精品解析：浙江省杭州市学军中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

杭州学军中学2024学年第一学期期末考试 高一数学试卷 命题人：王瑛 审题人：陈炳臻 诸杰锋 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算法则求解即可. 【详解】解：， ， 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】函数的意义，则且，解得且， 所以原函数的定义域为. 故选：D 3. 下列命题正确的是（ ）． A. 小于的角是锐角 B. 第二象限的角一定大于第一象限的角 C. 与终边相同的最小正角是 D. 若，则是第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角定义判断A，取特殊角判断B，根据终边相同的角判断C，确定所在象限判断D. 【详解】，但是由锐角的定义知不是锐角，故A错误； 是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B错误； 因为，所以与终边相同的最小正角是，故C正确； 且，所以第三象限角，故D错误. 故选：C 4. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组，解出即可得. 【详解】由对任意，都有，故函数在上单调递增， 故有，解得. 故选：D. 5. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象确定函数的表达式为，即可利用对称性求解一个周期内的值，进而利用周期性求解即可. 【详解】由的图象可知，，， 故，又且，则可得出，故. 又根据函数的对称性可知，，， 所以， 所以, 故选：B 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号 故选：A 7. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到，再由，分， ，由最大值为求解. 【详解】因为函数在区间上的最大值为， 所以，解得， 因为，所以， 当，即时，， 令，在同一坐标系中作出图象：    令， 因为，， 所以存在唯一，使得； 当，即时，，即，解得 . 所以实数的取值个数最多为2. 故选：B. 8. 已知定义在上的非常数函数满足：对于每一个实数，都有，则的最小正周期为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，进而，然后根据周期定义结合条件即得. 【详解】因为， 所以， 即对任意成立， 令则， 得：， 由可得对任意成立， 即对任意成立， 则，即对任意成立， 则为的一个周期； 若为的一个周期，即，则， 整理得，又因为， 所以这与为定义在R上的非常数函数矛盾， 所以不是函数的周期. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据代入特殊值法，可判断A和C，根据不等式的性质可判断B，根据幂函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，，，可得且，，即，故B正确； 对于C，举反例，时，，故C错误； 对于D，因为在上为增函数，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 的最大值为 C. 在上不单调 D. 在，方程（m为常数）最多有4个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得，即可得函数图象，结合函数图象逐项判断即可得解. 【详解】若，则， 即，即，， 故，， 故其图象如图所示： 对A：由图象可得不关于直线对称，故A错误； 对B：由图象可得的最大值为，故B正确； 对C：当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C正确； 对D：由图象，当时，方程有4个解， 在时，方程在少于4个解，故D正确. 故选：BCD. 11. 设，若满足关于的方程恰有三个不同的实数解，则下列选项中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设，得出函数为偶函数，从而有，因此方程必有一解为0，代入得，分和两种情况得出函数的单调性和最值，从而求得，可得选项. 【详解】令，则的定义域为， 有， 故为偶函数，则，故A错误； 必有一解为0，则，即， ①当时，因时，，故，当且仅当时取等号； ②当时，在上递增，， 由可得，即解得， 又在上递增，，即，解得， ，故C、D正确，B错误. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合知识，关键点在于构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 12. 已知，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据分式方程的解法计算可得. 【详解】， 去分母可得，解得或， 经检验或均使最简公分母不为，所以或为方程的解. 故答案为：或 13. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合诱导公式，倍角公式求解即可. 【详解】故答案为： 【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题. 14. 已知，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式可知或，又因为正弦函数的值域所以，代入原式，计算得出，由此可得时有最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号，故， 当时，， 当且仅当时取等号，故， 因为正弦函数的值域为，所以，即， 所以，当且仅当时成立， 将代入原方程：， 故，整理得， 当即时，有最小值. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集可得对应方程的根即可求解； （2）由充分条件建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集是， 故的两根为，且， 故； 【小问2详解】 由题意集合，，由于， 则. 16. 已知函数，， （1）求的值以及的对称轴; （2）将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，若 ，求的取值范围; （3）已知 ，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件代入运算，求得，再根据余弦函数的性质求解； （2）利用图象变换求出的解析式，根据余弦函数的性质解不等式； （3）利用平方关系求出，将转化为，利用两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 根据题意，，又， ，解得， ，令，， 所以的对称轴为. 【小问2详解】 由题可得，， 所以，即， ， 即， 所以的取值范围是，. 【小问3详解】 ， ， 当时，， 当时，， 所以. 17. 某企业原有 200 名科技人员， 年人均工资万元（），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围; 若不存在，说明理由. 【答案】（1）120 人 （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到不等式，得出，再用已知条件得出结果； （2）由条件②得，由条件③得，假设存在满足上述条件，则上述两个不等式恒成立，求出即可. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元， 则 ， 整理得 ， 解得 ， 因为 且， 所以 ， 故， 所以调整后的研发人员的人数最少为 120 人； 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 ， 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少， 得 ， 解得 假设存在这样的实数， 使得技术人员在已知范围内调整后， 满足以上两个条件， 因为 ， 当且仅当 ， 即 时等号成立， 所以 ，又因为（），所以. 所以. 18. 设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在R上的函数的图象关于点中心对称，且当时， ，求的值; （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明; （3）已知函数，其中，若正数满足，且不等式恒成立，求的取值范围 【答案】（1），1； （2），证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对称中心的定义列式，再赋值计算即得. （2）写出对称中心，再利用定义推理证明. （3）求出函数的对称中心，进而求出和得，对恒成立的不等式分离参数，放缩并利用基本不等式求出最小值即可得范围. 【小问1详解】 由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，而当时，，于是， ，所以. 【小问2详解】 函数的对称中心为， ， 所以函数的对称中心为. 【小问3详解】 函数，， 则函数的对称中心为， 记， 则， 于是，即，依题意，，为正数， 不等式恒成立， 而 ，当且仅当，即时取等号，则， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由; （2）若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围; （3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为(其中)的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）不是的“2重覆盖函数”，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接判断； （2）求出的值域，然后再确定的取值范围，由分段函数的性质转化为使得，结合二次函数性质可得； （3）首先求得的值域，问题转化为对于任意要有2024个根，作出函数的图象（可根据函数定义化简函数为分段函数形式），结合图象得出结论， 【小问1详解】 对于，有，而， 所以不是的“2重覆盖函数”. 【小问2详解】 由题意可得，时，， 因此对任意，存在，使得． 而为的“3重覆盖函数”， 因此使得， 因为，所以 或，解得 【小问3详解】 =， ，即， 当且仅当时，取，时取， 所以， 则对于任意要有2024个根， 作出函数的大致图象（部分），如图：要使有2024个根，则，又，则，故正实数的取值范围． 【点睛】难点点睛：本题难点在于对新定义的理解，根据新定义把问题进行转化，转化为对值域内的任意，直线与函数的图象的交点个数问题，从而结合图象得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州学军中学2024学年第一学期期末考试 高一数学试卷 命题人：王瑛 审题人：陈炳臻 诸杰锋 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ）． A. 小于的角是锐角 B. 第二象限的角一定大于第一象限的角 C. 与终边相同的最小正角是 D. 若，则是第四象限角 4. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 7. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知定义在上的非常数函数满足：对于每一个实数，都有，则的最小正周期为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 最大值为 C. 在上不单调 D. 在，方程（m为常数）最多有4个解 11. 设，若满足关于方程恰有三个不同的实数解，则下列选项中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 12. 已知，则__________. 13 若，则___________. 14. 已知，则最小值为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数，， （1）求的值以及的对称轴; （2）将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，若 ，求的取值范围; （3）已知 ，求的值. 17. 某企业原有 200 名科技人员， 年人均工资万元（），现加大对某芯片研发力度，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围; 若不存在，说明理由. 18. 设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在R上的函数的图象关于点中心对称，且当时， ，求的值; （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明; （3）已知函数，其中，若正数满足，且不等式恒成立，求的取值范围 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由; （2）若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围; （3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为(其中)的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$