁市二模）一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 　 　把． 【分析】设商场第一批购进x把这种太阳伞，则第二批购进2x把这种太阳伞，利用单价＝总价÷数量，结合第二批的购进单价比第一批贵4元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，再将其代入x+2x中，即可求出结论． 【解答】解：设商场第一批购进x把这种太阳伞，则第二批购进2x把这种太阳伞， 根据题意得：4， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意， 故答案为：200． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 5．某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利　 　元． 【分析】设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本，根据单价＝总价÷数量结合第二批的进价比第一批便宜2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出第一批及第二批购进的数量，再利用总利润＝销售单价×数量﹣进价，即可求出结论． 【解答】解：设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本， 依题意，得：2， 解得：x＝55， 经检验，x＝55是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝110． ∴20×（55+110﹣2）+20×0.75×2﹣760﹣1300＝1230（元）． 故答案为：1230． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．（2024•五华区校级模拟）云南多地中小学开展清明祭英烈活动，悼念革命先烈，传承红色基因，他们通过献花、默哀等方式，表达对革命先烈的崇高敬意和无限哀思．某中学准备一次性购买若干束A款鲜花和B款鲜花，其中用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束，且A款鲜花的单价是B款鲜花单价的1.5倍．求一束A款鲜花和一束B款鲜花的售价分别是多少元？ 【分析】利用“用1200元购买A款鲜花的数量比用1600元购买B款鲜花的数量少20束”，列方程，即可解答． 【解答】解：设一束B款鲜花的售价x元，则一束A款鲜花的售价为1.5x元， 根据题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴一束B款鲜花的售价为：40×1.5＝60（元）． 答：一束A款鲜花的售价为60元，一束B款鲜花的售价为40元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，正确列出等量关系是解题的关键． 7．（2023秋•安顺期末）镇宁樱桃是安顺市镇宁县特产．某水果店老板用3000元购进了一批镇宁樱桃，由于樱桃刚在果园采摘比较新鲜，前三天他以高于进价40%的价格共卖出150千克，由于樱桃保鲜期短，第四天他发现店里的樱桃卖相已不大好，于是果断地将剩余樱桃以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元．设该水果店老板购进了x千克镇宁樱桃． （1）这批樱桃的进价为 　 　元/千克；（用含x的式子表示） （2）该水果店老板这次购进樱桃多少千克？ 【分析】（1）利用进价＝进货总价÷进货数量，即可用含x的代数式表示出这批樱桃的进价； （2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：这批樱桃的进价为元/千克． 故答案为：； （2）根据题意得：40%150﹣20%（x﹣150）＝750， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意． 答：该水果店老板这次购进樱桃200千克． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出这批樱桃的进价；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 8．（2024秋•安居区校级月考）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备，每台B种设备价格比每台A种设备价格多700元，花3000元购买A种设备和花7200元购买B种设备的数量相同． （1）求A种、B种设备每台各多少元？ （2）根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共20台，总费用不高于17000元，求A种设备至少要购买多少台？ 【分析】（1）设每台A种设备x元，则每台B种设备（x+700）元，根据数量＝总价÷单价结合花3000元购买A种设备和花7200元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台，根据总价＝单价×数量结合总费用不高于17000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可． 【解答】解：（1）设每台A种设备x元，则每台B种设备（x+700）元， 根据题意得：， 解得：x＝500， 经检验，x＝500是原方程的解， ∴x+700＝1200． 答：每台A种设备500元，每台B种设备1200元； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台， 根据题意得：500m+1200（20﹣m）≤17000， 解得：m≥10． 答：A种设备至少要购买10台． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 9．（2024秋•渝中区校级月考）每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务． （1）求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？ （2）“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？ 【分析】（1）设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，根据生产的总数量为2000件，列方程求解即可； （2）设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，根据结果比原计划提前4天完成任务，列方程求解即可． 【解答】解：（1）设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件， 依题意，得：15x+5（x+40）＝2000， 解得：x＝90． 答：甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件． （2）设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件， 依题意，得：， 解得：y＝85． 经检验，y＝85是原方程的解． 答：更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． 题型三 分式方程在行程问题中的应用 解题技巧提炼 相遇问题： 甲的行程＋乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间； 追击问题： 快者走的路程－慢者路程=追击路程； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间； 1．（2024•深圳模拟）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了20min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为3x km/h，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可． 【解答】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为x km/h， ∴汽车的速度为3x km/h， 根据题意得：． 故选：B． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键． 2．（2024秋•郯城县期末）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，则骑车同学的速度为（　　） A．10千米/时 B．15千米/时 C．20千米/时 D．30千米/时 【分析】等量关系为：骑车同学用的时间﹣汽车用的时间，根据等量关系列出方程． 【解答】解：设骑车同学的速度为x千米/时，则汽车速度为2x千米/时． 列方程为：． 解这个方程得：x＝15． 经检验，x＝15是原方程的解． 答：骑车同学的速度15千米/小时． 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．解分式方程注意检验． 3．（2024秋•玉州区期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（　　） A．30km B．36km C．40km D．46km 【分析】设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶（x+12）km，根据乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的列出方程，解方程即可． 【解答】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶的路程（x+12）km，根据题意列方程， ， 解得：x＝36， 经检验，x＝36是原方程的解， ∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km， 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于根据时间关系列出方程． 4．（2024•弥勒市二模）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（　　） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 【分析】设原来的平均速度是x km/h，则现在的平均速度为（1）x km/h，根据时间少用90min列出分式方程并求解即可． 【解答】解：设原来的平均速度是x km/h，则现在的平均速度为（1）x km/h， 由题意得：， 解得：x＝72， 经检验x＝72是原方程的解，且符合题意， 即原来的平均速度是72km/h， 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键． 5．（2024秋•肥城市期中）甲、乙两个火车站相距720km，火车提速后，行驶速度是原来速度的1.2倍，从甲站到乙站的时间缩短1.2h，则火车原来的速度为 　 ． 【分析】设火车原来的速度为x km/h，则提速后的速度为1.2x km/h，利用时间＝路程÷速度，结合提速后从甲站到乙站的时间缩短1.2h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设火车原来的速度为x km/h，则提速后的速度为1.2x km/h， 根据题意得：1.2， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意， ∴火车原来的速度为100km/h． 故答案为：100km/h． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．（2023•绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为 　 　km/h． 【分析】根据比原计划提前了0.5h到达列方程，即可解得答案． 【解答】解：根据题意得：0.5， 解得v＝60， 经检验，v＝60是原方程的解， ∴原计划的速度v为60km/h； 故答案为：60． 【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 7．（2024秋•西乡塘区校级期末）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.3元．若充电费和加油费均为100元时，电动车可行驶的路程是燃油车的2.5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费． 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，由题意：若充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的2.5倍，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x+0.3）元， 根据题意，得：， 解得：x＝0.2， 经检验，x＝0.2是原方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，理解题意并找到等量关系是解题的关键． 8．（2024•安宁市模拟）渝昆高铁是中国境内一条连接重庆与昆明的高速铁路，渝昆高铁是我国“八纵八横”高速铁路主通道之一京昆通道的重要组成部分，线路起自重庆西站，途经重庆市、四川省、贵州省和云南省，接入昆明南站．待渝昆高速铁路建成通车后，甲、乙两人分别乘坐渝昆高铁、绿皮火车从重庆到昆明旅游，已知渝昆高铁全路程段长700千米，绿皮火车全路程段长1120千米．两人同时出发，甲所乘渝昆高铁的平均速度是乙所乘绿皮火车平均速度的5倍，甲比乙早14小时到达目的地，求甲所乘渝昆高铁和乙所乘绿皮火车的平均速度分别是多少？ 【分析】设乙所乘绿皮火车的平均速度是x千米/小时，则甲所乘渝昆高铁的平均速度是5x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙早14小时到达目的地，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即乙所乘绿皮火车的平均速度），再将其代入5x中，即可求出甲所乘渝昆高铁的平均速度． 【解答】解：设乙所乘绿皮火车的平均速度是x千米/小时，则甲所乘渝昆高铁的平均速度是5x千米/小时， 根据题意得：14， 解得：x＝70， 经检验，x＝70是所列方程的解，且符合题意， ∴5x＝5×70＝350（千米/小时）． 答：甲所乘渝昆高铁的平均速度是350千米/小时，乙所乘绿皮火车的平均速度是70千米/小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9．（2024秋•永年区期中）2016年4月27日，河北经贸大学的青年志愿者协会举办了以“低碳生活，绿色出行”为主题的志愿活动，为响应“低碳生活，绿色出行”的号召，赵琦每天骑自行车或步行上学，已知赵琦家距离学校4千米，赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍（骑自行车和步行均是匀速），骑自行车上学比步行上学早到0.6小时． （1）求赵琦步行上学的速度； （2）若赵琦某次上学步行了0.5千米后发现没有带数学作业，于是他原速原路返回家拿数学作业，然后自自行车去上学，他到家后开门、拿数学作业、取自行车等共用0.15小时，为了不迟到，赵琦以高于平时的骑自行车的稍等匀速向学校行驶，若赵琦从步行出门到最后到学校共用了0.6小时，求赵琦这次骑自行车的速度． 【分析】（1）设赵琦步行上学的速度为x千米/小时，根据骑自行车上学比步行上学早到0.6小时列出方程解答即可； （2）设赵琦这次骑自行车的速度为a千米/小时，根据：步行往返时间+开门、拿作业、取车时间+骑自行车所用时间＝总用时列出关于a的分式方程，解之可得． 【解答】解：（1）设赵琦步行上学的速度为x千米/小时，则赵琦骑自行车的速度为2.5x千米/小时， 根据题意得：0.6， 解得：x＝4， 经检验：x＝4是原分式方程的根， 答：赵琦步行上学的速度为4千米/小时； （2）设赵琦这次骑自行车的速度为a千米/小时， 根据题意得：0.150.6， 解得：a＝20， 经检验：a＝20是原分式方程的解， 答：赵琦这次骑自行车的速度为20千米/小时． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，理解题意得出相等关系并依此列出方程是解题的关键． 题型四 分式方程在顺水逆水中的应用 解题技巧提炼 航行问题： 顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度. 顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速. 往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程 1．（2024秋•巴南区期末）重庆和宜昌之间的航线是三峡游轮的经典航线之一，已知重庆与宜昌之间航线约为630千米，一轮船往返于重庆和宜昌两码头之间，轮船由重庆顺流而下到宜昌所用时间比逆流而上所用时间少14小时（不计中途停靠时间），已知平均水流速度为6千米/小时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】由平均水流速度及船在静水中的速度，可得出轮船顺流及逆流的速度，利用时间＝路程÷速度，结合轮船由重庆顺流而下到宜昌所用时间比逆流而上所用时间少14小时，可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵平均水流速度为6千米/小时，船在静水中的速度为x千米/小时， ∴轮船由重庆顺流而下的平均速度为（x+6）千米/小时，逆流而上的平均速度为（x﹣6）千米/小时． 根据题意得：14． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2．（2024秋•云溪区期中）A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地．共用去9小时，已知水流速度为4千米/小时，若设该轮船在水中的速度为x千米/小时，则可列方程（　　） A．9 B．9 C．4＝9 D．9 【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间＝9小时． 【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：． 所列方程为：9． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 3．（2024秋•覃塘区期中）已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程为 　 ． 【分析】根据等量关系：轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，列方程即可． 【解答】解：依题意有：． 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 4．（2024秋•广饶县期末）一艘轮船顺水航行60km所用的时间与逆水航行40km所用时间相同，若水流速度为3km/h，则轮船在静水中的速度为 　 　km/h． 【分析】顺水速度＝水流速度+静水速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度．根据“轮船顺水航行60千米所需要的时间和逆水航行40千米所用的时间相同”可列出方程． 【解答】解：设船在静水中的速度是x千米/时． 由题意得：． 解得：x＝15． 经检验：x＝15是原方程的解． 即船在静水中的速度是15千米/时． 故答案为：15． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法． 5．一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流返回甲地，已知水流速度是每小时3km/h，去时所用时间是回来所用时间的，求轮船在静水中的速度？ 【分析】顺流速度＝静水速度+水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度．由此可设出未知数，列出相应方程． 【解答】解：设轮船在静水中的速度是μkm/h，甲乙两地的距离为λ， 依题意得：， 解得：μ＝21． 经检验μ＝21是原方程的解， 故轮船在静水中的速度是21km/h． 【点评】该题考查了分式方程在解决行程问题方面的应用问题；解题的关键是深刻把握题意、正确列出方程、准确求解计算． 题型五 分式方程在耕地问题中的应用 解题技巧提炼 耕地问题的数量关系是：总产量=单位面积的常量÷总面积 1．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】设第一块试验田每亩的产量为x千克，根据题意列出方程解答即可． 【解答】解：设第一块试验田每亩的产量为x千克，可得：， 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验． 2．（2024•黔西南州）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【分析】根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半列出方程即可． 【解答】解：根据题意得：2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 3．“退耕还林还草”是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积共69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为5：3，设退耕还林的面积为x公顷，下列所列方程哪一个是不正确的？（　　） A． B．69000﹣xx C． D． 【分析】关键描述语为：“退耕还林与退耕还草的面积比为5：3”；本题的等量关系为：退耕还林的面积：退耕还草的面积＝5：3，那么退耕总面积：退耕还林的面积＝8：5，看所给选项中哪一个与得到等式不符即可． 【解答】解：退耕还林的面积为x公顷，则退耕还草的面积为（69000﹣x）公顷， 故，A正确； 故69000﹣x＝xx，B错误； 故，C正确； 根据第二个等量关系可得D正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据退耕还林与退耕还草的面积比为5：3列出等式，合理变形是解决本题的关键． 4．（2024秋•汾阳市期末）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为12600kg，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍．若设改良前的平均亩产量为x kg，则可列方程为 　 ． 【分析】由改良前后平均亩产量间的关系，可得出改良后平均每亩的产量为1.5x kg，利用种植亩数＝总产量÷亩产量，结合改良后种植亩数减少25亩，可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，且改良前平均每亩的产量为x kg， ∴改良后平均每亩的产量为1.5x kg， 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查从实际问题抽象出分式方程，找出等量关系是解答本题的关键． 5．（2024•东明县三模）现有两块面积相同的小麦试验田，第一块种植原品种，第二块种植新品种，结果分别收获小麦12000kg和14000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，求第一块试验田每公顷的产量． 【分析】设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据有两块面积相同的小麦试验田，以试验田的面积作为等量关系可列方程求解． 【解答】解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第二块试验田每公顷产量为（x+1500）kg， 由题意得：， 解得：x＝9000， 检验：当x＝9000时，x（x+1500）≠0， 所以x＝9000是方程的解． 答：第一块试验田每公顷的产量为9000kg． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出以两块面积相同的试验田作为等量关系是解决问题的关键． 6．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000千克和15000千克．已知第二块试验田每公顷的产量比第一块多3000千克，分别求这两块试验田每公顷的产量． 【分析】设第一块产x千克，则第二块产（x+3000）千克，根据第二块试验田每公顷的产量比第一块多3000千克，列方程求解． 【解答】解：设第一块产x千克，则第二块产（x+3000）千克， 由题意得，， 解得：x＝4500， 经检验：x＝4500是原分式方程的解． 则x+3000＝4500+3000＝7500． 答：第一块产4500千克，则第二块产7500千克． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 题型六 分式方程应用的压轴题 1．（2024春•平桂区 期末）某中学为创建“绿色学校”，响应“节能减排”号召，决定购进甲、乙两种型号的节能灯，已知甲型号节能灯的单价比乙型号节能灯的单价贵5元，用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同． （1）甲、乙两种型号的节能灯的单价各是多少元？ （2）李老师购买这两种节能灯共60盏，且投入的经费不超过1700元，那么最多可购买多少盏甲型号节能灯？ （3）根据“节能减排”要求，为了更省电，学校对原灯泡进行了更换，发现李老师买的节能灯不够，又派出刘老师去购买，且两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，你知道她甲、乙两种型号的节能灯各购买多少盏吗？ 【分析】（1）设甲种的节能灯的单价为x元，则乙种节能灯的单价为（x﹣5）元，由题意：用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同．列出分式方程，解方程即可； （2）购买m盏甲型号节能灯，由题意：李老师购买这两种节能灯共60盏，且投入的经费不超过1700元，列出一元一次不等式，解不等式即可； （3）设甲种型号的节能灯购买a盏，乙种型号的节能灯购买b盏，由题意：又派出刘老师去购买，且两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【解答】解：（1）设甲种的节能灯的单价为x元，则乙种节能灯的单价为（x﹣5）元， 依题意得：， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意， 则x﹣5＝25， 答：甲种的节能灯的单价为30元，乙种节能灯的单价为25元； （2）购买m盏甲型号节能灯， 由题意得：30m+25（60﹣m）≤1700， 解得：m≤40， 答：最多可购买40盏甲型号节能灯； （3）设甲种型号的节能灯购买a盏，乙种型号的节能灯购买b盏， 由题意得：30a+25b＝300， 整理得：a＝10b， ∵a、b均为正整数， ∴， 答：甲种型号的节能灯购买5盏，乙种型号的节能灯购买6盏． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 2．（2024秋•肃南县校级期末）某电子城用4000元购进一批蓝牙耳机，很快出售完，于是电子城又用20000元购进第二批同款蓝牙耳机，所购数量是第一批购进数量的四倍，但每个蓝牙耳机的进价比第一批贵了20元． （1）求第二批蓝牙耳机每副的进价； （2）该电子城将第二批蓝牙耳机的进价提高50%后出售，最后第二批蓝牙耳机有m副没有售出，电子城计划将没有售出的蓝牙耳机打八折促销． ①用含m的代数式表示第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润； ②经核算，第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润率不低于40%（不考虑其他因素），求m的最大值． 【分析】（1）设第二批蓝牙耳机每副的进价为x元，则第一批蓝牙耳机每副的进价为（x﹣20）元，根据用20000元购进第二批同款蓝牙耳机，所购数量是第一批购进数量的四倍，列出分式方程，解方程即可； （2）①由（1）可知，购进第二批蓝牙耳机的数量为20000÷100＝200（副），则第二批蓝牙耳机已售出（200﹣m）副，再由题意列出计算即可； ②根据第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润率不低于40%，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设第二批蓝牙耳机每副的进价为x元，则第一批蓝牙耳机每副的进价为（x﹣20）元， 依题意得：4， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意， 答：第二批蓝牙耳机每副的进价为100元； （2）①由（1）可知，购进第二批蓝牙耳机的数量为20000÷100＝200（副）， ∵第二批蓝牙耳机有m副没有售出， ∴第二批蓝牙耳机已售出（200﹣m）副， ∴100×（1+50%）（200﹣m）+100×（1+50%）×0.8m﹣20000＝（﹣30m+10000）（元）， 即第二批蓝牙耳机全部售完时的总利润为（﹣30m+10000）元； ②依题意得：﹣30m+10000≥20000×40%， 解得：m， 又∵m为整数， ∴m的最大值为66． 答：m的最大值是66． 【点评】本题考查了分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①正确列出代数式；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 3．（2024秋•岳阳楼区月考）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成这项工程需要120天．若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做，36天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，该工程是由甲队或乙队单独完成省钱，还是由甲、乙两队全程共同完成省钱？说明理由． 【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意：甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可； （2）设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，结合（1）的结果列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天． 由题意得：20+（）×36＝1， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙队单独完成这项工程需要80天． （2）由甲、乙两队全程共同完成更省钱．理由如下： 由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）； 甲队独做工期超过90天，不符合要求； 设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天， 由题意得：（）y＝1， 解得：y＝48， 需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元）， ∵192＜200， ∴由甲、乙两队全程共同完成更省钱． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 4．（2024•潢川县校级三模）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本． （1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元； （2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 【分析】（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程即可； （2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，由题意：“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，列出一元一次不等式组，解得600≤a≤750，再设订购两种读本的总费用为w元，由题意得出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元， 由题意得：500， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原分式方程的解， ∴1.2x＝12， 答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元； （2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本， 由题意得：， 解得：600≤a≤750， 设订购两种读本的总费用为w元， 由题意得：w＝12a+10（1000﹣a）＝2a+10000， ∵2＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝600时，w有最小值为2×600+10000＝11200， 此时，1000﹣600＝400，符合题意， 答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． 5．（2024秋•海阳市期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成． （1）求乙单独完成该项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由． 【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意：甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可； （2）求出甲、乙两队施工天数得出需要施工费用，即可分析得出． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天． 由题意得：20+（）×36＝1， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙队单独完成这项工程需要80天． （2）由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下： 由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）； 甲队独做工期超过90天，不符合要求； 设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天， 由题意得：y（）＝1， 解得：y＝48， 需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元）， ∵192＜200， ∴由甲、乙全程共同完成更省钱． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 6．（2024秋•汉川市期末）中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择，承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的1.5倍；②若由甲队单独施工5天后，再由甲、乙两队共同施工21天可完成剩余工程； ③若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000，且每天的工程费用甲队比乙队多2000元． （1）求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？ （2）从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由； （3）若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000元，则甲工程队至少要施工多少天？ 【分析】（1）设甲施工队单独完成此项工程需x天，依据等量关系列方程求解．等量关系为：甲26天的工作总量+乙21天的工作总量＝1； （2）先根据“若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000”求出甲乙队每天工程的费用，进而求出甲乙队完成全部工程的费用，比较即可得到结论； （3）设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工（1）天才能完成全部工程，根据两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000列出不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙施工队单独完成此项工程需1.5x天． 根据题意得21•（）＝1． 解这个方程得x＝40． 经检验x＝40是所列方程的解． ∴当x＝40时，1.5x＝60． 答：甲工程队单独施工完成全部工程各需要40天，乙工程队单独施工完成全部工程各需要60天； （2）方案为：选甲工程队单独施工完成． 理由如下：由题意可得两队同时进场施工完成全部工程所需要的天数为1÷（）＝24（天）， 设乙队每天工程费用为a元，则甲乙队每天工程费用为（a+2000）元， 由题意得24•（a+a+2000）＝384000， 解得a＝7000，a+2000＝9000， ∴甲队完成全部工程费用为9000×40＝360000（元），乙完成全部工程费用为7000×60＝420000（元）， 又两队同时进场施工完成全部工程共需要工程费用384000元， ∵360000＜384000＜420000， ∴选甲工程队单独施工完成； （3）设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工（1）天才能完成全部工程， 由题意得9000y+7000•（1）378000， 解得y≥28， 答：甲工程队至少要施工28天． 【点评】本题主要考查了分式方程、一元一次方程、一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键． 7．（2023秋•怀柔区期末）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为x元． （1）根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 x 7000 《红楼梦》 14000 （2）根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ （3）该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【分析】（1）根据题意分别列出代数式即可； （2）利用数量＝总价÷单价，结合花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，列出关于x的分式方程，解方程即可； （3）设这个班订购m本《红楼梦》，则订购（10﹣m）本《西游记》，根据“《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设该校初二年级购买《西游记》的单价为x元，则购买《红楼梦》的单价为1.4x元， ∴购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，1.4x，； （2）据题意得：300， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴1.4x＝1.4×10＝14， 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （2）设这个班订购m本《红楼梦》，则订购《西游记》（10﹣m）本， 根据题意得：， 解得：3≤m≤6， 又∵m为正整数， ∴m可以为3，4，5，6， ∴这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为14×3+10×7＝112（元）； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为14×4+10×6＝116（元）； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为14×5+10×5＝120（元）； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为14×6+10×4＝124（元）． ∵112＜116＜120＜124， ∴按照这些方案订购最低总费用为112元． 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$