精品解析：山东省临沂市2024-2025学年高二上学期期末学科素养水平监测数学试卷

临沂市2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.1 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知数列为等比数列，若，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 4. 已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，若，则（ ） A 24 B. 28 C. 32 D. 36 7. 已知圆与圆交于，两点，当弦最长时，实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（ ） A. 椭圆的长轴长为3 B. 椭圆的离心率为 C. 最大值为5 D. 存在点，使得 10. 已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（ ） A. 存在圆心在上的圆与相内切 B. 四边形面积的最小值为 C. 最小值是 D. 点关于的对称点在内 11. 如图，该几何体是四分之一圆柱体（点，分别是上、下底面圆的圆心），四边形是正方形，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得直线∥平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的焦点坐标是______. 13. 若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为_____. 14. 已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆：，点. （1）若直线与相切，切点为，求； （2）已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程. 16. 已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. （1）求的方程； （2）直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 17. 已知等差数列满足，的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 若为平面的一条斜线，为斜足，为在平面内的射影，为平面内的一条直线，其中为与所成的角，为与所成的角，为与所成的角，那么，简称三余弦定理.如图，直三棱柱中，，，（）. （1）求的余弦值； （2）当点到平面距离最大时，求的值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的大小. 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. （1）求的方程； （2）已知点 （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂市2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.1 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与平行，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系即可求解. 详解】由于直线与平行， 故，解得， 故选：D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量，，共面，A不是； 对于B，，向量，，共面，B不是； 对于C，假定向量，，共面，则，而不共面， 于是，无解，因此向量，，不共面，C是. 对于D，，向量，，共面，D不是. 3. 已知数列为等比数列，若，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出. 【详解】设等比数列公比为，，而，，则，解得， 所以. 故选：B 4. 已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由离心率求出，进而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 而曲线的渐近线方程为，即， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】空间向量，，则， 所以在上的投影向量为. 故选：A 6. 在等差数列中，若，则（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的通项公式列式化简求解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 则，所以. 故选：D 7. 已知圆与圆交于，两点，当弦最长时，实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆的圆心及半径，再求出公共弦所在的直线方程，进而求出弦长最长时的值. 【详解】圆的圆心，半径， 显然原点在圆内，又在圆内， 因此两圆必相交，直线方程为，而弦最大值为6， 即为圆的直径，此时直线过点， 则，所以. 故选：C. 8. 已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、、、的等式组，消去、可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，、、， 则，，， 因为、、、四点共面，设， 即， 可得，消去、可得，即， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（ ） A. 椭圆的长轴长为3 B. 椭圆的离心率为 C. 的最大值为5 D. 存在点，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的长轴长为6，A错误； 对于B，椭圆的离心率为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，以线段为直径的圆在椭圆内，因此不存在点，使得，D错误. 故选：BC. 10. 已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（ ） A. 存在圆心在上的圆与相内切 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最小值是 D. 点关于的对称点在内 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两圆内切的条件判断A；借助切线长定理求出面积最小值判断B；求出时对应弦长判断C；求出点关于直线的对称点到圆心距离判断D. 【详解】圆：的圆心，半径 对于A，在直线上取点，，点在圆外， 以点为圆心，为半径的圆与圆相内切，A正确； 对于B，四边形面积， 点到直线的距离，则，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，由，得， 解得，C错误； 对于D，点到直线的距离为，点与点的距离为5， 点与圆心确定的直线斜率为，而直线的斜率为， 即点与确定的直线垂直于，因此点关于的对称点到点的距离为， 则点关于的对称点在内，D正确. 故选：ABD 11. 如图，该几何体是四分之一圆柱体（点，分别是上、下底面圆的圆心），四边形是正方形，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得直线∥平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建系标点，对于A：利用空间向量说明线线垂直；对于B：利用空间向量说明线面平行；对于C：利用空间向量说明线面垂直；对于D：利用空间向量求线面夹角. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设， 对于选项A：因为， 令， 可得，显然该方程无解， 所以不存在点，使得，故A错误； 对于选项B：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若直线平面， 则，可得， 且，则，即， 所以存在点，使得直线∥平面，故B正确； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若平面平面， 则， 显然时，上式成立， 所以存在点，使得平面平面，故C正确； 对于选项D：设直线与平面的所成角为， 若，则， 可得：， 整理可得， 构建， 因为在内连续不断，且， 可知在内有零点，即在内有根， 所以存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于方程根的问题，应构建函数，结合零点存在性定理分析判断，不能强解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且， 所以焦点坐标为， 故答案为：. 13. 若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为_____. 【答案】72 【解析】 【分析】根据给定的定义，求出以数列首项开始的每4项为一组的和，再求出前4 组和的和即可. 【详解】依题意，， ， ， ， 所以的前16项和为. 故答案为：72 14. 已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得是正三角形，且是其中心，再用半焦距c表示出点坐标，代入双曲线方程求出离心率. 【详解】轴，令垂足为，由双曲线的对称性知，则是正三角形， 又，，则是的中心，， 而，则，点在双曲线， 因此，即，整理得，即， 解得，所以的离心率 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设条件，结合双曲线对称性确定出正三角形是求解问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆：，点. （1）若直线与相切，切点为，求； （2）已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质，结合勾股定理计算即得. （2）根据给定条件，把问题转化为圆心到直线距离为1，再列式计算得解. 【小问1详解】 圆：的圆心，半径，， 由直线与相切于点，得. 【小问2详解】 要圆上恰有三个点到的距离都等于1，当且仅当圆心到直线的距离为1， 而点在圆外，直线与圆相离，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，由，解得或， 所以直线的方程为或. 16. 已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. （1）求的方程； （2）直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析，定点为 【解析】 【分析】（1）由抛物线中的最小值为1，所以，即，即可得到方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，由得到，即可求得结果. 【小问1详解】 因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 17. 已知等差数列满足，的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量计算可求解公差和首项，即可求解， （2）根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解，即可由分组求解. 小问1详解】 设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故， 【小问2详解】 ， 故， 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故 18. 若为平面的一条斜线，为斜足，为在平面内的射影，为平面内的一条直线，其中为与所成的角，为与所成的角，为与所成的角，那么，简称三余弦定理.如图，直三棱柱中，，，（）. （1）求的余弦值； （2）当点到平面距离最大时，求的值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三余弦定理即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点到平面的距离公式求解距离表达式，结合二次函数的性质即可求解最值得解， （3）求解平面法向量，根据法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中， 又，由三余弦定理可得 故 小问2详解】 由（1）知，, 在中，由余弦定理可得, 在直三棱柱中，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 为平面的一个法向量， 由，即, 令，则， 故点到平面距离为, 故时，此时点到平面距离最大，且最大值为， 故点到平面距离最大时， 【小问3详解】 由（2）知：当时，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 则， ，即, 取，则， 故 故平面与平面夹角的余弦值为， 故平面与平面的夹角大小为 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. （1）求的方程； （2）已知点. （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合面积公式以及斜率公式联立方程求解即可， （2）对讨论，联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据模长公式代入求解（ⅰ），根据韦达定理以及两点斜率公式，代入化简即可求解（ⅱ）. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆方程为 【小问2详解】 （ⅰ）当直线与轴重合时，点则， 所以， 当直线与轴不重合时，设， 联立，则， 由得， 设，则 所以 由于，故同号，因此， 故 ， 此时， 综上可得的最大值为 （ⅱ）由于,设， 当直线与轴重合时，，符合题意， 当直线与轴不重合时，设 联立，则， 则 而 ， 即，故， 综上可得, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $