15.2.2 分式的确加减——异分母分式加减法 教学设计2024-2025学年人教版数学八年级上册

备课卡 课题 异分母分式加减法 学习目标 1、通过类比异分母分数加减运算过程，会确定异分母分式的最简公分母，归纳异分母分式的加减法法则，提高运用“转化”、“类比”的思想方法解决问题的能力。 2、结合实际情景问题，体会学习异分母分式加减法则的必要性，能运用异分母分式加减法则解决实际问题，感受数学在生活中的价值。 评价设计 1、类比异分母分数的加减运算过程，得到异分母分式加减运算法则；能够确定几个异分母分式的最简公分母，能准确快速地进行异分母分式的加减运算。 2、能从实际生活情境中得到异分母分式加减法算式，并运用异分母分式加减法法则解决实际问题。 学习进程设计 活动一： 情景导入， 整体感知 学习任务： ①小刚从家到学校的路程是3km，其中包括1km的上坡路和2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h。请问：小刚从家到学校需要花费多长时间？ ②一项工程，如果甲队单独做需要n天完成，乙队单独做要比甲队多用3天，甲每天能比乙多完成这项工程的几分之几？ 问题一：请同学们认真阅读题目，并将你的思路和想法记录在学案上，一会儿我们请同学起来交流。 学生活动 教师活动 学生认真阅读题目，根据题目列出异分母分式相加减的算式 班级交流自己的想法，所得到的算式是什么，如何得到这个算式的 点拨指导：路程问题与工程问题 过渡语：根据刚才的两个情景我们得到这样两个算式，大家观察这两个分式的分母是否相同？（预设：不同）这就是我们这节课要研究的内容——异分母分式加减法。 设计意图： 通过实际生活情景让学生获得异分母分式相加减的算式，体会学习异分母分式加减法则的必要性。 活动二： 复习旧知 学习任务： 1 2 说出同分母分式加减运算法则 学生活动 教师活动 学生集体说出1、2两个问题的答案，回顾同分母分式的加减法法则。 追问1：在上节课中，我们是如何得到同分母分式加减法法则的？我们先回顾了小学阶段学习的什么内容？ 预设：同分母分数的加减运算 追问2：那借鉴上节课的学习经验，大家猜一下这节课我们应该如何研究异分母分式的加减运算？ 预设：类比异分母分数加减 过渡语：那接下来，我们以为例，来回顾异分母分数的加减运算过程。 设计意图： 复习上节课学习的同分母分式加减运算，为后续进行异分母分式加减运算做铺垫。通过类比上节课同分母分式加减运算法则的研究过程，引导学生明了异分母分式加减法则的研究思路。 活动三： 思考交流 学习任务： 1、 2、猜一猜：异分母分式的加减应该如何计算？ 3、试一试： 学生活动 教师活动 学生集体回答，完成问题1，回顾异分母分数加减运算过程。先通分，通分的关键在于找最小公倍数，通分的依据是分数的基本性质。异分母分数通过通分转换为同分母分数，再按照同分母分数的加减法法则进行计算。 学生根据问题一，总结异分母分式的加减应该先通分，转换成同分母分式进行计算。独立完成试一试，并且通过投影展示交流自己的做法。 问题1和问题2之间的过渡语： 根据异分母分数的加减运算过程，请同学们猜一猜异分母分式的加减应该如何计算？并且通过试一试的这道小题来验证大家的猜想。 预设试一试可能找到的公分母： 1、 2、 3、 追问1：同学们虽然找到的公分母不一样，但最终计算结果都相同，大家更喜欢哪一公分母？为什么？ 过渡语：在分式的计算中，我们通常会 选择最简单的公分母，也就是最简公分母，那么该如何寻找最简公分母呢，我们看下面这四个小题。 设计意图： 通过回顾异分母分数的计算过程，使学生内心对于异分母分式的加减计算过程有一个初步的把握。通过试一试问题同学们寻找的不同公分母，对比不同的运算过程，让学生体会最简公分母运算的简便性，进而过渡到下一环节探究确定最简公分母的方法。 活动四： 探究确定最简公分母的方法 学习任务： 1、 2、 3、 4、 学生活动 教师活动 学生先独立思考，尝试寻找四个题目的最简公分母，然后以小组为单位进行交流，总结确定最简公分母的方法。 学生小组交流每道题目的最简公分母以及确定最简公分母的方法。两个小组上台分别交流1、2题和3、4题的最简公分母，以及如何找到最简公分母。 问题1、2：分母为单项式 1 系数：最小公倍数 2 字母：所有 3 指数：最高次幂 问题3、4：分母为多项式 多项式能因式分解要先因式分解 将确定最简公分母的方法整理在课本P32空白处 过渡语：老师发现不少同学在寻找最简公分母的过程中遇到了困难，那么现在大家以小组为单位交流一下，小组交流要完成两个任务。第一，统一一下你们小组每道题目的答案；第二，总结一下你们是如何找到最简公分母的。 教师点拨：寻找最简公分母要从哪几个方面去考虑？ 教师引导学生用简洁的语言概括，并将学生总结的方法板书。 针对问题三： 追问1：为什么他们俩的最简公分母是把这两个分式的分母直接相乘？ 追问2：1/3和1/7通分时为什么把分母直接相乘而1/2和1/4通分不直接相乘？ 预设：分母不含有公因数/公因式 预设问题三和问题四可能出现的问题：将分式乘积展开 追问1：分式计算的结果需要化成什么形式？ 预设：最简分式或整式 追问2：分母写成乘积的形式或是展开，哪种能更加直观看出分子分母是否能继续约分？ 预设：写成乘积的形式 追问3：所以分母是否需要将乘积展开？ 过渡语：大家还记得我们寻找最简公分母的目的是为了干什么吗？（通分）通分的目的是？接下来我们类比异分母分数的加减运算法则，尝试得到异分母分时的运算法则。 设计意图： 通过学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯。让学生自主发现确定最简公分母的方法，加深对于方法的理解，培养学生分析并解决问题的能力。 活动五： 类比出新 学习任务： 1 类比，计算 2 类比异分母分数的加减法法则（异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再按同分母分数的加减法法则进行计算），尝试叙述异分母分式的加减法法则。 学生活动 教师活动 1、学生类比异分母分数加减计算过程，计算异分母分式相加，先通分，找到两个分式的最简公分母，然后转换为同分母分式进行计算。生生之间，师生之间共同参与计算过程，完善计算思路。 2、学生们独立思考，交流通过类比异分母分数加减运算法则所得到的异分母分式加减运算法则，生生交流，互相补充完善。 3、同桌之间互相重复异分母分时加减运算法则，加深记忆。 追问：分式通分的依据是什么？ 教师点拨：在异分母分式计算的过程中，我们用到的类比和转化都是非常常用的数学方法。 过渡语：异分母分式加减计算法则同学们都已经清楚了，那大家能不能灵活应用法则进行计算呢，我们通过这几道题目来试一试。 设计意图： 学生通过类比异分母分数加减计算过程，尝试进行异分母分式的加法计算；类比异分母分数加减法法则，得到异分母分时加减运算法则。在类比的过程中，学生加深了对类比这种常用数学方法的认识，体会到在遇见不熟悉的问题时，可以类比之前学过的东西，尝试进行解决。在进行异分母分式计算的过程中，体会将不熟悉的异分母分式加减转换为熟悉的同分母分式相加减。在这一过程中，提高运用“转化”、“类比”的思想方法解决问题的能力。 活动六： 跟踪评价 学习任务： 跟踪评价1：（1） （2） 跟踪评价2：（1） （2） 跟踪评价3：（1） （2） 学生活动 教师活动 学生独立思考，完成跟踪评价1，上台展示自己的运算过程，其他同学进行批改，指出运算过程中的问题，总结计算中容易出错的点。 学生独立完成跟踪评价2，班级展示时，生生之间，师生之间共同纠错，总结易错点，增加异分母分时加减法的熟练度。 学生先独立思考跟踪评价3，遇到困难可小组交流，集思广益，尝试解决问题。 预设跟踪评价1可能出现的问题： （1） 点拨：分式运算最后得到结果要是什么形式？所以在计算结束后应该检查什么？（分子分母是否含有相同因式，是否能继续约分，结果是否为最简分式或整式） （2） 点拨：结果化成最简分式或整式 追问1：这个题目除了先通分，转换为同分母分式进行计算是否还有别的方法？ 追问2：大家注意观察这个分式本身，他有什么特点？（能自约分） 追问3：能自约分为什么要先自约分？（最终结果不需要再约分，避免出错） 预设跟踪评价2可能出现的问题： （1）0 点拨：分子天然是整体，去括号要变号。 （2）， 教师给学生的解题步骤标上①②③④，提问：大家思考一下在这道题的解题过程中，哪一个环节容易出错？ 预设：去括号没变号，结果不是最简。 预设跟踪评价3可能出现的问题： （1）提问：这道题目是三个异分母分式相加减，如果老师把遮住，该如何做这个题目呢？ 追问：两个异分母分式相加减大家会做，那三个异分母分式相加减该怎么做呢？大家回想一下小学阶段，当三个异分母分数相加减的时候，我们如何进行计算的？比如？ （2）提问：解决这个问题的关键是什么？（把看作，然后与通分，进行计算） 过渡语：学习到现在，无论是同分母分式的加减运算还是异分母分式的加减运算法则，大家都已经比较熟练了，那么现在大家先独立思考半分钟，然后一起填写分式加减运算的程序框图。 设计意图： 通过设置三组有梯度的练习题，使得学生由易到难，逐步加深对于异分母分式加减法则的理解以及应用的熟练度。通过班级展示、生生之间以及师生之间共同纠结等活动，总结计算过程中容易出现的问题，以便于在以后的练习中避免出现同样的问题。 活动七： 完成分式加减运算的程序框图 学习任务： 学生活动 教师活动 独立思考半分钟，然后集体梳理并填写分式加减的运算程序框图。 过渡语：到这里分式加减运算的法则我们全部学完了，大家还记得这节课的开头我们还有一个问题没有解决吗？ 设计意图： 通过分式运算的程序框图，让学生将同分母分式和异分母分式的加减整合成一个大的框架，形成体系，避免出现学到的知识如同一滩散沙的局面。 活动八： 归纳总结 学习任务： 学生活动 教师活动 捋顺本节课的研究思路 提问：到这节课为止，我们都学习了分式的哪些运算？ 追问：当我们将分式的乘除、加减、乘方运算都摆在我们面前，大家猜一猜我们接下来要学习什么？ 设计意图： 通过流程图，梳理本节课的研究思路。通过提问引导学生回顾本章节所学习的分式的运算，与前几节的知识建立联系，同时引导学生说出下节课要学习的混合运算的内容，为后续学习做铺垫，同时让学生对于本章的知识形成一个整体的框架，既见树木，又见森林。 活动九： 课堂小结 学习任务： 通过这节课的学习，你有哪些收获？（知识点，感受体会，数学思想方法） 你还有哪些疑惑，说出来大家一起帮你解决。 学生活动 教师活动 学生回顾本节课的知识、思想方法 追问：我们这节课是如何得到异分母分式加减法法则的？ 设计意图： 师生互动，锻炼学生的口语表达能力以及梳理知识的能力。追问引导学生思考本节课用到的类比的数学思想。 学习进程设计结束 课堂检测 （1） （2） 作业设计 A类：同步练习册分式加减法第二课时问题引学、典例导学、精炼固学部分 B类：同步练习册分式加减法第二课时拓展提高部分 板书设计 教学反思 1、在点评学生加减运算步骤时，应该规范计算步骤，强调不要跳步，先通分，转换为同分母分式，然后分母不变，分子相加减，对于学生计算题的步骤要求要细化。 2、教师引导提示的话较多，要给学生留有余地。比如在题目展示环节，可以让学生上台讲解题目，其他学生补充，提高学生的课堂参与度。 3、应该将学生解题过程中的常见错误总结并板书，强化学生避免犯同类型错误的意识。 4、问题比较碎，需要课前仔细琢磨整合。 学科网（北京）股份有限公司 $$