精品解析：福建省宁德市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题

宁德市2024-2025学年度第一学期期末高一质量检测 数学试题 本试卷共19题.考试时间120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答题前考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件 3. 若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（ ） A. 减函数 B. 增函数 C. 偶函数 D. 奇函数 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 记，设，则函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的零点为a，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数，，则图象为如图函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是减函数 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数用列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 3 2 1 A. 的定义域与值域相同 B. C. 若，则 D. 是减函数 10. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若恒成立，则 D. 若在内有零点，则 11. 已知桌面上有一个周长为2的由铁丝围成的封闭图形，则（ ） A. 当封闭曲线为半圆时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖 B. 当封闭曲线为正六边形时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖 C. 当封闭曲线为平行四边形时，用直径1的圆形纸片不可以完全覆盖 D. 当封闭曲线为三角形时，用直径为1的圆形纸片不可以完全覆盖 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 13. ______. 14. 已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点（A点位于B点的左侧），过A点作x轴的垂线交的图象于点C，若BC与x轴平行，则A点的坐标为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，，求取值范围. 16. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第x个月 1 2 3 4 5 会员人数y（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择： ①，②，③. （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万. 17. 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于x轴的对称点为. （1）若，求的值； （2）若，求. 18 已知函数 （1）证明：为奇函数； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3），，使得，求实数的取值范围. 19. 定义：函数的定义域为，若对上的任意不同的两个数和任意的，都有，则称在上是凸函数. （1）判断否为凸函数，并说明理由； （2）已知偶函数在上是凸函数，证明：在上也是凸函数； （3）若在上是凸函数，对于定义域内任意不同的三个数和任意的，证明：当时，都有成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁德市2024-2025学年度第一学期期末高一质量检测 数学试题 本试卷共19题.考试时间120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答题前考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得答案. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得命题的否定是：. 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质解不等式，利用集合间的关系确定选项. 【详解】由得，解得. 记集合，， ∵⫋， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（ ） A. 减函数 B. 增函数 C. 偶函数 D. 奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可求出函数的解析式，即可判断函数的单调性与奇偶性. 【详解】设，则，解得， ∴，定义域为，为非奇非偶函数， ∵，∴在上为增函数. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可说明选项A、B、C错误；作差法可证明选项D正确. 【详解】对于选项A、B、C，令，，，，满足. ，选项A错误. ，，选项B错误. ，选项C错误. D.， ∵，∴， ∴， ∴， ∴，即，选项D正确 故选：D. 5. 记，设，则函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分段函数的性质，依据题意写出分段函数的解析式，进而确定函数的单调性，得出函数的最小值. 【详解】由题可得，函数的解析式为， 令，解得或, 当或时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的最小值为. 故选：B. 6. 已知函数的零点为a，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，确定零点的取值范围，即可得到的大小关系. 【详解】∵在上为减函数，在上为减函数， ∴函数在上为减函数， ∵，， ∴， ∴，， ∴. 故选：C. 7. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可以排除选项A,B；利用函数的单调性可排除选项C. 【详解】根据图像可得函数关于原点对称，为奇函数， 对于选项A：为非奇非偶函数，故A错误； 对于选项B：为非奇非偶函数，故B错误； 对于选项C：在区间上单调递减，在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：为奇函数，在区间上单调递增，故D正确； 故选：D 8. 定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】令得，令可得选项A错误；令得，可得选项B正确；根据可得选项C错误；令，由可得选项D错误. 【详解】令得，，即， ∵，∴不恒为0，∴，即. A.令，则， ∴，即， ∵，∴，选项A错误. B.令，则，∴， 令，则的定义域为，且， ∴是奇函数，选项B正确. C.令，则， 由得，， 令，则，即，故， 由得，，∴不是偶函数，选项C错误. D.令，则，， 由得不是减函数，选项D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过赋值求函数值，根据奇偶性及单调性的定义判断选项. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数用列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 3 2 1 A. 的定义域与值域相同 B. C. 若，则 D. 是减函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由表格得选项A正确；根据函数定义域可得选项B错误；由条件得，解出可得选项C正确；根据表格数据可得选项D正确. 【详解】A.函数的定义域为，值域为，A正确. B.由函数的定义域为可得选项B错误. C.由得，，故，C正确. D.由表格得，随的增大而减小，故在定义域上是减函数，D正确. 故选：ACD. 10. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若恒成立，则 D. 若在内有零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，基本不等式，根的判别式和开口方向，零点存在定理及结合解不等式依次对每个选项进行分析求解． 【详解】A．当时，，选项正确； B．当时，，则， 当时，，选项错误； C．若恒成立，则，解得：，选项正确； D．，要使得在内有零点，则， 即，解得：，选项正确； 故选：ACD． 11. 已知桌面上有一个周长为2的由铁丝围成的封闭图形，则（ ） A. 当封闭曲线为半圆时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖 B. 当封闭曲线为正六边形时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖 C. 当封闭曲线为平行四边形时，用直径1的圆形纸片不可以完全覆盖 D. 当封闭曲线为三角形时，用直径为1的圆形纸片不可以完全覆盖 【答案】AB 【解析】 【分析】逐项分析各图形的外接圆半径或直径，与圆形纸片的直径比较即可确定正确选项. 【详解】A.设半圆半径为，则，解得，故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖半圆，选项A正确. B. 当封闭曲线为正六边形时，正六边形的边长为，正六边形外接圆的直径为， 故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正六边形，选项B正确. C. 当封闭曲线为正方形时，正方形边长为，正方形的外接圆直径为， 故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正方形， 由正方形为平行四边形可得选项C错误. D. 当封闭曲线为正三角形时，正三角形边长为，正三角形的外接圆半径为， 故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正三角形，选项D错误. 故选：AB. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长及面积公式求解可得结果. 【详解】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 则，两式相除得，. 故答案为：. 13. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质及对数运算法则可得结果. 【详解】 故答案为：. 14. 已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点（A点位于B点的左侧），过A点作x轴的垂线交的图象于点C，若BC与x轴平行，则A点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据BC与x轴平行得，利用求出，即可得到A点的坐标. 【详解】 设，，则， 由BC与x轴平行得，， 由得，，故， 由三点共线得，， ∴，即，解得，， ∴A点的坐标为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，化简集合，根据集合的基本运算可得结果. （2）化简集合，利用集合间的关系可求的取值范围. 【小问1详解】 由得，，解得， ∴， 当时，， ∴. 【小问2详解】 当时， ∵，∴， ∴的取值范围为. 16. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第x个月 1 2 3 4 5 会员人数y（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择： ①，②，③. （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万. 【答案】（1）①，理由见解析 （2），第16个月 【解析】 【分析】（1）根据函数定义域以及指、对数函数的单调性特征分析判断； （2）根据点，，求，即可得函数解析式，再根据函数解析式运算求解 【小问1详解】 最符合实际的函数模型为①， 根据表格知函数解析式需满足在上有定义，所以②不满足， 又随着月份增加，会员人数增加速度又会减慢，所以③不符合， 只有①同时满足上述两个特征，故最符合. 【小问2详解】 可选取表格中的两组数据为：，， 代入得 解得，即， 当时，，解得，， 所以，可预测第16个月，会员人数达到14万人. 17. 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，点关于x轴的对称点为. （1）若，求的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式可得结果. （2）利用诱导公式及对称表示，根据齐次式或同角三角函数的基本关系可求的值. 【小问1详解】 由三角函数定义得，. ∵，为锐角，∴， ∴，，，， ∴. 【小问2详解】 解法一：由题意得，，，，， ∴，， ∵为锐角，∴，即， ∴，即， ∴，故， ∴，即，解得或. 解法二：由题意得，，，，， ∴，， ∵锐角，∴，即， ∵，∴或， ∴或. 18. 已知函数 （1）证明：为奇函数； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3），，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的定义域为R且可得为奇函数. （2）利用定义法可得函数在区间上的单调性. （3）根据函数性质可得，分析范围，利用集合间的关系可求参数的范围. 【小问1详解】 ∵的定义域为R，且 ∴为奇函数. 【小问2详解】 ，且， 则 ， ∵，∴， 当时，，故，即， ∴在上是增函数， 当时，，故，即， ∴在上是减函数. 综上，函数在上是增函数，在上是减函数. 【小问3详解】 解法一：∵，∴，，， ∴，. 由（2）知，函数为奇函数，在区间上是增函数，在区间上是减函数. ∵，∴，∴， ∵，，使得， ∴，∴，解得， ∴. 解法二：∵，∴，，， 由（2）知，函数为奇函数，在区间上是增函数，在区间上是减函数， ∴，即，故， ∵，∴， ∴，即， ∵，，使得， ∴， ∴，解得， ∴. 19. 定义：函数的定义域为，若对上的任意不同的两个数和任意的，都有，则称在上是凸函数. （1）判断是否为凸函数，并说明理由； （2）已知偶函数在上是凸函数，证明：在上也是凸函数； （3）若在上是凸函数，对于定义域内任意不同的三个数和任意的，证明：当时，都有成立. 【答案】（1）是凸函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法判断，即可说明； （2）根据凸函数的定义及偶函数的性质证明即可； （3）当时显然成立，当时，结合凸函数的定义证明即可. 【小问1详解】 是凸函数，理由如下： 因为 ， 由于，所以， 即， 所以是凸函数. 【小问2详解】 任取，所以， 因为在上的凸函数，所以， 又因为是偶函数，所以， 所以在上也是凸函数； 【小问3详解】 因为，， 由对称性不妨设当时，则， 此时显然成立， 当时，因为在是凸函数， 所以 而，再次根据凸函数的定义， 则 所以 ， 即. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对凸函数的定义理解充分，结合作差法及偶函数的性质证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$