精品解析：山东省济南市2024-2025学年上学期九年级期末数学试题

2024~2025学年第一学期九年级期末教学质量检测 数学试题（LX2025.1） 本试卷共8页，满分150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若锐角A满足，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 7. 小芳和小颖分别从“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三处景点中随机选择一处游玩，则两人恰好选中同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 函数图象与轴的交点坐标是 D. 当时，的值随的值的增大而减小 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 定义：当一个点的坐标满足纵坐标是横坐标的2倍时，称这个点为“双喜点”．若二次函数（，，为常数，且）图象上有且只有一个“双喜点”，当时，函数的最大值为2，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案. 11. 已知，则_______． 12. 如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的值为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 14. 如图，四边形是平行四边形，点的坐标为，点和点在第一象限，反比例函数的图象经过点和点，若点的横坐标为4，则的值为________．． 15. 如图，在矩形纸片中，，为边上一点，，连接，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的中点处，则______． 三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 计算：． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：． 19. 如图1，在一个坡角（）为的斜坡上有一棵大树（与地面垂直），从斜坡底端点处测得大树顶端的仰角（）为，． （1）求大树的高度； （2）如图2，某时刻太阳光线与水平线夹角为，大树在阳光下的影子落在斜坡上，求影子的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，） 20. 在一个不透明的口袋里装有红色、蓝色、白色三种小球，这些小球除颜色外都相同，其中红球有1个，蓝球有2个．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，大量重复试验后，发现蓝球出现的频率稳定在附近． （1）口袋中白球的数量为______个； （2）小明和小颖玩摸球游戏，规则如下：两人同时从口袋中各摸出1个小球，若两人摸出的小球颜色相同，则小明获胜；若两人摸出的小球颜色可配成紫色（红色和蓝色可配成紫色），则小颖获胜．请用表格或树状图分析游戏是否公平，若不公平，规则对谁更加有利？ 21. 如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为点，． （1）求证：； （2）求的周长． 22. 某商场销售某种商品，其进价为50元/件，调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足关系，设销售这种商品每天的利润为（元）．（利润单件利润销售量） （1）填空：单件利润_______元（用含的代数式表示），与之间的函数关系式为________； （2）该商场要想通过销售这种商品每天获利600元，又确保顾客得到实惠，应将销售单价定为多少元？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时取值范围； （3）连接，是轴上的点，若，求点的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，矩形顶点，分别在轴，轴上，．抛物线与轴交于，两点． （1）如图1，若抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）如图2，在（1）条件下，连接，为线段上一点，连接，若，请判断和是否相等，并说明理由； （3）若抛物线的顶点为，取的中点，则以，，为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期九年级期末教学质量检测 数学试题（LX2025.1） 本试卷共8页，满分150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料.如图，是某种型号的“月壤砖”的示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线． 故选：B． 2. 若锐角A满足，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，直接求解满足条件的锐角． 【详解】解：已知锐角满足， ∴． 故选：A． 3. 如图，已知，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．利用三角形内角和定理求出，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解决本题的关键是利用三角形的面积求出，再根据反比例函数的解析式可得：，从而可求结果． 【详解】解：设点的坐标为， 点在第一象限， ，， ， ， 又点是反比例函数图象上的一点， ．   故选：D ． 5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 7. 小芳和小颖分别从“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三处景点中随机选择一处游玩，则两人恰好选中同一景点概率是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选中同一景点的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：将“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三看着A，B，C；画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴两人恰好选中同一景点的概率， 故选：B． 8. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 函数图象与轴的交点坐标是 D. 当时，的值随的值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的顶点式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断． 【详解】解：∵二次函数中， ∴二次函数的图象开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∴对称轴是直线，顶点坐标是，故B选项错误，不符合题意； ∴函数有最高点，当时，的值随的值的增大而减小，故D选项正确，符合题意； 令中的解得：，故函数图象与轴的交点坐标是，故C选项错误，不符合题意； 故选：D． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断a，b的正负，进而判断的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答案． 【详解】解：A，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； B，由一次函数图象在第二、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第一、三象限，而不是第二、四象限，不合题意； C，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，符合题意； D，由一次函数图象在第一、二、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； 故选C． 10. 定义：当一个点的坐标满足纵坐标是横坐标的2倍时，称这个点为“双喜点”．若二次函数（，，为常数，且）图象上有且只有一个“双喜点”，当时，函数的最大值为2，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据新定义可得，可得，，可得抛物线为，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵纵坐标是横坐标的2倍的点在直线上， ∴点一定在直线上， 又∵点在二次函数的图象上， ∴，即， ∴是方程的两个相等的实数根， 即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴抛物线为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∵当时，函数的最大值为2， ∴当时，函数取最大值， ∴， 此时， 当时， 当或，函数取得最大值， ∴，或， 此时； 综上或； 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案. 11. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，由条件可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 12. 如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是求解锐角的正切，根据正切的含义可得． 详解】解：如图，标注格点，则， 由图可得：，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为2，根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是， ∴相似比为， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，四边形是平行四边形，点的坐标为，点和点在第一象限，反比例函数的图象经过点和点，若点的横坐标为4，则的值为________．． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，平行四边形的性质，根据反比例函数的性质可得，结合平行四边形与平移的性质可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点，点的横坐标为4， ∴， ∵四边形是平行四边形，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， 故答案为：12． 15. 如图，在矩形纸片中，，为边上一点，，连接，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的中点处，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，设，可得，，结合为的中点，可得，可得：，如图，过作于，作于，可得，，设，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴，， ∵，设， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， 如图，过作于，作于， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值、负整数指数幂、算术平方根、特殊角三角函数值，熟练掌握法则是关键，熟练记忆特殊角锐角三角函数值是关键． 【详解】解： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法是解本题的关键． （1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）先计算，再利用求根公式解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，通过菱形的性质证明，从而证明得到是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 19. 如图1，在一个坡角（）为的斜坡上有一棵大树（与地面垂直），从斜坡底端点处测得大树顶端的仰角（）为，． （1）求大树的高度； （2）如图2，某时刻太阳光线与水平线的夹角为，大树在阳光下的影子落在斜坡上，求影子的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2）影子的长度为 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是添加适当的辅助线； （1）将问题转化为证明是等腰三角形即可； （2）设，由（1）中得结论，得出，，，在中进行求解即可． 【小问1详解】 解：，一棵大树与地面垂直，如下图： ， 从斜坡底端点处测得大树顶端的仰角， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：某时刻太阳光线与水平线的夹角为，如下图： ，由（1）知，则， 设，则，，， ， 又， 解得：， 影子的长度为． 20. 在一个不透明的口袋里装有红色、蓝色、白色三种小球，这些小球除颜色外都相同，其中红球有1个，蓝球有2个．从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，大量重复试验后，发现蓝球出现的频率稳定在附近． （1）口袋中白球的数量为______个； （2）小明和小颖玩摸球游戏，规则如下：两人同时从口袋中各摸出1个小球，若两人摸出的小球颜色相同，则小明获胜；若两人摸出的小球颜色可配成紫色（红色和蓝色可配成紫色），则小颖获胜．请用表格或树状图分析游戏是否公平，若不公平，规则对谁更加有利？ 【答案】（1）1 （2）不公平，规则对小颖更加有利，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了由概率求数量问题，利用树状图求概率， （1）设白球的数量为个，根据概率建立等式求解即可； （2）利用树状图求出两位分别获胜的概率，比较大小，来判断游戏是否公平 【小问1详解】 解：红球有1个，蓝球有2个．从口袋中随机摸出一个小球， 记下颜色后放回，大量重复试验后，发现蓝球出现的频率稳定在附近， 设白球的数量为个， 则， 解得：， 故口袋中白球的数量为1个， 故答案为：1． 【小问2详解】 解：设白球，红球，篮球，分别为，作树状图如下： 一共有12中情况，两人同时从口袋中各摸出1个小球，两人摸出的小球颜色相同有2种情况，小明获胜的概率为； 两人摸出的小球颜色可配成紫色有4种情况，小颖获胜的概率为， 游戏不公平， ， 规则对小颖更加有利． 21. 如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为点，． （1）求证：； （2）求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）18 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，因为点F在的延长线上，所以，则； （2）由，得，而，所以，则，因为，所以，由于点H，得，则，由相似三角形的性质得，则，，即可求得的周长为18． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点F在的延长线上， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，于点H，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为18． 22. 某商场销售某种商品，其进价为50元/件，调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足关系，设销售这种商品每天的利润为（元）．（利润单件利润销售量） （1）填空：单件利润_______元（用含的代数式表示），与之间的函数关系式为________； （2）该商场要想通过销售这种商品每天获利600元，又确保顾客得到实惠，应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）； （2）应将销售单价定为60元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）用售价减去进价即可得到每件商品的利润；用每件商品的利润乘以销售量即可得到每日的利润； （2）令（1）所得的w等于600，即可得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，单价利润为元， 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵要确保顾客得到实惠， ∴， 答：应将销售单价定为60元． 23. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，是轴上的点，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法先求解，再求解，再求解一次函数的解析式即可； （2）直接利用函数图象求解即可； （3）如图，作，交轴于，过作轴于，作交于，则，作轴于，证明，进一步可得，结合一次函数的性质可得，过作轴于，同理可得：，，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数得，， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的横坐标为． ∴ 将A、B的坐标代入得 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可知：当或时，． 【小问3详解】 解：如图，作，交轴于，过作轴于，作交于，则，作轴于， ∴，， ∴， ∴，而， ∴，， ∴， ∵， 同理可得：的解析式为， 当时，， ∴， 过作轴于， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用图象解不等式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，．抛物线与轴交于，两点． （1）如图1，若抛物线经过点，求抛物线的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，为线段上一点，连接，若，请判断和是否相等，并说明理由； （3）若抛物线的顶点为，取的中点，则以，，为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）和相等，理由见解析 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质先求解C的坐标，再结合A的坐标，利用待定系数法求解解析式即可； （2）如图，连接，求解，结合，，设，可得，，从而可得答案； （3）先求解，可得，，可得，，，再分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，， ∴， ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，， ∴，， ∴， ∵，，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴和相等； 【小问3详解】 解：∵抛物线与轴交于， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∴顶点为， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， 如图，当时，则为直角三角形； ∴， 解得：或； 当时，则为直角三角形；如图， ∴， 解得：； 当时，则为直角三角形； ∴， 整理得：， ∴， ∴该方程无解； 综上：为直角三角形，则或或或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题，直角三角形问题，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得①的答案，根据等腰三角形的性质可得②的答案； （2）如图，过作，交于，可得，，，证明，可得，进一步可得结论； （3）如图，连接，，，求解，可得，，，，，当最小时，即最小；结合，当共线时，，此时最小，由（2）的结论可得：平分，而平分，再进一步可得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ① ，， 平分 ② ． （2）如图，过作，交于， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）如图，连接，，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为中点，正方形边长为9， ∴，，，， ∴最小时，即最小； ∵，当共线时，，此时最小， ∵， 由（2）的结论可得：平分，而平分， ∴， ∵， ∴， 而， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线分线段成比例，正方形的性质，三角形的三边关系的应用，理解题意，确定最小值时的位置是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $