精品解析：安徽省安庆市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024－2025学年度第一学期期末综合素质调研 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在平面直角坐标系中，点P（－3，2）所在象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案． 【详解】第二象限内点横坐标为负，纵坐标为正，故点（−3，2）所在的象限在第二象限． 故选B． 【点睛】此题主要考查了点坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键． 2. 已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系定理是解答的关键．根据三角形的三边关系得出，解答即可． 【详解】解：由题意可得， 解得，， 所以，x为12、13、14，这样的三角形个数为3个， 故选：B． 3. 已知关于的一次函数的图象经过点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得出k2+3＞0,利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大,再结合2＞-3即可得出m＞n． 【详解】解:∵k2≥0, ∴k2+3＞0, ∴y随x的增大而增大． 又∵2＞-3, ∴m＞n． 故选:C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质,牢记“k＞0,y随x的增大而增大；k＜0,y随x的增大而减小”是解题的关键． 4. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 有两边及一对角对应相等的两三角形全等 C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形成轴对称 D. 若在中，满足，那么是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据三角形的外角的性质，三角形形状的判定方法，全等三角形的判定一一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角大于它的任何一个内角，错误，应该是三角形的外角大于它的任何一个和它不相邻的内角，本选项不符合题意； B、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，错误，应该是有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意； C、如果两个三角形全等，那么这两个三角形成轴对称，错误，本选项不符合题意； D、在中，满足，则，所以是直角三角形，命题正确，本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角的性质；连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角可得，最后在中，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故选：A． 6. 有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝α，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，所剪下的三角形纸片不一定是全等图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意； B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意； C、如图1， ∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝α+∠FEC，∠B＝∠C＝α， ∴∠FEC＝∠BDE， ∵BD＝CE＝3是对应边， 由AAS判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意； D、如图2， ∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝α+∠FEC，∠B＝∠C＝α， ∴∠FEC＝∠BDE， 所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键． 7. 一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ） A. 70° B. 120° C. 125° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数． 【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE， ∴点O是三角形三条角平分线的交点， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键． 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点、点是两个格点，如果点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（　　） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】当是等腰的底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线上的格点都可以作为点，当等腰的腰时，根据网格结构，找出一个小正方形与、顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，即可求解． 【详解】解：当是等腰的底边时，符合条件的点有、、、，共4个； 当是等腰的腰时，符合条件的点有、、、，共4个，如图： ∴点的个数是8个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质等，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 10. 如图，在矩形中，，，点是边上靠近点的三等分点，动点从点出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点的位置的不同分三段列式求出与的关系式是解题的关键． 求出的长，然后分①点在上时，利用三角形的面积公式列式得到与的函数关系；②点在上时，根据列式整理得到与的关系式；③点在上时，利用三角形的面积公式列式得到与的关系式，然后根据图象选择答案即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上靠近点的三等分点， ∴， ①点在上时，的面积， ②点在上时，， ， ， ， ∴， ③点在上时，， ∴， ∵根据三个一次函数解析式的不同，可以判断图象应为三条线段， ∴排除和， ∵和中， ∴，的直线更陡， ∴排除， 故选：． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】x≤4且x≠2 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0． 解得x≤4且x≠2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键． 12. 将直线平移后经过点，则平移后的直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移、求函数的解析式，熟练掌握直线平移时的值不变是解题的关键．根据直线平移不改变的值，可设平移后的直线解析式为，再代入到解析式求出的值即可得出答案． 【详解】解：设平移后的直线解析式为， 代入得，， 解得：， 平移后的直线解析式为． 故答案为：． 13. 如图， 在中，， ， 点的坐标为，点的坐标为 ， 则点的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形，证，得，，则，即可得出结论． 【详解】解：如图，过A作轴于点E，过B作轴于点F， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，点P在内部，点M，N分别是边上的动点，点M，N不与点O重合． （1）若将点P在的内部移动位置，使平分，当，时，的长等于 _____； （2）若，随着点M，N位置的变动，当周长最小时，点O到直线的距离等于 _____．（用含a的代数式表示） 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短线路问题、平行线性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，作辅助线找到M，N的位置是解题的关键． （1）如图：平分，当，，得到，根据等腰三角形的判定即可解答． （2）如图：作P关于的对称点C，D，连结，交于M，N两点，作于E．此时当周长最小时，，可求垂线段的长即可． 【详解】解：（1）如图：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． （2）如图：作P关于的对称点C，D，连结，交于M，N两点，作于E． ∴， ∴周长， 假设随着点M，N位置的变动，不在CD上时，， ∴周长的最小值=CD． ∵作P关于的对称点C，D， ∴垂直平分， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点O到直线MN的距离等于． 故答案为：． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知：y-2与x−3成正比例，且x=4时y=8. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当y=-6时，求x的值. 【答案】（1）y=6x-16；（2）x=. 【解析】 【分析】（1）根据y-2与x−3成正比例设y与x之间的函数关系式为y-2=k(x-3)，把x=4时y=8代入可求出k的值，整理即可得答案；（2）把y=-6代入（1）中所求得关系式，求出x的值即可. 【详解】（1）∵y-2与x−3成正比例， ∴设y-2=k(x−3)成正比例， ∵x=4时y=8， ∴k(4-3)=8-2， 解得：k=6， ∴y-2=6(x-3)， 整理得：y=6x-16， ∴y与x之间的函数关系式为y=6x-16. （2）由（1）知y与x之间的函数关系式为y=6x-16. ∴当y=-6时，6x-16=-6， 解得：x=. 【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 16. 如图，已知，，，与交于点O，求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，和是两个直角三角形，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°， （1）用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法) ①作∠BAC的平分线交BC于点D；②过点A作△ABC中BC边上的高AE，垂足为点E； （2）在（1）的基础上，求∠DAE的度数． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）15° 【解析】 【分析】（1）①利用尺规，以点A为圆心，任意长为半径左弧，交AB、AC于两点M、N，以M、N为圆心，大于为半径作圆交于点P，作射线AP，交BC于点D即可； ②以点A为圆心，作弧交BC于G、H，分别以G、H为圆心，大于作弧，交于点O，做射线AO，交BC于点E，AE即为三角形所求高． （2）求出∠CAD，∠CAE，再根据角的和差定义求解即可． 【小问1详解】 解：①线段AD即为所求；②如图，线段AE即为所求． 【小问2详解】 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=， ∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°， ∴∠CAD=55°， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE=90°-∠C=20°， ∴∠DAE=35°-20°=15°． 【点睛】本题考查作图复杂作图，三角形的角平分线，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 18. 如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）． （1）画出关于y轴对称的； （2）画出向下平移5个单位长度再向右平移6个单位得到的； （3）若点为△ABC边上一点，请直接写出点P经过（1）（2）两次图形变换后的对应点的坐标______． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了坐标系中图形的平移和轴对称，根据题意准确作图是解题关键． （1）分别作出点A、B、C关于y关于轴对称的点，，，顺次连接即可； （2）把，，，分别向下平移5个单位长度再向右平移6个单位，得，，，顺次连接即可； （3） 根据平移规律写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问3详解】 点关于y轴对称的点为点，点向下平移5个单位长度再向右平移6个单位，得到点的坐标为， 故答案为：． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）54 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 所以的面积为． 20. 如图所示，已知为等边三角形，点D为延长线上的一点，平分，． （1）求证； （2）判断的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，求出，根据推出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据等边三角形的判定得出即可． 【小问1详解】 证明：∵等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：为等边三角形． 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，能推出是解此题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 小问1详解】 解：由图象可知，当时， x的取值范围为； 【小问2详解】 将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． 【小问3详解】 设， 把代入得，， ∴， ∴， ， 解得或． ∴或 七、（本题满分12分） 22. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． （1）求的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【答案】（1）， （2），购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、． （1）求证：； （2）求证：且； （3）当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（2）中结论成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）用证明，可得，，利用线段和差关系即可完成； （2）延长交于点，利用证明，得，,进而得，由（1）的结论即得，最后可得结论成立； （3）延长交于点，用证明，得，,由（1），得，由等腰三角形的性质即得结论成立． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ，， ． 在与中， ， ，， ， 即． 【小问2详解】 证明：延长交于点， ，， ， ， 是中点， ， 在与中，， ， ，． 在中，是中点， ，． 而由（1）， ， 又， ． 【小问3详解】 证明：延长交于点， ，， ， ， 是中点， ， 在与中，， ， ，． 在中，是中点， ， 由（1）， ，， ∴， 又， ． 【点睛】本题是全等三角形的综合；考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；构造全等三角形是本题的关键与难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末综合素质调研 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在平面直角坐标系中，点P（－3，2）所在象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样三角形个数为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 3. 已知关于的一次函数的图象经过点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 有两边及一对角对应相等的两三角形全等 C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形成轴对称 D. 若在中，满足，那么是直角三角形 5. 如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝α，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，所剪下的三角形纸片不一定是全等图形的是（　　） A. B. C. D. 7. 一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ） A 70° B. 120° C. 125° D. 130° 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点、点是两个格点，如果点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（　　） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 10. 如图，在矩形中，，，点是边上靠近点的三等分点，动点从点出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是____________． 12. 将直线平移后经过点，则平移后的直线解析式为______． 13. 如图， 在中，， ， 点的坐标为，点的坐标为 ， 则点的坐标是____________． 14. 如图，点P在内部，点M，N分别是边上的动点，点M，N不与点O重合． （1）若将点P在的内部移动位置，使平分，当，时，的长等于 _____； （2）若，随着点M，N位置的变动，当周长最小时，点O到直线的距离等于 _____．（用含a的代数式表示） 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 已知：y-2与x−3成正比例，且x=4时y=8. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当y=-6时，求x的值. 16. 如图，已知，，，与交于点O，求证： 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°， （1）用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法) ①作∠BAC的平分线交BC于点D；②过点A作△ABC中BC边上的高AE，垂足为点E； （2）在（1）的基础上，求∠DAE的度数． 18. 如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上三角形）． （1）画出关于y轴对称的； （2）画出向下平移5个单位长度再向右平移6个单位得到的； （3）若点为△ABC边上一点，请直接写出点P经过（1）（2）两次图形变换后对应点的坐标______． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． （1）求证：． （2）若，，，求的面积． 20. 如图所示，已知为等边三角形，点D为延长线上的一点，平分，． （1）求证； （2）判断的形状，并加以证明． 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 七、（本题满分12分） 22. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． （1）求的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、． （1）求证：； （2）求证：且； （3）当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $