16.3分式方程（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 知识点一 分式的方程的概念 ◆1、分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． ◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． 知识点二 分式的方程的解法 ◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. ◆2、“去分母法”解分式方程的步骤 （1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2） 解这个整式方程； （3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； （4） 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. ◆3、检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. ◆4、分式方程的增根 增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 知识点三 分式的方程的应用 ◆列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 设出未知数； 3. 找相等关系； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根， 二验是否符合题意)； 7. 作答. 题型一 分式方程的概念 解题技巧提炼 分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 1．（2024秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（　　） A．1 B．x2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1 2．（2024秋•普陀区期末）下列方程中，不是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（　　） A． B． C．3x＝x﹣5 D．2x﹣y＝1 4．（2024秋•文登区校级期中）已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 5．（2024春•苏家屯区期中）在①x2﹣x，②3＝a+4，③5x＝6，④1中，其中关于x的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列方程：①2，②3，③，④5，⑤1＝0中，关于x的分式方程有（填写序号）：　 　． 7．（2024春•新宁县期末）有下列方程：①，②，③（m为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 　 　（填序号）． 8． 在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 　 　． 题型二 解分式方程 解题技巧提炼 1、解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 2、解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 1．（2024秋•思明区期末）将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘（　　） A．x﹣3 B．x C．3（x﹣3） D．x（x﹣3） 2．关于x的分式方程1，下列说法正确的是（　　） A．方程的解是x＝m+5 B．m＞﹣5时，方程的解是正数 C．m＜﹣5时，方程的解为负数 D．无法确定 3．（2024春•南岸区期末）解分式方程的过程如下： 解：方程两边都乘x（x﹣2）， 得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1① 去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1② 解这个方程，得x＝1③ 检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④ 以上解答过程中，开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4．（2024秋•昌黎县期中）分式与互为相反数，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 5．（2024•中宁县一模）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：方程两边同乘 　 ， 得x﹣3+2（x﹣2）＝﹣1第一步 去括号，得x﹣3+2x﹣4＝﹣1第二步 移项、合并同类项，得3x＝6第三步 解得，x＝2第四步 则原分式方程的解为x＝2第五步 （1）第一步中横线处应填 　 　，这一步的目的是 　 　，依据是 　 　． （2）小明在反思上述解答过程时，发现缺少了一步，请将其补充完整． 6．（2024秋•河北区校级期末）解分式方程： （1）； （2）． 7．（2024秋•潍坊期末）解分式方程： （1）； （2）． 8．（2024秋•林州市期末）解方程． （1）； （2）． 题型三 用换元法解分式方程 解题技巧提炼 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 1．（2024秋•青龙县期中）用换元法解方程：3时，若设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A．y2﹣3y+2＝0 B．y2﹣3y﹣2＝0 C．y2+3y+2＝0 D．y2+3y﹣2＝0 2．（2024春•金山区期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（　　） A． B． C．y2+3y＝1 D．y2﹣y＝﹣3 3．（2024春•闵行区期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A．2y2+y﹣1＝0 B．y2+2y﹣1＝0 C．y2﹣2y+1＝0 D．2y2﹣y+1＝0 4．（2024秋•仁寿县校级月考）若，则（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 5．（2024秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：0． 解：设y，则原方程化为：y0， 方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y1＝2，y2＝﹣2． 经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y0的解． 当y＝2时，2，解得：x＝﹣1； 当y＝﹣2时，2，解得：x． 经检验：x1＝﹣1或x2都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　 ； （2）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　 ； （3）模仿上述换元法解方程：1＝0． 6．在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题． 老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（）2﹣4（）+4＝0． 学生甲：老师，原方程可整理为4＝0，再去分母，行得通吗？ 老师：很好，当然可以这样做． 再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？ 学生乙：老师，我发现是整体出现的！ 老师：很好，我们把看成一个整体，用y表示，即可设y，那么原方程就变为y2﹣4y+4＝0． 全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y﹣2）2＝0 老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y2﹣4y+4＝0的根是y＝2，那么就有2 学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x＝2，再验根就可以了！ 老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法． 全体同学：OK，换元法真神奇！ 现在，请你用换元法解下列分式方程（组）： （1）（）21＝0； （2）． 题型四 用分式方程的解确定字母的值 解题技巧提炼 把分式方程的解代入到原方程中，得到关于某个字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可. 1．（2024•驻马店二模）若关于x的分式方程的解是2，则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 2．（2024秋•大理州期末）关于x的方程的根为x＝2，则a应取值（　　） A．1 B．3 C．﹣2 D．﹣3 3．（2024•锦江区模拟）若关于x的分式方程的解为x＝3，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（2024秋•天河区校级期末）若关于x的方程的解为x＝1，则a的值是 　 　． 5．已知方程的解为x＝2，求的值． 6．（2024•阜宁县三模）已知关于x的方程的解是x＝2，求关于y的不等式（a﹣5）y＜﹣6的解集． 7．（2024秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2﹣2m的值． 8．（2024秋•正定县期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 题型五 用分式方程的解确定字母的取值范围 解题技巧提炼 先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根据题中的条件得出关于这个字母的不等式，然后解不等式，从而确定字母的取值范围 ,同时要注意排除增根. 1．（2024秋•新抚区期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围 是（　　） A．m＜2 B．m＜3 C．m＜2且3m≠1 D．m＜3且m≠2 2．（2024春•雁塔区校级期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣5 B．m＞﹣5且m≠﹣1 C．m＞﹣3 D．m＞﹣3且m≠﹣1 3．（2024春•莲池区校级期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则实数a的取值范围是（　　） A． B．a C．且a≠4 D．a且a≠﹣4 4．（2024秋•渝中区校级期中）若整数a使关于x的不等式组有且只有3个 整数解，且使关于y的分式方程的解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和 为（　　） A．8 B．6 C．10 D．7 5．（2024春•丰泽区校级月考）关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围是什么？ 6．（2024秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围． 7．若关于x的方程的解不小于2，求a的取值范围． 8．（2024春•埇桥区校级期末）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求a的值； （2）若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 题型六 利用分式方程的增根确定字母的取值 解题技巧提炼 1.增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 2.检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 1．（2024秋•新田县期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．0或3 2．（2024秋•湖南期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．3 D．﹣2 3．（2024秋•慈利县期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 4．（2024秋•宝塔区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　 ． 5．（2024秋•息县校级期末）若关于x的方程有增根x＝﹣1，则k的值为　 　． 6．（2024秋•武冈市期末）关于x的方程：．若这个方程有增根，求a的值． 7．（2024秋•娄星区校级期中）若关于x的分式方程有增根，求m的值． 8．（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程． （1）m为何值时，这个方程的解是5？ （2）m为何值时，这个方程有增根？ 题型七 利用分式方程的无解确定字母的取值 解题技巧提炼 分式方程的无解有两种情况： 一是分式方程转化为整式方程无解； 二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0. 1．（2024秋•泰山区校级期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．1或 C．﹣1或 D．以上都不是 2．（2024秋•海阳市期中）若分式方程无解，则k的值为（　　） A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 3．（2024•洪雅县模拟）若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．4或6 C．4 D．0或4 4．（2024秋•岱岳区期末）关于x的分式方程无解，则m的值为　 ． 5．（2024秋•徐汇区校级期中）如果关于x的方程无解，求a的值． 6．（2024春•肥西县期末）已知关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝1，求m的值； （2）若方程无解，求m的值． 7．（2024秋•冷水滩区期中）已知关于x的方程． （1）当a＝6，b＝1时求分式方程的解； （2）当a＝6时，求b为何值时，分式方程无解． 题型八 根据实际问题列分式方程 解题技巧提炼 分析实际问题中的等量关系，列出方程即可解答． 1．（2024•福田区校级开学）已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶12千米，若设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•丰都县期末）渝万高速铁路，即重庆市南岸区至万州区的高速铁路，是国家“八纵八横”高速铁路京昆通道、包（银）海通道和重庆“米”字型高铁网的重要组成部分，是高铁沿江通道的重要补充，渝万高铁项目全长252公里，自重庆东站引出，沿长江向东经南岸、巴南、涪陵、丰都、忠县至万州，沿线设重庆东、涪陵北、丰都北、忠县、万州北等车站，预计2027年4月建成通车．高铁速度是动车速度的1.7倍，建成后，渝万高铁丰都到重庆段距离缩短为120公里（原渝利铁路丰都到重庆的距离为146公里），所用时比原来缩短了30分钟．设原渝利铁路动车速度为x千米/时，根据题意，可列方程（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•普兰店区期末）随着农业科学技术的发展，农作物的产量有很大幅度的增长，利用同样的土地种植花生，2024年与2014年的花生产量进行比较，得出结果如下表： 1. 2024年每亩地的产量比较2014年多240斤． 2 2014年总产量12000斤，2024年总产量16800斤． 求2014年与2024年花生每亩地的产量．若设2014年每亩地花生的产量是x斤，可列出的方程是（　　） A． B．12000（x+240）＝1680x C． D．12000x＝16800（x+240） 4．（2024•宝安区三模）2023年3月底，G107国道深圳宝安段（下称“107国道”）正式启动先行段的市政化改造．它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%．结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改x千米，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023春•余杭区月考）某班同学假日活动去博物馆参观，博物馆距离学校10千米．一部分同学骑自行车先出发，其余同学20分钟后乘汽车出发，两批同学同时到达．已知乘车速度是骑车速度的2倍，设骑车速度为x km/h，则可列方程 　 　． 6．（2024•当阳市模拟）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 　 　． 7．（2024春•英德市期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是 　 　． 9． （2023秋•西城区期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲3h清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作2.4h清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要xh，则根据题意可列方程为 　 ． 题型九 列分式方程解决实际问题 解题技巧提炼 1、列分式方程解应用题的一般步骤：审题、找等量关系、设未知数、列分式方程、解答、检验、作答． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：路程＝ 速度×时间 ；工作量问题：工作总量＝工作效率×工作时间；商品销售问题：总价= 单价×销量． 1．（2024•绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（　　） A．5km/h B．6km/h C．7km/h D．8km/h 2．（2024•东昌府区校级一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（　　） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 3．（2024秋•东营区期末）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵． 由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植 树 　 　棵． 4．（2024•祁县模拟）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某荻麦标准化种植基地在改良前总产量为12600kg，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为 　 　kg． 5．（2024秋•娄底期中）2020年11月20日，娄底市荣获“第六届全国文明城市”称号．为巩固“国家文明城市”创建成果，共享文明健康美好生活，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．求甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ 6．（2024秋•冷水滩区期中）某淘宝服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，甲种款式共用了7800元，乙种款式共用了6400元，甲种款式的件数是乙种款式件数的1.5倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少30元． （1）甲、乙两种款式的T恤衫各购进了多少件？ （2）该网店在两种服装进价的基础上都提高m%销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，售完后共获利4700元，求m的值． 7．（2024•西峡县二模）为创建宜居环境，某市正在建设若干街心花园，某工程队负责在街心花园种植A、B两种树木，已知A种树木的单价比B种树木的单价贵20元．工程队在第一批购买中，购买A树木花费2400元，购买B树木花费1200元，且所购买A树木的数量是B树木的数量的1.5倍． （1）求第一批购买时，A、B两种树木的单价各是多少元？ （2）工程队计划第二批购买A、B两种树木的总数量是第一批总数量的2倍，此次购买时两种树木的单价没有变化，本次购买预算总费用不超过7200元，A种树苗最多可以购买多少棵？ 8．（2024春•江山市期末）“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． （1）求出鸭头和兔头的单价． （2）某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 知识点一 分式的方程的概念 ◆1、分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． ◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． 知识点二 分式的方程的解法 ◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. ◆2、“去分母法”解分式方程的步骤 （1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2） 解这个整式方程； （3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； （4） 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. ◆3、检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. ◆4、分式方程的增根 增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 知识点三 分式的方程的应用 ◆列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 设出未知数； 3. 找相等关系； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根， 二验是否符合题意)； 7. 作答. 题型一 分式方程的概念 解题技巧提炼 分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 1．（2024秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（　　） A．1 B．x2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1 【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意； C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．（2024秋•普陀区期末）下列方程中，不是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可． 【解答】解：A中方程分母中不含未知数，它不是分式方程； B，C，D中方程符合分式方程的定义，它们是分式方程； 故选：A． 【点评】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2024秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（　　） A． B． C．3x＝x﹣5 D．2x﹣y＝1 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可． 【解答】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意； B．该方程是分式方程，符合题意； C．该方程是一元一次方程，不符合题意； D．该方程是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键． 4．（2024秋•文登区校级期中）已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【分析】根据分式方程的定义进行判断即可． 【解答】解：根据分式方程的定义，②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程， 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的概念，关键掌握分母中含有字母的方程． 5．（2024春•苏家屯区期中）在①x2﹣x，②3＝a+4，③5x＝6，④1中，其中关于x的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【解答】解：①x2﹣x是分式，不是分式方程； ②3＝a+4是关于a的分式方程； ③5x＝6是一元一次方程； ④1是关于x的分式方程， 故关于x的分式方程只有一个． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键． 6．下列方程：①2，②3，③，④5，⑤1＝0中，关于x的分式方程有（填写序号）：　 　． 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：方程①2、②3、③、④5的分母中都不含未知数，不是分式方程， ⑤1＝0的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 【点评】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是解此题的关键． 7．（2024春•新宁县期末）有下列方程：①，②，③（m为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 　 　（填序号）． 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：①方程1的分母中不含有未知数，不是分式方程； ②方程2＝5的分母中含有未知数，是分式方程； ③方程6（m为不等于2的常数）的分母中不含有未知数，不是分式方程； 所以分式方程有②． 故答案为：②． 【点评】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是解此题的关键． 8．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 　 　． 【分析】根据分式方程的概念，直接得出结果即可． 【解答】解：分式方程有：③④⑤， 故答案为3． 【点评】本题考查了分式方程的概念，分母中含有未知数的方程叫分式方程． 题型二 解分式方程 解题技巧提炼 1、解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 2、解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 1．（2024秋•思明区期末）将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘（　　） A．x﹣3 B．x C．3（x﹣3） D．x（x﹣3） 【分析】找出分式方程的最简公分母即可． 【解答】解：将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘x（x﹣3）． 故选：D． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 2．关于x的分式方程1，下列说法正确的是（　　） A．方程的解是x＝m+5 B．m＞﹣5时，方程的解是正数 C．m＜﹣5时，方程的解为负数 D．无法确定 【分析】先按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值讨论m的范围，即可作出判断． 【解答】解：方程两边都乘以x﹣5，去分母得：m＝x﹣5， 解得：x＝m+5， ∴当x﹣5≠0，把x＝m+5代入得：m+5﹣5≠0，即m≠0，方程有解，故选项A错误； 当x＞0且x≠5，即m+5＞0，解得：m＞﹣5，则当m＞﹣5且m≠0时，方程的解为正数，故选项B错误； 当x＜0，即m+5＜0，解得：m＜﹣5，则m＜﹣5时，方程的解为负数，故选项C正确； 显然选项D错误． 故选：C． 【点评】本题在判断方程的解是正数时，容易忽视m≠0的条件． 3．（2024春•南岸区期末）解分式方程的过程如下： 解：方程两边都乘x（x﹣2）， 得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1① 去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1② 解这个方程，得x＝1③ 检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④ 以上解答过程中，开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 方程两边都乘x（x﹣2）， 得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①， 以上解答过程中，开始出错的一步是：①， 故选：A． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 4．（2024秋•昌黎县期中）分式与互为相反数，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：由题意得， 去分母3x+2（1﹣x）＝0， 解得x＝﹣2． 经检验得x＝﹣2是原方程的解． 故选：C． 【点评】本题考查了相反数的意义及解分式方程，记忆解分式方程的步骤是解题关键．结果要检验． 5．（2024•中宁县一模）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：方程两边同乘 　 ， 得x﹣3+2（x﹣2）＝﹣1第一步 去括号，得x﹣3+2x﹣4＝﹣1第二步 移项、合并同类项，得3x＝6第三步 解得，x＝2第四步 则原分式方程的解为x＝2第五步 （1）第一步中横线处应填 　 　，这一步的目的是 　 　，依据是 　 　． （2）小明在反思上述解答过程时，发现缺少了一步，请将其补充完整． 【分析】（1）（2）解分式方程，根据解分式方程的思路和依据得结论． 【解答】解：， （1）方程两边同乘 x﹣2，得x﹣3+2（x﹣2）＝﹣1，第一步 所以第一步横线处应填x﹣2，这一步的目的是：化分式方程为整式方程，依据：等式的性质． 故答案为：（x﹣2），化分式方程为整式方程，等式的性质； （2）方程两边同乘 x﹣2，得x﹣3+2（x﹣2）＝﹣1，去括号，得x﹣3+2x﹣4＝﹣1， 移项、合并同类项，得3x＝6， 解得，x＝2． 经检验，x＝2不是原方程的解． 所以原分式方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键． 6．（2024秋•河北区校级期末）解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5， 解得：x， 检验：把x代入得：2（3x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x； （2）去分母得：（x+2）2﹣x2+4＝16， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0， ∴x＝2是增根，分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 7．（2024秋•潍坊期末）解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）两边都乘以（x+1）（x﹣3）， 得：5（x﹣3）＝3（x+1）， 解得：x＝9， 经检验：x＝9是原分式方程的根， 所以分式方程的解为x＝9； （2）两边都乘以（x+1）（x﹣1）， 得：（x+1）2﹣（x2﹣1）＝4， 解得：x＝1， 经检验：x＝1是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 8．（2024秋•林州市期末）解方程． （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）方程两边乘以（2x﹣1），得： 5﹣3＝2（2x﹣1）， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入（2x﹣1），得：2×1﹣1＝1≠0， ∴分式方程的解是x＝1； （2）方程两边乘以（x+2）（x﹣2），得： x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入（x+2）（x﹣2），得：（2×2）×（2﹣2）＝0， ∴x＝2是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 【点评】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，注意要检验． 题型三 用换元法解分式方程 解题技巧提炼 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 1．（2024秋•青龙县期中）用换元法解方程：3时，若设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A．y2﹣3y+2＝0 B．y2﹣3y﹣2＝0 C．y2+3y+2＝0 D．y2+3y﹣2＝0 【分析】根据换元法，可得答案． 【解答】解：由3时，若设，得y3． 化简，得y2﹣3y+2＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了换元法解分式方程，换元是解题关键． 2．（2024春•金山区期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（　　） A． B． C．y2+3y＝1 D．y2﹣y＝﹣3 【分析】在分式方程中，若设，则，原方程可变为y1，再去分母整理即可． 【解答】解：分式方程中，若设，则，原方程可变为： y1， 两边都乘以y得， y2﹣y+3＝0， 即y2﹣y＝﹣3， 故选：D． 【点评】本题考查换元法解分式方程，理解换元法的意义是正确解答的关键． 3．（2024春•闵行区期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A．2y2+y﹣1＝0 B．y2+2y﹣1＝0 C．y2﹣2y+1＝0 D．2y2﹣y+1＝0 【分析】利用换元法解决问题． 【解答】解：由题意，2y1＝0， ∴2y2+y﹣1＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了换元法解分式方程：用一个字母代替分式方程中某一不变的整体，使原分式方程转化为简单的分式方程或整式方程，从而达到解决原方程的目的． 4．（2024秋•仁寿县校级月考）若，则（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【分析】根据用换元法解分式方程即可． 【解答】解：设a，则a2， 原方程可变形为4a2﹣4a＝﹣1， 所以4a2﹣4a+1＝0， 所以（2a﹣1）2＝0， 解得a， 所以x＝2， 经检验，x＝2是原方程的根． 所以1． 故选：A． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法解分式方程是解题的关键． 5．（2024秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：0． 解：设y，则原方程化为：y0， 方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y1＝2，y2＝﹣2． 经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y0的解． 当y＝2时，2，解得：x＝﹣1； 当y＝﹣2时，2，解得：x． 经检验：x1＝﹣1或x2都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　 ； （2）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　 ； （3）模仿上述换元法解方程：1＝0． 【分析】（1）将所设的y代入原方程即可； （2）将所设的y代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可． 【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为． 故答案为：； （2）将代入方程，则原方程可化为． 故答案为：； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0， 解得：y＝±1， 经检验：y＝±1都是方程的解， 当y＝1时，，该方程无解， 当y＝﹣1时，，解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【点评】本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键． 6．在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题． 老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（）2﹣4（）+4＝0． 学生甲：老师，原方程可整理为4＝0，再去分母，行得通吗？ 老师：很好，当然可以这样做． 再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？ 学生乙：老师，我发现是整体出现的！ 老师：很好，我们把看成一个整体，用y表示，即可设y，那么原方程就变为y2﹣4y+4＝0． 全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y﹣2）2＝0 老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y2﹣4y+4＝0的根是y＝2，那么就有2 学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x＝2，再验根就可以了！ 老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法． 全体同学：OK，换元法真神奇！ 现在，请你用换元法解下列分式方程（组）： （1）（）21＝0； （2）． 【分析】（1）设，则原方程变形为：y2﹣2y+1＝0，求得y的值，继而可得关于x的方程，即可求得x的值； （2）设u，v，将原方程组转化为关于u、v的方程组求得u、v的值，继而可得关于x、y的方程组，解方程组可得． 【解答】解：（1）设，则原方程变形为：y2﹣2y+1＝0， 即（y﹣1）2＝0， 故y＝1， 则：1， 解得：x＝﹣1， 经检验：x＝﹣1是原方程的解． （2）设u，v， 则原方程组化为：， 解得：， 所以， 解得：， 经检验，是原方程组的解． 【点评】本题主要考查换元法解方程或方程组，解方程或方程组是基本技能，要熟练掌握其基本步骤和方法，将合适的整体设为新元是换元法的关键． 题型四 用分式方程的解确定字母的值 解题技巧提炼 把分式方程的解代入到原方程中，得到关于某个字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可. 1．（2024•驻马店二模）若关于x的分式方程的解是2，则m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】将x＝2代入原方程解答即可． 【解答】解：∵关于x的分式方程的解是2， ∴， ∴m＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键． 2．（2024秋•大理州期末）关于x的方程的根为x＝2，则a应取值（　　） A．1 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【分析】根据关于x的方程的根为x＝2，把x＝2代入方程，求出a的值，即可解答． 【解答】解：把x＝2代入方程得：， 在方程两边同乘4（a﹣2）得：4（4a+3）＝5（a﹣2）， 解得：a＝﹣2， 检验：当a＝﹣2时，a﹣x≠0， 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程． 3．（2024•锦江区模拟）若关于x的分式方程的解为x＝3，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程中得：3，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 把x＝3代入方程中得： 3， ∴m+2＝3， 解得：m＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键． 4．（2024秋•天河区校级期末）若关于x的方程的解为x＝1，则a的值是 　 　． 【分析】把x＝1代入关于x的方程 得关于a的分式方程，解方程求出a，然后进行检验即可． 【解答】解：把x＝1代入关于x的方程 得： ， 3（1+a）+a（1﹣a）＝1﹣a2， 3+3a+a﹣a2+a2＝1， 4a+3＝1， 4a＝1﹣3， ， 检验：当时，（1﹣a）（1+a）≠0， ∴是原方程的解， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程解的定义和解分式方程的一般步骤． 5．已知方程的解为x＝2，求的值． 【分析】先把x＝2代入即可得出a的值，再化简，把a的值代入即可得出的值． 【解答】解：把x＝2代入得，a＝3， ∴原式 ， 当a＝3时，原式． 【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式的化简求值，把分式化简是解题的关键． 6．（2024•阜宁县三模）已知关于x的方程的解是x＝2，求关于y的不等式（a﹣5）y＜﹣6的解集． 【分析】把x＝2代入已知的分式方程，可以求得a的值；然后解关于y的不等式即可． 【解答】解：根据题意可得：，解得a＝3， 所以（3﹣5）y＜﹣6， 解得y＞3． 所以，不等式的解集y＞3． 【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题时，首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值． 7．（2024秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2﹣2m的值． 【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算． 【解答】解：， 3（x﹣1）＝2x， 解得x＝3， 检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0， ∴x＝3是此方程的解； 把x＝3代入， 得， 解得m； 把m代入m2﹣2m2． 【点评】本题考查了分式方程解，熟练掌握分式方程解的步骤是解题关键． 8．（2024秋•正定县期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【分析】（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x＝3，代入整式方程计算即可求出a的值． 【解答】解：（1）方程整理得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+5， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入得：x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝1； （2）设原题中“◆”是a， 方程变形得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+a， 由分式方程无解，得到x＝3， 把x＝3代入整式方程得：a＝3． 【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验． 题型五 用分式方程的解确定字母的取值范围 解题技巧提炼 先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根据题中的条件得出关于这个字母的不等式，然后解不等式，从而确定字母的取值范围 ,同时要注意排除增根. 1．（2024秋•新抚区期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围 是（　　） A．m＜2 B．m＜3 C．m＜2且3m≠1 D．m＜3且m≠2 【分析】先银分式方程求得解为x＝m﹣3，再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可． 【解答】解：，m﹣2＝x+1，x＝m﹣3， ∵原方程解为负数， ∴m﹣3＜0， ∴m＜3， ∵x+1≠0， ∴m﹣3+1≠0， ∴m≠2， ∴m＜3且m≠2， 故选：D． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键． 2．（2024春•雁塔区校级期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣5 B．m＞﹣5且m≠﹣1 C．m＞﹣3 D．m＞﹣3且m≠﹣1 【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可． 【解答】解：， m+（x﹣1）＝3（x﹣2）， m+x﹣1＝3x﹣6， m﹣1+6＝3x﹣x， 2x＝m+5， ， ∵分式方程的解为正数，即， ∴m＞﹣5， 又∵使分式方程有意义，x﹣2≠0， ∴， ∴m≠﹣1， 综上：m＞﹣5且m≠﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程，掌握使分式方程解大于零且分式方程有意义是解题的关键． 3．（2024春•莲池区校级期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则实数a的取值范围是（　　） A． B．a C．且a≠4 D．a且a≠﹣4 【分析】表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的范围即可． 【解答】解：去分母得：6x﹣3a＝x﹣2， 解得：x， 由分式方程的解为非负数，得到0，且2， 解得：a且a≠4． 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对分式方程增根的讨论是解题的关键． 4．（2024秋•渝中区校级期中）若整数a使关于x的不等式组有且只有3个 整数解，且使关于y的分式方程的解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和 为（　　） A．8 B．6 C．10 D．7 【分析】分别解不等式组和分式方程，确定a的取值范围，进而求解即可． 【解答】解：不等式组的解集是﹣1≤x， ∵该不等式组有且只有3个整数解， ∴12，解得﹣2＜a≤4． 分式方程1的解是y＝6﹣a（y≠3）， ∵y＜7，即6﹣a＜7，解得a＞﹣1，且a≠3． 综上，﹣1＜a≤4（a为整数），且a≠3， ∴a＝0，1，2，4， ∴0+1+2+4＝7． 故选：D． 【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式组等，熟练掌握它们的解法是本题的关键． 5．（2024春•丰泽区校级月考）关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围是什么？ 【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于a的不等式即可求出答案． 【解答】解：∵， ∴1﹣ax+27＝﹣8（x﹣4）， ∴， ∵且， 解得：a＜8且a≠7． 【点评】本题考查分式方程的应用，解一元一次不等式，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型． 6．（2024秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，求k的取值范围． 【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案． 【解答】解：， 去分母得：k﹣2x+4＝2x， 解得：x， ∵x﹣2≠0， ∴0且2≠0， 解得：k≥﹣4且k≠4． 所以k的取值范围为：k≥﹣4且k≠4． 【点评】本题考查分式方程的解，正确进行分式的计算是解题关键． 7．若关于x的方程的解不小于2，求a的取值范围． 【分析】根据解分式方程，可得关于a的表达式，根据解不等式，可得答案． 【解答】解：两边都乘（x﹣4），得 x﹣3（x﹣4）＝a， 解得x4， 由关于x的方程的解不小于2，得 2， 解得a≤8， a的取值范围是a≤8且a≠4． 【点评】本题考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键． 8．（2024春•埇桥区校级期末）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求a的值； （2）若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x，再列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组，解不等式组，求出答案即可． 【解答】解：（1）， 2x＝3a﹣2（2x﹣2）， 2x＝3a﹣4x+4， 6x＝3a+4， ， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴， 3a+4＝6， 3a＝2， ； （2）∵分式方程的解为非负数， ∴， 由①得：3a+4≥0， 3a≥﹣4， ， 由②得：3a+4≠6， 3a≠2， ， ∴a的取值范围是：且． 【点评】本题主要考查了分式方程的增根，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 题型六 利用分式方程的增根确定字母的取值 解题技巧提炼 1.增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 2.检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 1．（2024秋•新田县期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．0或3 【分析】根据增根的定义可得出x＝3，然后去分母得出：2﹣x﹣m＝2x﹣6，把x＝3代入得，即可得出m的值． 【解答】解：∵分式方程有增根， ∴x＝3， 原方程去分母可得：2﹣x﹣m＝2x﹣6， 把x＝3代入可得：2﹣3﹣m＝6﹣6， 解得：m＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查的主要是分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2．（2024秋•湖南期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．3 D．﹣2 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【解答】解：， 方程两边都乘以x﹣1，得：x﹣3＝m+2（x﹣1）， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 将x＝1代入整式方程，得：1﹣3＝m，即m＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 3．（2024秋•慈利县期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4． 【解答】解：分式方程两边同时乘x﹣4去分母，得 2＝3（x﹣4）﹣m， 由分式方程的最简公分母是x﹣4， ∴分式方程的增根是x＝4． 把x＝4代入2＝3（x﹣4）﹣m， ∴m＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 4．（2024秋•宝塔区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　 ． 【分析】根据题意可得x＝3，然后把x＝3代入整式方程中进行计算即可解答． 【解答】解：， m+4＝3x+2（x﹣3）， 解得：x， ∵分式方程有增根， ∴x＝3， 把x＝3代入x中得： 3， 解得：m＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 5．（2024秋•息县校级期末）若关于x的方程有增根x＝﹣1，则k的值为　 　． 【分析】根据题意先将分式方程化为整式方程，再将增根代入求得k的值即可． 【解答】解：方程两边同乘x（x﹣1）（x+1）， 去分母得x（k﹣1）﹣（x+1）＝（k﹣5）（x﹣1）， 将增根x＝﹣1代入得﹣（k﹣1）﹣（﹣1+1）＝（k﹣5）（﹣1﹣1）， 解得k＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查分式方程的增根，根据题意把分式方程的增根代入整式方程是解题的关键． 6．（2024秋•武冈市期末）关于x的方程：．若这个方程有增根，求a的值． 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可． 【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1， 即（a﹣1）x＝﹣4， 当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0， 解得：x＝1， 将x＝1代入整式方程得：a﹣1＝﹣4， 解得：a＝﹣3， 综上，a的值为﹣3． 【点评】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是确定增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 7．（2024秋•娄星区校级期中）若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【解答】解：方程两边都乘x（x+1），得 x2﹣（m+1）＝（x+1）（x+1） ∵原方程增根为x＝0或x＝﹣1， ∴把x＝0代入整式方程，得m＝﹣2， 把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0． 【点评】本题考查了整式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程． （1）m为何值时，这个方程的解是5？ （2）m为何值时，这个方程有增根？ 【分析】（1）把x＝5代入，然后解关于m的方程即可； （2）去分母化为整式方程，再求出方程有增根时x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【解答】解：（1）∵方程的解是5， ∴把x＝5代入，得 ， 解得m＝3； （2）， 两边都乘以（x﹣3）（x﹣4），得 x（x﹣4）﹣（x﹣3）（x﹣4）＝m， 整理得3x﹣12＝m， ∵方程有增根， ∴x＝3或x＝4， 当x＝3时， m＝3×3﹣12＝﹣3， 当x＝4时， m＝3×4﹣12＝0， ∴m的值为﹣3或0． 【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，熟练掌握当分母等于0时分式方程有增根是解答本题关键． 题型七 利用分式方程的无解确定字母的取值 解题技巧提炼 分式方程的无解有两种情况： 一是分式方程转化为整式方程无解； 二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0. 1．（2024秋•泰山区校级期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．1或 C．﹣1或 D．以上都不是 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【解答】解：， 分式方程两边同乘以（3﹣x）得：﹣x+3a＝2a（3﹣x）， （2a﹣1）x＝3a， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当2a﹣1＝0时，即， 整式方程无解，原分式方程无解， 当2a﹣1≠0时，则， 令最简公分母为0，即x﹣3＝0， 解得x＝3， ∴当，即a＝1时，原分式方程产生增根，无解， 综上所述可得：a＝1或时，原分式方程无解． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是关键． 2．（2024秋•海阳市期中）若分式方程无解，则k的值为（　　） A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 【分析】先去分母，方程两边同时乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出来，然后根据各个选项中的k值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案． 【解答】解：， 去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1， 2x﹣4+1﹣kx＝﹣1， 2x﹣kx＝2， （2﹣k）x＝2， ∵分式方程无解， ∴x﹣2＝0，x＝2， 2﹣k＝0，k＝2， 当k＝1时，原方程为：， 2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1， 2x﹣4+1﹣x+1＝0， x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴k＝1时，原方程无解； 综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法． 3．（2024•洪雅县模拟）若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．4或6 C．4 D．0或4 【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m﹣4＝0时，当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，进行计算即可． 【解答】解：， 方程两边同乘x（2x+1）得：2（2x+1）＝mx， 整理得：（m﹣4）x＝2， ∵原方程无解， ∴当m﹣4＝0时，即m＝4， 当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，此时，， 解得：x＝0或， 当x＝0时，无解， 当时，， 解得：m＝0． 综上，m的值为0或4． 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（2024秋•岱岳区期末）关于x的分式方程无解，则m的值为　 ． 【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，根据方程无解即可判断． 【解答】解：去分母，得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1， 整理，得6x＝m+2， 解得x， ∵方程无解，则x＝1， 1， 解得m＝4． 故答案为：m＝4． 【点评】本题考查了分式方程，正确记忆无解的条件是分母等于0是解题关键． 5．（2024秋•徐汇区校级期中）如果关于x的方程无解，求a的值． 【分析】先去分母得整式方程，由于x的系数含有字母a，需对a进行讨论．再根据方程无解，求出其他a的值． 【解答】解：方程的两边都乘以（x﹣1）（x﹣2），得 x﹣2+a（x﹣1）＝2a+2 整理，得（a+1）x＝3a+4， 当a＝﹣1时，方程无解， 当a≠﹣1时， x 由于x＝1或2时，分式方程无解． 所以当x＝1时，1， 解得，a， 当x＝2时，2， 解得，a＝﹣2， 所以当a＝﹣1或a＝﹣2或a时，分式方程无解． 【点评】本题考查了分式方程的解及分式方程的解法．此题容易只关注无解，而漏掉对含有字母系数的方程讨论． 6．（2024春•肥西县期末）已知关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝1，求m的值； （2）若方程无解，求m的值． 【分析】先去分母，整理得（m+1）x＝﹣5， （1）根据方程有增根，且增根为x＝1，求解即可； （2）根据方程无解，分情况讨论：当x＝﹣2，x＝1，m+1＝0分别求解即可． 【解答】解：去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1， 整理，得（m+1）x＝﹣5， （1）将x＝1代入（m+1）x＝﹣5， 解得m＝﹣6； （2）∵方程无解， 当x＝1时，m＝﹣6； 将x＝﹣2代入（m+1）x＝﹣5， 解得m， 当m+1＝0时，m＝﹣1， ∴满足条件的m的值有或﹣6或﹣1． 【点评】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． 7．（2024秋•冷水滩区期中）已知关于x的方程． （1）当a＝6，b＝1时求分式方程的解； （2）当a＝6时，求b为何值时，分式方程无解． 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，最后不要忘了检验； （2）整理得，（9﹣b）x＝3+b，分两种情形：当整式方程无解时，9﹣b＝0，b＝9，当分式方程产生增根时，增根为x＝0或x＝1，分别求解． 【解答】解：（1）当a＝6，b＝1时，分式方程为， 去分母得：3（x﹣1）+6x＝x+1， 解得：， 经经验是原方程的解； （2）当a＝6时，分式方程为， 去分母得：3（x﹣1）+6x＝bx+b， 整理得，（9﹣b）x＝3+b， （1）当整式方程无解时，9﹣b＝0，b＝9， （2）当分式方程产生增根时，增根为x＝0或x＝1， ①当x＝0时，（9﹣b）×0＝3+b，b＝﹣3， ②当x＝1时，（9﹣b）×1＝3+b，b＝3， 综上所述，当b＝﹣3或3或9时原方程无解． 【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 题型八 根据实际问题列分式方程 解题技巧提炼 分析实际问题中的等量关系，列出方程即可解答． 1．（2024•福田区校级开学）已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶12千米，若设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据甲车的速度为x千米/小时，可以表示出乙车的速度为（x+12）千米/小时，再根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，即可列出相应的分式方程． 【解答】解：甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x+12）千米/小时， 由题意得：， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 2．（2024秋•丰都县期末）渝万高速铁路，即重庆市南岸区至万州区的高速铁路，是国家“八纵八横”高速铁路京昆通道、包（银）海通道和重庆“米”字型高铁网的重要组成部分，是高铁沿江通道的重要补充，渝万高铁项目全长252公里，自重庆东站引出，沿长江向东经南岸、巴南、涪陵、丰都、忠县至万州，沿线设重庆东、涪陵北、丰都北、忠县、万州北等车站，预计2027年4月建成通车．高铁速度是动车速度的1.7倍，建成后，渝万高铁丰都到重庆段距离缩短为120公里（原渝利铁路丰都到重庆的距离为146公里），所用时比原来缩短了30分钟．设原渝利铁路动车速度为x千米/时，根据题意，可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】由高铁速度及动车速度间的关系，可得出高铁速度是1.7x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合建成后所用时比原来缩短了30分钟，可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵高铁速度是动车速度的1.7倍，且原渝利铁路动车速度为x千米/时， ∴高铁速度是1.7x千米/时． 根据题意得：， 即． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2024秋•普兰店区期末）随着农业科学技术的发展，农作物的产量有很大幅度的增长，利用同样的土地种植花生，2024年与2014年的花生产量进行比较，得出结果如下表： 1. 2024年每亩地的产量比较2014年多240斤． 2 2014年总产量12000斤，2024年总产量16800斤． 求2014年与2024年花生每亩地的产量．若设2014年每亩地花生的产量是x斤，可列出的方程是（　　） A． B．12000（x+240）＝1680x C． D．12000x＝16800（x+240） 【分析】根据2024年及2014年每亩地的产量间的关系，可得出2024年每亩地花生的产量是（x+240）斤，利用种植亩数＝总产量÷亩产量，结合种植亩数不变，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵2024年每亩地的产量比较2014年多240斤，且2014年每亩地花生的产量是x斤， ∴2024年每亩地花生的产量是（x+240）斤． 根据题意得：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（2024•宝安区三模）2023年3月底，G107国道深圳宝安段（下称“107国道”）正式启动先行段的市政化改造．它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%．结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改x千米，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设原计划每天整改x千米，得到实际施工时每天整改（1+20%）x千米，由等量关系结果提前5天完成这一任务，即可列出分式方程． 【解答】解：设原计划每天整改x千米，实际施工时每天整改（1+20%）x千米，则： ， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题列分式方程，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键． 5．（2023春•余杭区月考）某班同学假日活动去博物馆参观，博物馆距离学校10千米．一部分同学骑自行车先出发，其余同学20分钟后乘汽车出发，两批同学同时到达．已知乘车速度是骑车速度的2倍，设骑车速度为x km/h，则可列方程 　 　． 【分析】关键描述语：“过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，两批同学同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间﹣乘车同学所用时间． 【解答】解：设骑车速度为x km/h，则乘车速度为2x km/h， 根据题意，列方程得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 6．（2024•当阳市模拟）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 　 　． 【分析】根据题意可知：x株需要6210文，（x﹣1）株的运费＝一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程． 【解答】解：设这批椽的数量为x株， 由题意可得：， 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 7．（2024春•英德市期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是 　 　． 【分析】如果设第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，根据两次人均捐款额相等，可得等量关系为：第一次人均捐款额＝第二次人均捐款额，据此列出方程即可． 【解答】解：设第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，由题意，有 ． 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 8．（2023秋•西城区期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲3h清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作2.4h清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要xh，则根据题意可列方程为 　 ． 【分析】先设乙单独清点这批图书需要的时间是x小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作2.4小时清点完另一半图书”列出方程． 【解答】解：设乙单独清点这批图书需要x小时， 根据题意，得2.4×（）， 故答案为：2.4×（）． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量＝工作效率×工作时间． 题型九 列分式方程解决实际问题 解题技巧提炼 1、列分式方程解应用题的一般步骤：审题、找等量关系、设未知数、列分式方程、解答、检验、作答． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：路程＝ 速度×时间 ；工作量问题：工作总量＝工作效率×工作时间；商品销售问题：总价= 单价×销量． 1．（2024•绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（　　） A．5km/h B．6km/h C．7km/h D．8km/h 【分析】设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为（40+x）km/h，沿江逆流航行的速度为（40﹣x）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合它以该航速沿江顺流航行120km所用时间与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为（40+x）km/h，沿江逆流航行的速度为（40﹣x）km/h， 根据题意得：， 解得：x＝8， ∴江水的流速为8km/h． 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2．（2024•东昌府区校级一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（　　） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 【分析】设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，利用时间＝路程÷速度，结合小敏共用22秒通过AC路段，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒， 依题意得：22， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意， ∴小敏通过AB路段时的速度是1米/秒． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2024秋•东营区期末）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木2000棵． 由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前4天完成任务．则实际每天植 树 　 　棵． 【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成任务，列出分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（1+25%）x中即可求出结论． 【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵， 依题意得：4， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意， ∴（1+25%）x＝125， 即实际每天植树125棵， 故答案为：125． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（2024•祁县模拟）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某荻麦标准化种植基地在改良前总产量为12600kg，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为 　 　kg． 【分析】设改良前的平均亩产量为x kg，则改良后的平均亩产量为1.5x kg，根据改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设改良前的平均亩产量为x kg，则改良后的平均亩产量为1.5x kg， 根挡题意得：， 解得：x＝168， 经检验，x＝168是分式方程的解，且符合题意， 即改良前的平均亩产量为168kg， 故答案为：168． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 5．（2024秋•娄底期中）2020年11月20日，娄底市荣获“第六届全国文明城市”称号．为巩固“国家文明城市”创建成果，共享文明健康美好生活，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．求甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ 【分析】此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题． 【解答】解：根据题意得：， 方程两边同乘以2x，得2x＝30， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解． ∴当x＝15时，2x＝30， 答：单独完成此项工程甲需要15天，乙需要30天． 【点评】本题考查了工程问题，分析题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键． 6．（2024秋•冷水滩区期中）某淘宝服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，甲种款式共用了7800元，乙种款式共用了6400元，甲种款式的件数是乙种款式件数的1.5倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少30元． （1）甲、乙两种款式的T恤衫各购进了多少件？ （2）该网店在两种服装进价的基础上都提高m%销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，售完后共获利4700元，求m的值． 【分析】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据“甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少30元”列出方程，解方程并检验即可得到答案； （2）分别求出甲种款式的T恤衫进价为130元/件，乙种款式T恤衫的进价为160元/件，根据售完后共获利4700元列出方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件， 根据题意得，， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意， 1.5x＝60． 答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件； （2）∵7800÷60＝130（元）， 6400÷40＝160（元）， ∴甲种款式的T恤衫进价为130元/件，乙种款式T恤衫的进价为160元/件， ∴甲种款式的T恤衫获利130m%×60＝78m（元）， 乙种款式的T恤衫获利20×160m%+20×[50%×160（1+m%）﹣160]＝（48m﹣1600）元， 又∵售完后共获利4700元， ∴78m+48m﹣1600＝4700， 解得m＝50． 答：m的值为50． 【点评】此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 7．（2024•西峡县二模）为创建宜居环境，某市正在建设若干街心花园，某工程队负责在街心花园种植A、B两种树木，已知A种树木的单价比B种树木的单价贵20元．工程队在第一批购买中，购买A树木花费2400元，购买B树木花费1200元，且所购买A树木的数量是B树木的数量的1.5倍． （1）求第一批购买时，A、B两种树木的单价各是多少元？ （2）工程队计划第二批购买A、B两种树木的总数量是第一批总数量的2倍，此次购买时两种树木的单价没有变化，本次购买预算总费用不超过7200元，A种树苗最多可以购买多少棵？ 【分析】（1）设第一批购买时，A种树木的单价是x元，则B种树木的单价是（x﹣20）元，根据购买A树木花费2400元，购买B树木花费1200元，且所购买A树木的数量是B树木的数量的1.5倍．列出分式方程，解方程即可； （2）求出第一批购买A种树木的数量和B种树木的数量，得出第二批购买A、B两种树木的总数量为100棵，设A种树苗购买m棵，则B种树苗购买（100﹣m）棵，根据本次购买预算总费用不超过7200元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设第一批购买时，A种树木的单价是x元，则B种树木的单价是（x﹣20）元， 由题意得：1.5， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣20＝80﹣20＝60， 答：第一批购买时，A种树木的单价是80元，B种树木的单价是60元； （2）第一批购买A种树木的数量为30（棵），B种树木的数量为20（棵）， ∴第二批购买A、B两种树木的总数量为2×（30+20）＝100（棵）， 设A种树苗购买m棵，则B种树苗购买（100﹣m）棵， 由题意得：80m+60（100﹣m）≤7200， 解得：m≤60， 答：A种树苗最多可以购买60棵． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 8．（2024春•江山市期末）“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． （1）求出鸭头和兔头的单价． （2）某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 【分析】（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为（23﹣x）元，根据用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鸭头m个，兔头n个，根据某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【解答】解：（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为（23﹣x）元， 由题意得：， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意， ∴23﹣x＝15， 答：鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元； （2）设购买鸭头m个，兔头n个， 由题意得：8m+15n＝320， 整理得：m＝40n， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴有2种购买方案： ①购买鸭头25个，兔头8个； ②购买鸭头10个，兔头16个． 【点评】本题考查了分式方程方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$