精品解析：江西省南昌市东湖区南昌市第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

南昌二中2024-2025学年度上学期高二数学期末试卷 命题人：高鹏 审题人：胡文敏 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与斜交 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系. 【详解】∵，， ∴即， ∴∥或. 故选：C. 2. 若方程表示椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合椭圆标准方程的特点，列不等式求的范围. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，且， 解得. 故选：D. 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由于服从正态分布，则， 故. 故选：B 4. 若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵， ∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 25 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，借助二项展开式通项得的展开式为，分析求解． 【详解】∵ 的展开式为， 令，得，则， 令，得，则， 令，得， ∴的展开式中的系数为. 故选：A． 7. 甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解. 【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法； 若人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为. 故选：C. 8. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可． 【详解】如图，，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而，而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而， ∴双曲线的离心率. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是（    ） A. 直线过定点 B. 若圆关于对称，则 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，直线变形后求出定点坐标；B选项，根据圆心在直线上求的值；C选项，表达出，求出最小值；D选项，由题可得圆心到直线的距离，从而求出. 【详解】A选项，根据题意变形为， 故直线过定点，A正确； B选项，若圆关于对称，则圆心在直线上，即，解得，故B正错误； C选项， ， 因为的最小值为，如图， 当三点共线时，的最小值为，故C正确； D选项，，半径为，因为圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 所以圆心到直线的距离，即，解得，D错误. 故选：AC. 10. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（    ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确. 【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确； 对于B，由可得， 又为互斥事件，则，又，即B错误； 对于C，若相互独立，则, 所以，即C正确； 对于D，若，所以； 可得，即D正确. 故选：ACD 11. 如图，设是正方体底面内一动点，若直线与直线所成角为，则动点的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解轨迹方程为，根据的不同取值即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 设，， 则， 所以—① 由于，因此当时，①化简得，此时为抛物线， 当时，①化简得，故此时为双曲线， 当时，①化简得，故此时为椭圆， 若为圆，①化简得，则需要满足的系数相等，即，显然不成立，故不可能是圆， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为______． 【答案】0.02## 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求离心率. 【详解】设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c， 由题意，得，，解得，， 所以这个椭圆的离心率． 故答案为：0.02 13. 设，且能被6整除，则的值可以为______.(写出一个满足条件的的值即可) 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】先利用二项展开式将变形，进而即可求得n的可能取值 【详解】 ， 其中被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除， 则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一 故答案为：5（答案不唯一） 14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得到至少有一天淋雨的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”. 连续上班两天，上班、下班的次数共4次. （1）次均不下雨，概率为：. （2）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：. （3）有次下雨但不被淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨， ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为：. （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：. （5）次均下雨：. 两天都不淋雨的概率为：， 至少有一天淋雨的概率为： . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查概率问题，具体思路如下： （1）至少有一天淋雨的概率不易分析，则计算两天都不淋雨的概率. （2）从下雨次数入手分类讨论：次均不下雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；次均下雨.计算概率求和. （3）利用对立事件概率的性质即可得到至少有一天淋雨的概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以(H1N1)pdm09亚型为主.为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表： 药物 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 （1）记未服用新药的个体患甲流的概率为，给出的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为新药对预防甲流有效? 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， 【答案】（1） （2）能认为药物对预防甲流有效 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率，计算即可； （2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【小问1详解】 由题意可得列联表， 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 180 服用 150 70 220 合计 250 150 400 未服用药物的个体有， 所以未服用药物的个体患甲流的频率为， 所以未服用药物的个体患甲流的概率的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：药物对预防甲流无效， 由列联表得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为药物对预防甲流有效，该推断犯错误的概率不超过， 所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防甲流有效. 16. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个公共点． 【答案】（1） （2） 当时，由，可得， 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个公共点． 当，时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个公共点． 当时，直线的方程为，联立方程组 消去，得．① 由点为曲线上一点，得，可得． 于是方程①可以化简为，解得， 将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个公共点， 综上，直线与曲线有且只有一个公共点，且交点为． 【解析】 【分析】（1）由四边形周长求得，再由面积求得，注意离心率的范围，从而得椭圆方程； （2）首先讨论当的情况，否则联立直线与椭圆的方程，结合直线的特点整理可得直线与椭圆有且只有一个交点． 【小问1详解】 依题意，设椭圆的方程为，焦距为， 由题设条件知，，， ，， 所以，，或，（经检验不合题意舍去）， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 17. 南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程中会出现常规品和精品两种情况. （1）某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； （2）某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 【答案】（1） （2） 300 500 700 900 ，375元 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式可得答案； （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为，易知服从二项分布，利用二项分布概率计算公式可得的分布列与期望. 【小问1详解】 设新匠人第一件作品是精品为事件，第二件作品是精品为事件， 由题意. 【小问2详解】 设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为， 由题意，，， 所以， ， ， ， 所以分布列为： 300 500 700 900 （元）. 18. 在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点. （1）当时；①证明：平面平面；②求二面角的余弦值； （2）求二面角的余弦值的最小值. 【答案】（1）①在中，由，得， 所以，且，即， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题设求证，即可由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得证；②建系标点，利用空间向量求二面角； （2）过P作于G，在平面中，过G作，设，，以G为原点建立适当的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量,即可由向量夹角公式，通过换元，利用二次函数的性质即可求得. 【小问1详解】 ①略 ②以A为原点，分别为x轴和y轴，过A垂直与平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 由平面平面可知z轴包含于平面， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又因为平面的法向量为， 则， 且二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 在平面中，过P作于G，在平面中，过G作， 因平面,则平面. 则由（1）， 设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以， 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 【点睛】方法点睛：求空间二面角常用方法： （1）定义法：根据定义作出二面角的平面角； （2）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角所成角的平面角； （3）向量坐标法：作几何体的空间直角坐标系，求出二面角的法向量，直接由公式计算即可； （4）射影面积法：求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积，再由射影面积公式计算求解. 19. 已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． （1）证明：是常数； （2）过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由已知，点的坐标为，且可设直线的方程为， 联立方程组，消去， 得（*）， 因为， 所以，为方程（*）的两个实根，且， 因为点，在抛物线上， 所以，为常数． （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系证得. （2）①求得直线的方程，点的坐标，利用根与系数关系求得. ②根据抛物线的定义求得，然后求得的表达式，再利用不基本不等式求得最小值.或：假设直线的倾斜角为，将表示为含有的三角函数的形式，利用换元法、函数的单调性等知识来求得最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在题设条件下，直线，都不与坐标轴平行且， 由（1）可知直线的方程为：， ①因为抛物线的准线方程为， 代入的方程可得点的坐标为， 由（1）可知，，， ，， 因此，， ， 即的值为． ②存在最小值， 设点，的坐标分别为，， 因为点均在抛物线上， 所以，，，， 由，有，即， 变形可得， 则（**）， 同理，， 根据抛物线的定义可知，，， ，， 所以 ． 由（**）知，， 即，当且仅当时取“＝”， 同理，，当且仅当时取“＝”， 由题设，， 所以，， 所以， ， 由题意可知，，同时成立， 此时，取得最小值， 故存在最小值，最小值为． 另解： 存在最小值， 假设直线的倾斜角为，根据题意可设， 如图，设点在轴上的射影为点， 抛物线的准线与轴相交于点， 根据抛物线的定义，由题设点的位置可知 ， 所以，， 同理可得，，，， 所以 ， 令，， 则， 由，可得， 易知函数为增函数， 所以， 上式中，当且仅当，即时（此时）等号成立， 所以，， 所以，存在最小值，该最小值当且仅当时取得. 【点睛】关键点睛： 这道题涉及了多种数学工具，如抛物线的几何性质、直线方程、向量运算和不等式技巧. 解决最小值问题时，利用函数的单调性和几何对称性是非常有效的，解题时，要充分理解题目中抛物线和直线的几何关系，并使用适当的几何工具（如根与系数关系、向量积等）来简化计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2024-2025学年度上学期高二数学期末试卷 命题人：高鹏 审题人：胡文敏 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与斜交 2. 若方程表示椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 25 C. D. 5 7. 甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是（    ） A. 直线过定点 B. 若圆关于对称，则 C. 的最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 10. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（    ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 11. 如图，设是正方体底面内一动点，若直线与直线所成角为，则动点的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为______． 13. 设，且能被6整除，则的值可以为______.(写出一个满足条件的的值即可) 14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以(H1N1)pdm09亚型为主.为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表： 药物 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 （1）记未服用新药的个体患甲流的概率为，给出的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为新药对预防甲流有效? 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， 16. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个公共点． 17. 南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程中会出现常规品和精品两种情况. （1）某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； （2）某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 18. 在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点. （1）当时；①证明：平面平面；②求二面角的余弦值； （2）求二面角的余弦值的最小值. 19. 已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点． （1）证明：是常数； （2）过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点，与抛物线相交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． ①求的值； ②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $