精品解析：广东省揭阳市揭西县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期九年级数学期中检测卷 一、单选题（每小题3分，共10题，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A. B. C. D. 3. 某人在做抛掷硬币试验时，抛掷次，正面朝上的次数为，则正面朝上的频率为．下列说法正确的是（ ） A. 的值一定等于0.5 B. 的值一定不等于0.5 C. 多投一次，的值更接近0.5 D. 抛掷次数逐渐增加，的值稳定在0.5附近 4. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 如图，将长方形纸片折叠，使A落在BC上F处，折痕为BE，若沿EF剪下来，把所折部分展开是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 正方形被对角线分成两个全等的等腰三角形 D. 正方形是轴对称图形 7. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 8. 胶票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6．则此方程正确的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 此方程无解 10. 如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A. 1 B. 1.3 C. 1.5 D. 2 二、填空题（每小题3分，共5题，共15分） 11. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 12. 如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图象扩大为原来的2倍，则点A的对应点的坐标为______． 13. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．如图2，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为为0.4实地测得为2，则井深为________． 14. 如图，点E，F是菱形边的中点，，，则菱形的面积是______． 15. 园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石密铺而成．已知中间的所有正方形的面积之和是平方米，内圈的所有三角形的面积之和是平方米，那么这条小路一共占地________平方米（用含有和的式子表示）． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 17. 在△ABC中， （1）作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O：（保留作图痕迹，请标明字母） （2）连接BO并延长至D，使得，连接DA、DC，证明四边形ABCD是矩形． 18. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为______人． （2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 三、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 20. 如图，已知、分别是四边形对边、上的点，，直线分别交和的延长线于点、． （1）当时，求的值； （2）联结交于点，且，求证：四边形是平行四边形． 21. 综合与实践 主题：正方形卡纸的裁切与拼接． 素材：大小不等的两张正方形卡纸 步骤：将大正方形卡纸和小正方形卡纸按图（）所示的方式摆放（点在上），用圆规在上截取，连接，； 步骤：首先沿虚线，裁切卡纸，然后拼接成一个大正方形． 猜想与证明： （1）与是否全等？并证明你的猜想． 迁移与应用： （2）若大正方形卡纸的边长是小正方形的两倍，将大正方形卡纸对折两次并展开后，按图（2）所示的方式摆放（虚线为折痕）,请你用无刻度的直尺在图（2）中画出两条裁切线，使裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形． 三、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图（1），正方形和正方形，边在边上，，，将正方形绕点逆时针旋转． （1）如图（2），正方形旋转到此位置，求证：； （2）在旋转的过程中，当时，试求的长； （3）的延长线交直线于点，在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． （1）当时，求证：． （2）探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期九年级数学期中检测卷 一、单选题（每小题3分，共10题，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题．设，，，代入求解即可． 【详解】解：， 可以假设，， ． 故选：B． 2. 如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴时，一元二次方程能用公式法求解， 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 3. 某人在做抛掷硬币试验时，抛掷次，正面朝上的次数为，则正面朝上的频率为．下列说法正确的是（ ） A. 的值一定等于0.5 B. 的值一定不等于0.5 C. 多投一次，的值更接近0.5 D. 抛掷次数逐渐增加，的值稳定在0.5附近 【答案】D 【解析】 【分析】 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率． 【详解】解：抛掷硬币试验，正面朝上的概率为： 随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率会逐渐稳定附近 故选：D 【点睛】本题考查用频率估计概率．掌握相关结论是解题关键． 4. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点， ∴． 故选：A． 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 6. 如图，将长方形纸片折叠，使A落在BC上F处，折痕为BE，若沿EF剪下来，把所折部分展开是一个正方形，其数学原理是（ ） A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 正方形被对角线分成两个全等的等腰三角形 D. 正方形是轴对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，可得到BA＝BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形． 【详解】解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处， ∴BA＝BF， ∵折痕为BE，沿EF剪下， ∴四边形ABFE为矩形， ∴四边形ABEF为正方形． 故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的判定定理，关键是根据邻边相等的矩形是正方形和翻折变换解答． 7. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 8. 胶票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，先设原价为a元，可得跌停后的价格，再根据增长两天回到原价列出方程即可． 【详解】解：设原价为a元，则跌停后的价格，根据题意，得 ， 即． 故选：B． 9. 小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6．则此方程正确的解为（ ） A. B. ， C. ， D. 此方程无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小明在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和5； ， 又∵小红写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2和6． ， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、 ，故该选项符合题意； D、由C分析可知，故该选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A. 1 B. 1.3 C. 1.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质，延长至点M，使，连接，易证，即可推出是等边三角形，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至点M，使，连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴． ∵． ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共5题，共15分） 11. 关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得. 12. 如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图象扩大为原来的2倍，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质作图，运用数形结合思想，即可作答． 【详解】解：如图所示： ； ∴， 点A的对应点的坐标为， 或如图所示： ； ∴， 此时点A的对应点的坐标为， 故答案为：或． 13. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．如图2，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为为0.4实地测得为2，则井深为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，能得出是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点E，F是菱形边的中点，，，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握中位线，菱形的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，记的交点为，由点E，F是菱形边的中点，，可得，，，，由，可得，设，则，由勾股定理得，，可求，则，根据菱形的面积是，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵点E，F是菱形边的中点，， ∴，，，， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 15. 园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石密铺而成．已知中间的所有正方形的面积之和是平方米，内圈的所有三角形的面积之和是平方米，那么这条小路一共占地________平方米（用含有和的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，先证明每两个公共顶点处的正方形的内圈三角形的面积于外圈三角形的面积相等，进而可得内圈的所有三角形的面积之和等于外圈的所有三角形的面积之和，据此可得出答案．理解题意，准确识图，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于，过作于，如图所示： 正方形和正方形有公共顶点，为内圈三角形，为外圈三角形， ， 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 同理可证：其它两个公共顶点处正方形的内圈三角形与外圈三角形的面积相等，即每两个公共顶点处正方形的内圈三角形与外圈三角形的面积相等， 内圈的所有三角形的面积之和等与外圈的所有三角形的面积之和， 内圈的所有三角形的面积之和平方米，所有正方形的面积之和为平方米， 外圈的所有三角形的面积之和为平方米， 小路的总面积为平方米， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 17. 在△ABC中， （1）作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O：（保留作图痕迹，请标明字母） （2）连接BO并延长至D，使得，连接DA、DC，证明四边形ABCD是矩形． 【答案】 (1)如图，点O为所作： (2)证明：∵线段AC的垂直平分线， ， ， ， ， ∴四边形ABCD为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到AC的中点O； （2）利用直角三角形斜边上的中线得到，然后根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形可证明四边形ABCD是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线），也考查了矩形的判定． 18. 某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为______人． （2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 【答案】（1）40 （2）；420 （3） 【解析】 【分析】（1）用参加足球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数； （2）用乘以本次抽样调查中参加排球的学生所占的百分比，即可求出扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数；根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中“游泳”对应的百分比，即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人． 故答案为：40． 【小问2详解】 解：参加排球项目的学生人数为（人）． 扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为． 故答案为：． （人． 参加“游泳”的人数大约为420人． 【小问3详解】 解：将两名男生分别记为，，两名女生分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共8种， 到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为． 【点睛】本题考查用列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 三、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）通道的宽是2米 （2）每个车位的月租金应上涨40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形，再根据喷漆面积列出方程求解即可； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，再根据月租金列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 20. 如图，已知、分别是四边形对边、上的点，，直线分别交和的延长线于点、． （1）当时，求的值； （2）联结交于点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即； ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，三角形相似的判定与性质是解题的关键； （1）由平行条件可得，由面积的比等于相似比的平方可求得相似比，从而求得结果； （2）由平行得，得；再由得，从而得，则，故有，从而得；再由已知即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 主题：正方形卡纸的裁切与拼接． 素材：大小不等的两张正方形卡纸 步骤：将大正方形卡纸和小正方形卡纸按图（）所示的方式摆放（点在上），用圆规在上截取，连接，； 步骤：首先沿虚线，裁切卡纸，然后拼接成一个大正方形． 猜想与证明： （1）与是否全等？并证明你的猜想． 迁移与应用： （2）若大正方形卡纸的边长是小正方形的两倍，将大正方形卡纸对折两次并展开后，按图（2）所示的方式摆放（虚线为折痕）,请你用无刻度的直尺在图（2）中画出两条裁切线，使裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形． 【答案】 （1）与全等，证明如下： 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ∵， ， ， ， ， 在与中， ，，， ； （2）如图2所示：   用用无刻度的直尺画出线段，， 再沿，进行裁切，则裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形，理由如下： 由折叠的性质得， 大正方形的边长是小正方形的倍， ∴， ， 根据（1）中的拼图的方法即可将图（2）中裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形． 【解析】 【分析】（1）先证明，，然后再依据“”判定与全等即可； （2）用用无刻度的直尺画出线段，，再沿，进行裁切，则裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，应用与设计作图，图形的剪拼，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 三、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图（1），正方形和正方形，边在边上，，，将正方形绕点逆时针旋转． （1）如图（2），正方形旋转到此位置，求证：； （2）在旋转的过程中，当时，试求的长； （3）的延长线交直线于点，在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）结合正方形的性质证明，由全等三角形的性质可证明； （2）过点作交的延长线于点，结合题意可得，进而可得，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可知，进而解得的长度，再在中由勾股定理解得，的值，即可获得答案； （3）连接，首先证明是等边三角形，是线段的垂直平分线，结合是线段的垂直平分线，易得直线与直线是同一条直线，即点与点重合，设与交于点，解得，的长度，再证明，由全等三角形的性质可证明，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 存在．如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴是线段的垂直平分线，如图， ∵是线段的垂直平分线， ∴直线与直线是同一条直线， ∴点与点重合，即， 设与交于点，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的性质是解题关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． （1）当时，求证：． （2）探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2） （3）时，时，时， 【解析】 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； 【小问3详解】 解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI ， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $