精品解析：四川省眉山市东坡区眉山育英实验学校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2023级高二上学年期末考试 数学 试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知椭圆，则椭圆的焦距为（   ） A. B. C. D. 2. 过点，且与直线平行的直线方程是（   ）． A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则点F到直线的距离为（   ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 8. 2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C:，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线实轴长为6 B. 双曲线虚轴长为1 C. 双曲线离心率为 D. 双曲线焦点到渐近线的距离为1 10. 直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则直线与平面所成角的大小为 11. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（   ） A. 若时，圆与圆相交 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，若，则实数_____. 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为____________. 14. 已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为_____. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过，两点，且圆心在上． （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）求圆的标准方程 16. 国务院于年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄（单位：岁）分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求这人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和分位数； （2）现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中任选人进行问卷调查，求从中至少抽到人进行问卷调查的概率． 17. 在四棱锥中，底面是矩形，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面： （2）若平面，且，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知，，点满足，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）当时，求的面积. （3）求的取值范围. 19. 设椭圆的左右焦点分别为，，且过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数． ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上学年期末考试 数学 试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知椭圆，则椭圆的焦距为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得出该椭圆的焦距. 【详解】对于椭圆，，，则，故该椭圆的焦距为. 故选：B. 2. 过点，且与直线平行的直线方程是（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由设所求直线方程是，再根据所求直线过点求解. 【详解】解：因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线方程是， 又因为所求直线过点， 代入直线方程得：， 所以所求直线方程为， 故选：D 3. 如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算即可求解； 【详解】=. 故选：C. 4. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程，由求解. 【详解】解：因为方程表示圆， 所以， 解得， 故选：B 5. 已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合双曲线的性质求解双曲线方程即可. 【详解】因为双曲线实轴的长度为， 所以，因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，解得，故双曲线的标准方程为，故A正确. 故选：A 6. 已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合中点坐标公式并由代入法即可求解. 【详解】设点，根据中点的坐标公式可得， 代入椭圆方程得，其中. 故选：B 7. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则点F到直线的距离为（   ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】代入点到直线距离的向量公式，即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，， ，， 所以点到直线的距离 故选：D 8. 2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C:，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线实轴长为6 B. 双曲线虚轴长为1 C. 双曲线离心率为 D. 双曲线焦点到渐近线的距离为1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线方程，讨论基本的双曲线的性质. 【详解】由双曲线方程可知，，，所以，所以实轴长，虚轴长，离心率 渐近线方程为，焦点坐标为，所以焦点到渐近线的距离，故AD正确，BC错误. 故选：AD 10. 直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线，线面，线面角的向量公式，即可求解. 【详解】根据向量表示的线线，线面的位置关系可知，AB正确； 设直线与平面所成角为，则，所以，故C错误； 若，则，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（   ） A. 若时，圆与圆相交 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】分别求两圆的圆心和半径，根据圆与圆的位置关系，即可判断A，两圆相减即可判断B，根据直线所过的定点，由定点与圆的位置关系，即可判断C，对应D选项，首先判断点的轨迹，利用向量的运算转化为的最大值，即可判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，当时，，圆与圆相内切，，A错误； 对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得 ，即，B正确； C.直线，变形为，所以直线恒过定点，且点在圆内，当定点为弦的中点时，此时最短， 由于点为弦的中点时，的方程为, 而直线不可能表示直线, 没有 最小值，故C不正确； 对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时， ，有，当与点之一重合，上式成立，则， 因此点的轨迹是以为直径的圆，即以为圆心，1为半径的圆，， 而，因此的最大值为，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，若，则实数_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】直线，，由，得， 所以或. 故答案为：或 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为____________. 【答案】0.46## 【解析】 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件， 则恰有一人中靶的概率为， 故答案为：. 14. 已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据点差法可求的关系，从而可求离心率. 【详解】设，中点为，则，故， 因为，故， 所以，而， 故，故，故， 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过，两点，且圆心在上． （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）求圆的标准方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与CD垂直得到斜率，再由CD的中点坐标为 求解； （2）法一：直线与CD的垂直平分线的方程联立求得圆心，然后求得半径即可；法二：根据圆心在上，设，圆的半径为，再将点，坐标代入求解； 【小问1详解】 解： ， ，又因为CD的中点坐标为 ， 所以线段的垂直平分线的方程为：； 【小问2详解】 法一：由， ， 所以圆的标准方程为：， 法二：由题意，因为圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以，解得，则圆心为， 所以圆的方程为； 16. 国务院于年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄（单位：岁）分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求这人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和分位数； （2）现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中任选人进行问卷调查，求从中至少抽到人进行问卷调查的概率． 【答案】（1）平均数为，分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平均数的定义可求得这人年龄的平均数，设分位数为，则，根据百分位数的定义可得出关于的等式，即可解得的值； （2）分析可知，年龄在的应抽取人，设为、、，年龄在的应抽取人设为、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 平均数为． 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为， 设分位数为，则． 且， 解得，即分位数为. 【小问2详解】 年龄在和这两组的人数分别为、， 则年龄在的应抽取人，设为、、， 年龄在的应抽取人，设为、， 从人中任选人，基本事件有：、、、、、、、、、，共个基本事件， 年龄在中至少抽到人所包含的基本事件有：、、、、、、，共个基本事件 设“从这人中任选人，年龄在内的至少有人”为事件，则． 17. 在四棱锥中，底面是矩形，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面： （2）若平面，且，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图，因为点为中点，所以且， 又因为四边形为矩形，为的中点，所以且， 所以且，故四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，即可证明，从而可证平面． （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 由于轴平面，则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知，，点满足，记点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）当时，求的面积. （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可求得轨迹的方程； （2）由余弦定理得，给合，可求得的面积； （3）设，分别用向量表示，由题意可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由，解得， 即轨迹的方程为：； 【小问2详解】 ∵为双曲线E:上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积. 【小问3详解】 设，则，所以，. 所以的取值范围是. 19. 设椭圆的左右焦点分别为，，且过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数． ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明：设直线，由，消得， 设，，所以，， 所以， 因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点． ② 【解析】 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）①设直线，联立椭圆方程，得到，由韦达定理得到，，再根据题设可得，即可求解；②将问题转化成，利用①中结果，通过换元得到，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由①知，，，且，即， 又， 令，则， 所以，当且仅当时取“=”， 所以． 【点睛】关键点点睛，本题的关键在于（2）中的第②问，利用，从而得到，再令，通过换元得出，再结合基本不等式计算即可得出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $