第04讲 平面向量基本定理及线性运算的坐标运算（七大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第04讲 平面向量基本定理及线性运算的坐标运算 学习目标： 1.通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的形成过程,重点培养数学抽象及直观想象的核心素养； 2.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 3.通过平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示及平面向量共线的坐标表示. 重点难点： 重点：1.平面向量基本定理及其意义； 2.平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 难点：1.平面向量基本定理的发现过程和定理证明； 2.对于平面向量的坐标表示的理解 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 二、平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 三、平面向量线性运算的坐标运算 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 考点01 平面向量基底的辨析 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确. 故选：. 2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .（填序号） 【答案】②③ 【详解】一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基,①错误；②正确； 可以作为基底的向量需要是不共线的向量，零向量不可为基中的向量.③正确； 故答案为：②③. 3．设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 4．下面三种说法中正确的是（    ） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可作为基中的向量. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】由于同一个平面内任意不共线的向量，都可以作为表示这个平面内所有向量的基，故①错误，②正确； 由于零向量与任何向量平行，所以零向量不可作为基中的向量，故③正确. 故选：B 5．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ） A．若实数m，n使，则 B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C．对于m，，不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使 【答案】AB 【详解】解：根据基底的定义知AB正确； 对于C，对于m，，在该平面内，故C错误； 对于D，m，n是唯一的，故D错误. 故选:AB. 考点02 平面向量基本定理 6．如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 7．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 8．三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【答案】(1)图形见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【详解】（1）如图，    （2）因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . （3）因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线.    9．在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 10．如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】B 【详解】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故选：B. 考点03 求向量、点的坐标 11．点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 12．已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，解得：，，. 故选：C. 13．已知在非平行四边形ABCD中，，且三点的坐标分别为，则顶点C的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当ABCD为平行四边形时，如下图所示：    则，依题意可得顶点C的横坐标不能取3； 设顶点C的坐标为，则 由可得，且， 所以，即； 故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是. 故答案为： 14．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 故选：A 15．已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， ，解得， 即，又， 又，解得，， ，即， 所以. 故选：B． 考点04 线性运算的坐标表示 16．已知点，，点C满足，则C的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点，，所以，所以， 设，则，所以，解得， 所以， 故选：A 17．已知，点是线段MN上的点，且，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设点的坐标为， 因为，，所以. 又，所以， 故，即点的坐标为. 故答案为： 18．在正方形中，是的中点.若，则的值为 . 【答案】/ 【详解】在正方形中，以点为原点，直线，分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图， 设正方形的边长为，则，，，， ，，，， 因为，即， 于是得，解得， 所以的值为. 故答案为：. 19．设点，若点在直线AB上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，，∴， 点在直线上，且， ∴，或， 故，或， 故点坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量坐标表示，熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的差是解答的关键． 20．已知向量，，，求、，使得． 【答案】 【详解】若，则， 所以，解得. 即. 考点05 线段的定比分点坐标 21．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 22．设，则线段 的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以线段AB的中点坐标为. 故选：A. 23．已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】因为P是线段靠近的一个四等分点， 所以，设， 则有， 故答案为： 24．如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 25．已知，，若点分所成的比为，则 ， . 【答案】 【详解】解：因为点分所成的比为，所以，因为，，，所以，，所以 所以解得 故答案为：； 考点06 向量共线的坐标运算 26．设，向量，，则是的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，，则，所以； 若，则，得. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 27．下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A．，共线，不符合题意； B．，共线，不符合题意； C．不存在一个实数使得，不共线，符合题意； D．，共线，不符合题意； 故选：C． 28．已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 29．如图所示，已知的顶点，，．    (1)求顶点D的坐标； (2)已知点，判断A，M，C三点的位置关系，并做出证明． 【答案】(1)； (2)A，M，C三点共线；详见解析. 【详解】（1）由平行四边形可得：，又，，，， 所以， ∴D的坐标为； （2）A，M，C三点共线； 因为，，， 所以，又有公共点， 所以A，M，C三点共线. 30．已知，，若，则 ． 【答案】/ 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 考点07 用坐标解决几何运算 31．在中，顶点的坐标为，边的中点的坐标为，则的重心坐标为 ． 【答案】 【详解】解：设的重心为，则， 因为，， 所以，即，解得，即， 即的重心坐标为. 故答案为： 32．已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，试问： （1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 【答案】（1），，；（2）不能，理由见解析. 【详解】(1)∵， ∴ 若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得； 若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得； 若点P在第三象限，则解得 (2)若四边形OABP为平行四边形，则 ∴ ∵该方程组无解， ∴四边形OABP不能成为平行四边形. 33．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果. 【详解】由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 【点睛】本题考查三角形的重心公式，属基础题. 34．已知点，，，且. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，设，则， 又，所以，解得，即. （2）因为，且轴，到的距离为，    所以. 35．在中，为边上任意一点(与不重合)，且.则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【详解】如图所示，作，垂足为， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设. 因为， 所以， 所以. 又因为，所以， 即，所以. 又AO⊥BC，故为等腰三角形.    故选：A 基础试炼 1．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 2．已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 而，所以， 所以， 所以在基下的坐标为. 故选：A. 3．若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，向量，所以， 故选：B. 4．已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意：． 因为，所以，解得． 故选：B 5．（多选）设是平面内一组基底，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由，是平面内一组基底，且，得， 则，，，，ABC正确，D不正确. 故选：ABC 6．（多选）如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】建系如图，不妨设正方体的边长为，设，则根据题意可得： ，，，，，，, , ，，，,,, 由于,所以，故, 对于A, ,故A正确， 对于B，,故B正确， 对于C，,故C正确， 对于D，，,故D错误， 故选：ABC      7．数轴上点的坐标为，若点在数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 . 【答案】 【详解】数轴上点的坐标为， 设点对应的坐标是， 因为对应的坐标为，则， 即点对应的坐标是. 故答案为：. 8．已知向量和向量平行，则实数 . 【答案】 【详解】因为向量和向量平行， 所以，即，所以. 故答案为： 9．在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于第________象限 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第二象限. 10．在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标． 【答案】，，． 【详解】设，，， 则，， ，， ，， 因此，，． 11．已知，设.. (1)求的值； (2)求满足的实数的值； (3)若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为，且， 所以， 所以. （2）解：由， 因为，可得，解得. （3）解：因为线段的中点为，线段的三等分点为（点靠近点） 所以， 设，即， 所以，且，解得，， 即的坐标为，点的坐标为，所以. 12．如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）在中，由， 又，所以 所以 （2）因为，又， 所以，， 所以 又D，E，F三点共线，且A在线外， 所以有：，即 高阶突破 1．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角的得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 ； 【答案】 【详解】由题意得，把点绕点沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点， 则，又，设， 则，解得，，即点的坐标为. 故答案为：. 2．如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 3．在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 【答案】3 【详解】因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，且， 所以， 即. 故答案为： 4．已知点为扇形的弧上任意一点，且，若 （），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的半径为，由已知可设为轴的正半轴，为坐标原点，过点作轴垂线为轴建立直角坐标系， 其中，其中， 由， 即， 整理得， 解得， 则， ， 所以. 故选：C. 5．已知向量集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 令，解得. 故 故选：C. 6．正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 若， 则，解得， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：根据向量相关问题，常常通过建系方法运算，可以迅速建立关系和简化运算. 7．如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.      (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，    则，所以，， 设点，则， 由，得， 所以，即，得到， 设，则， 所以，解得. （2）因为三点共线，且， 所以， 设正方形的边长为1，， 则， 所以，，， 所以， 又，所以， 所以，， 所以， 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：的故大值为1. 8．已知是边长为2的等边三角形，分别是上的点，且与交于点. (1)若，求与的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由与交于点，得共线，共线， 设， 则， 又，由共线，得，使得，    即，又不共线，，解得， ，， 所以. （2）由（1）知， 则，而， 所以 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第04讲 平面向量基本定理及线性运算的坐标运算 学习目标： 1.通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的形成过程,重点培养数学抽象及直观想象的核心素养； 2.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 3.通过平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示及平面向量共线的坐标表示. 重点难点： 重点：1.平面向量基本定理及其意义； 2.平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 难点：1.平面向量基本定理的发现过程和定理证明； 2.对于平面向量的坐标表示的理解 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 二、平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 三、平面向量线性运算的坐标运算 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 考点01 平面向量基底的辨析 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .（填序号） 3．设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 4．下面三种说法中正确的是（    ） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③零向量不可作为基中的向量. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ） A．若实数m，n使，则 B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数 C．对于m，，不一定在该平面内 D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使 考点02 平面向量基本定理 6．如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则 ． 7．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 8．三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 9．在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 考点03 求向量、点的坐标 11．点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 12．已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．已知在非平行四边形ABCD中，，且三点的坐标分别为，则顶点C的横坐标的取值范围是 ． 14．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（   ） A． B． C． D． 考点04 线性运算的坐标表示 16．已知点，，点C满足，则C的坐标为 （    ） A． B． C． D． 17．已知，点是线段MN上的点，且，则点的坐标为 . 18．在正方形中，是的中点.若，则的值为 . 19．设点，若点在直线AB上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 20．已知向量，，，求、，使得． 考点05 线段的定比分点坐标 21．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 22．设，则线段 的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 23．已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 24．如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 25．已知，，若点分所成的比为，则 ， . 考点06 向量共线的坐标运算 26．设，向量，，则是的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 28．已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 29．如图所示，已知的顶点，，．    (1)求顶点D的坐标； (2)已知点，判断A，M，C三点的位置关系，并做出证明． 30．已知，，若，则 ． 考点07 用坐标解决几何运算 31．在中，顶点的坐标为，边的中点的坐标为，则的重心坐标为 ． 32．已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，试问： （1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 33．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 34．已知点，，，且. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 35．在中，为边上任意一点(与不重合)，且.则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 基础试炼 1．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若向量，则（   ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C． D． 5．（多选）设是平面内一组基底，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则（    ）      A． B． C． D． 7．数轴上点的坐标为，若点在数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 . 8．已知向量和向量平行，则实数 . 9．在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于第________象限 10．在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标． 11．已知，设.. (1)求的值； (2)求满足的实数的值； (3)若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），求. 12．如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 高阶突破 1．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角的得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 ； 2．如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 3．在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 4．已知点为扇形的弧上任意一点，且，若 （），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 7．如图，四边形是正方形.在边上运动，在边上运动，与交于点.      (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若，，求的最大值. 8．已知是边长为2的等边三角形，分别是上的点，且与交于点. (1)若，求与的值； (2)求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$