精品解析：四川省眉山市县高中2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

四川省眉山市县高中2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】联立计算得到，再代入式子计算得到答案. 【详解】；，解得 故选： 【点睛】本题考查了等差数列的计算，属于简单题. 2. 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？ A. 6斤 B. 7斤 C. 9斤 D. 15斤 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】因为每一尺的重量构成等差数列，，， ， 数列的前5项和为． 即金锤共重15斤， 故选D． 【点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题. 3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列片段和的性质得出、、、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值． 【详解】根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则也成等差数列；又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故选D． 【点睛】本题考查等差数列片段和的性质，再利用片段和的性质时，要注意下标之间的倍数关系，结合性质进行求解，考查运算求解能力，属于中等题． 4. 设等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量解决问题. 【详解】解：设等差数列的公差为，首项为， 因为，， 故有， 解得， ， 故选A. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式，解决问题的关键是熟练运用基本量法. 5. 已知数列的前项和为，且，，则 A. 200 B. 210 C. 400 D. 410 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果． 【详解】由题，，又因为 所以当时，可解的 当时，，与相减得 当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列， 当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列， 所以当为正整数时，， 则 故选B. 【点睛】本题考查的知识点有数列通项公式的求法及应用，等差数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题． 6. 已知数列{an}满足，则数列{an}的最小项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用，构造新数列，求出数列{an}的通项公式，结合通项公式的特点求解最小值. 【详解】因为，所以； 因为所以； ， 以上各式相乘可得， 所以， 由于有最小值，所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累乘法求出通项公式是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 7. 小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、、的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，根据题意求出数列的递推公式，利用递推公式求出数列的通项公式，从而得出的值，可得出结果. 【详解】假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，可这样操作，先将个圆环从木桩全部套到木桩上，至少需要的次数为，然后将最大的圆环从木桩套在木桩上，需要次，在将木桩上个圆环从木桩套到木桩上，至少需要的次数为，所以，，易知. 设，得，对比得， ，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， ，因此，，故选B. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 8. 设数列的前项和为，且，，则数列的前项的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据递推关系证明出数列为等差数列，然后利用等差数列的求和公式，裂项求和的办法进行计算即可. 【详解】由，则，当时，，整理可得：，则，所以是公差为的等差数列，又，所以，根据等差数列的求和公式：，所以，于是数列的前项的和：. 故选：B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式即可判断选项ACD；对于选项B有，所以，将式子化为一元二次函数即可求得最值. 【详解】对于选项A：，故A正确. 对于选项B：因为，所以， 所以， 又因为，，故，解得：，故当时，式子取最小值2.故B错误. 对于选项C：，当且仅当，即时等号成立，又，，所以等号取不到，故选项C错误. 对于选项D：，故选项D正确. 故选：AD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义及集合相等判断各个选项即可． 【详解】解：对于A，， 若，，则，此时不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，或， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，是点的集合，是方程的集合，两者不相等，故C错误； 对于D，或， 故“”是“”的必要不充分条件，D错误． 故选：AB． 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果. 【详解】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确； 对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确； 对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确； 对于，因为，，所以的取值范围为，故正确； 故选：ACD. 二、填空题（每小题5分，共20分） 12. 在等比数列中，已知，则=________________. 【答案】 【解析】 【详解】 13. 数列中，为的前项和，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解． 【详解】因为，所以，又因为 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以由等比数列的求和公式得，解得 【点睛】本题考查利用等比数列的定义求通项公式以及等比数列的求和公式，属于简单题． 14. 若数列是正项数列，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】有已知条件可得出，时，与题中的递推关系式相减即可得出，且当时也成立． 【详解】数列是正项数列，且 所以，即 时 两式相减得， 所以（ ） 当时，适合上式，所以 【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题． 三、解答题 （17题10分，其余各小题12分，共70分） 15. 已知数列满足， （1）证明是等比数列， （2）求数列的前项和 【答案】（1）由得，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以， （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论； （2）由（1）求出，利用分组求和法求． 【详解】（1）略 （2）由（1）知的通项公式为；则 所以 【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题． 16. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)首先根据，得到，，从而列出两个关于公差的不等式，解出公差的取值范围，又是整数，得到的值，最后写出数列的通项公式； (2)由于前3项为正，从第4项开始为负，得到，所以在对数列前项和时要分情况讨论，分为和两种情况，再依次算出的值. 【详解】解：（1）由于，为整数，所以等差数列的公差为整数， 又，所以，，即：，解得， 所以，所以数列的通项公式为. （2）由得：，所以， 当时，； 当时，， 所以； 所以. 【点睛】对于有正负项的等差数列来说，在对其绝对值求和时要注意，要从发生正负改变的哪一项进行分段，再进行分类讨论求出结果. 17. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围． 【答案】 （1）∵，两边取倒数， ∴，即， 又， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出； （2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范围． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴＝， 要使不等式Sn＜对一切恒成立，则． ∴的范围为:． 【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题． 18. 已知数列满足： （1）设数列满足，求的前项和： （2）证明数列是等差数列，并求其通项公式； 【答案】（1） （2）由得：，两式相减整理得： 从而有，相减得： 即 故数列为等差数列，又，故公差 【解析】 【分析】（1）令n=1，即可求出，计算出，利用错位相减求出． （2）利用公式 化简即可得证．再利用，求出公差，即可写出通项公式． 【详解】解：在中，令，得，所以 ，① ，② ①②得 化简得 略 【点睛】本题主要考查利用错位相减法求等差乘等比数列的前n项的和，属于基础题． 19. 在公比不为1的等比数列中，，且依次成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前项和，求证： 【答案】(1) (2) 见证明 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到关于的方程组，解方程组得的值，即得数列的通项公式；（2）先求出，，再利用裂项相消法求，不等式即得证. 【详解】（1）设公比为，，，成等差数列，可得， 即，解得（舍去），或， 又，解得 所以. （2） 故， 得 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，考查等差数列前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省眉山市县高中2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 11 2. 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？ A. 6斤 B. 7斤 C. 9斤 D. 15斤 3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和为，且，，则 A. 200 B. 210 C. 400 D. 410 6. 已知数列{an}满足，则数列{an}的最小项为（ ） A. B. C. D. 7. 小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、、的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为 A. B. C. D. 8. 设数列的前项和为，且，，则数列的前项的和是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. D. “”是“”的充分不必要条件 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 二、填空题（每小题5分，共20分） 12. 在等比数列中，已知，则=________________. 13. 数列中，为的前项和，若，则____． 14. 若数列是正项数列，且，则_______． 三、解答题 （17题10分，其余各小题12分，共70分） 15. 已知数列满足， （1）证明是等比数列， （2）求数列的前项和 16. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围． 18. 已知数列满足： （1）设数列满足，求的前项和： （2）证明数列是等差数列，并求其通项公式； 19. 在公比不为1的等比数列中，，且依次成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前项和，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $