精品解析：河南省郑州市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题卷

郑州市 2024-2025 学年上期期末考试 高二数学试题（附答案） 注意事项: 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分. 考试时间 120 分钟， 满分 150 分. 考生应首先阅读答题卡上的文字信息， 然后在答题卡上作答， 在试题卷上作答无效. 交卷时只交答题卡. 第 I 卷 (选择题， 共 60 分) 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项 中， 只有一个选项是正确的， 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得答案. 【详解】直线化为 所以直线的斜率为， 设直线倾斜角为，则, 因为 所以， 故选：B. 2. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先写成抛物线的标准方程，再求准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为，开口向上，准线方程为. 故选：D. 3. 已知正项等比数列 的前 项和为 254，则 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得首项和公比，即可由求和公式求解. 【详解】由于为正项数列，故，公比， 由可得， 由则，故公比为， 因此，故，解得， 故选：C 4. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线方程求出，从而根据求出离心率. 【详解】化为， 则，因为双曲线 的渐近线方程为 ， 故，故双曲线的离心率为. 故选：D. 5. 在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作图，利用空间向量的线性运算，可得答案. 【详解】根据题意，作图， . 故选：C 6. 数列满足 ，其前项的积为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求数列的周期，再求乘积. 【详解】，，，， 所以数列的周期为4，且， 所以. 故选：A 7. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 8. 在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设，， ，， 因为，所以，即， 所以， 当时，线段的最小值为. 故选：A 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知空间向量 ，则下列结论正确的是（ ） A. 与 共面 B. C. 在上的投影向量为 D. 与夹角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】我们可以利用平面向量的基本定理判断选项A；然后利用向量的坐标运算计算其他选项即可. 【详解】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确； ，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：AD 10. 已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列的最小项为 C. D. 能使时的最大值为15 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再结合单调性及前项和公式逐项判断. 【详解】在等差数列中，由，得， 对于A，，A错误； 对于B，数列是递增数列，前8项均为负，从第9项起为正，则数列的最小项为，B正确； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：BC 11. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若上存在点，使得，则的取值范围为 D. 若为上一点，为左焦点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，即可判断A，根据椭圆方程的形式，以及直线所过定义，即可判断B，将存在点使，转化为以为直径的圆与椭圆有交点，再讨论焦点的位置，即可列式求解，利用椭圆的定义，结合数形结合，转化为三点共线，即可判断D. 【详解】A.若，则，，则的周长为，故A正确； B. 直线恒过定点，若直线与恒有公共点， 则且，故B错误； C. 若上存在点，使得，则， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得， 若椭圆的焦点在轴，则，，解得：， 综上可知，的取值范围为，故C正确； D.，椭圆方程为，，，， 设椭圆的右焦点为，则， 如图，当三点共线，且，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共计 15 分. 12. 已知 ，且 ，则 _____. 【答案】5 【解析】 【分析】由 可得数量积为零，从而可求出的值. 【详解】因为 ，且 ， 所以 ，解得 ， 故答案为： . 13. 一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据入射光线与反射光线所在直线的斜率关系，即可求反射光线所在直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】由条可知入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数， 入射光线的斜率，所以反射光线所在直线的斜率为，且过点， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故答案为： 14. 意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时， 发现有这样一列数: 1， ，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 ， . 后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”. 记 为“斐波那契数列” 的前 项和，若 ，则 _____. (结果用 表示) 【答案】 【解析】 【分析】由题意得当 时， ，据此可证得 ，再结合已知条件可求得结果. 【详解】由题意知 ， 所以 ，则， ， ， ，即 ①， 由题意得当 时， ，则 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ② ， 所以由①②可得 . 故答案为： 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 四、解答题: 本题共 5 小题， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线 : 上. （1）求圆的标准方程; （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 . 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程； （2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，再讨论直线的斜率，代入点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 故圆心的坐标为， 因为圆心在直线上， 所以 因为是圆上两点，所以 ，根据两点间的距离公式，有 ，即 ， 由①②可得 ， 故圆的方程为 ， 【小问2详解】 由(1)知，圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为,则 , 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为3，符合题意; 若直线的斜率存在，设直线的方程为,即, 由题意可得 ，解得， 此时，直线的方程为,即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知抛物线上的点与抛物线焦点的距离为3，点到 轴的距离为 . （1）求抛物线的方程； （2）若点在第一象限，则经过抛物线焦点和点的直线交抛物线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据点与抛物线焦点的距离为3、点到 轴的距离为列出方程组可得答案； （2）联立直线的方程、抛物线的准线方程可得点的纵坐标，再由直线的方程和抛物线联立，可得点的纵坐标，再由点和点的纵坐标相等可得答案. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为：， 由题意可得，整理可得， 所以抛物线为：； 【小问2详解】 由题意可知， 则直线的方程为：①， 抛物线的准线方程是②， 联立① ②可得点的纵坐标为：， 因为焦点的坐标为，故直线的方程为 ③ 把③式和抛物线联立，即，消去得 ， 又因为点的纵坐标为，故可得点的纵坐标为， 点和点的纵坐标相等，于是可得 平行于轴. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，侧棱底面，点在线段上运动. （1）证明: 平面； （2）若平面与平面的夹角为，试确定点的位置. 【答案】（1）证明见解析； （2）点为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，由线面垂直的判定定理证明； （2）设，设点的坐标为，利用空间向量法中两平面的夹角公式可得的值. 【小问1详解】 底面底面， ， 在中，，即， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 依题意得：，， 由（1）可知，平面，所以平面的一个法向量， 由题意可设，设点的坐标为， 则， 即 ， 可得点的坐标为 ， 所以， 设是平面的法向量，则， 即 ，取，则， 所以是平面的一个法向量， 因为平面与平面的夹角为， 所以， 解得，所以点为线段 的中点. 18. 已知数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列. （i）记，求数列的通项公式; （ii）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据和与项的关系结合等比数列的通项公式即可求解； （2）（i）根据题意可得，从而可求； （ii）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，，即. 又 所以数列是1为首项，2为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 （i）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则为新数列的第1项，为新数列的第项， 即，即； （ii）①， ②， ①一②得，， ， ， 所以. 19. 在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，总存在一个点， 满足关系式 ，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆 变换为椭圆； （2）已知曲线经过平面直角坐标系中的伸缩变换 得到的曲线是 ，且与轴有两个交点 (在的左侧)，过点且斜率为 的直线与在轴右侧有两个交点. （i）求的取值范围； （ii） 若直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】（1） （2）（i） ；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入伸缩变换公式，利用待定系数法，即可求解； （2）首先利用伸缩变换公式求曲线的方程，（ⅰ）联立直线与曲线的方程，利用判别式和韦达定理，求得到取值范围；（ⅱ）利用韦达定理表示和，即可求解. 【小问1详解】 将伸缩变换 代入 ， 得到 ，则 ， ， 故所求的伸缩变换为 ； 【小问2详解】 因为经过平面直角坐标系的伸缩变换： 得到的曲线为 ， 故可得的方程为，即， （i） 与轴的两个交点 的坐标分别是， 因为直线过点，斜率为，所以直线的方程为，代入 ， 消去并整理得 ，设， 则， ， 因为与在轴的右侧有两个交点，所以，且 ， 解得或 ， 所以的取值范围是 ； （ii） 证明：由①知 或 ，所以 ， ， ， 所以， 为定值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键1是理解伸缩变换的公式，关键2是利用韦达定理表示交点的特征，以及几何关系，并能正确运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市 2024-2025 学年上期期末考试 高二数学试题（附答案） 注意事项: 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分. 考试时间 120 分钟， 满分 150 分. 考生应首先阅读答题卡上的文字信息， 然后在答题卡上作答， 在试题卷上作答无效. 交卷时只交答题卡. 第 I 卷 (选择题， 共 60 分) 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项 中， 只有一个选项是正确的， 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正项等比数列 的前 项和为 254，则 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，则（ ） A. B. C. D. 6. 数列满足 ，其前项的积为 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 8. 在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知空间向量 ，则下列结论正确的是（ ） A. 与 共面 B. C. 在上的投影向量为 D. 与夹角的余弦值为 10. 已知是公差为的等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列的最小项为 C. D. 能使时的最大值为15 11. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为16 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若上存在点，使得，则的取值范围为 D. 若为上一点，为左焦点，则的最小值为 三、填空题:本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共计 15 分. 12. 已知 ，且 ，则 _____. 13. 一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 14. 意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时， 发现有这样一列数: 1， ，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 ， . 后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”. 记 为“斐波那契数列” 的前 项和，若 ，则 _____. (结果用 表示) 四、解答题: 本题共 5 小题， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线 : 上. （1）求圆的标准方程; （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 16. 已知抛物线上的点与抛物线焦点的距离为3，点到 轴的距离为 . （1）求抛物线的方程； （2）若点在第一象限，则经过抛物线焦点和点的直线交抛物线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，侧棱底面，点在线段上运动. （1）证明: 平面； （2）若平面与平面的夹角为，试确定点的位置. 18. 已知数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列. （i）记，求数列的通项公式; （ii）求数列的前项和. 19. 在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，总存在一个点， 满足关系式 ，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆 变换为椭圆； （2）已知曲线经过平面直角坐标系中的伸缩变换 得到的曲线是 ，且与轴有两个交点 (在的左侧)，过点且斜率为 的直线与在轴右侧有两个交点. （i）求的取值范围； （ii） 若直线的斜率分别为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $