专题03 平方差公式、完全平方公式难点题型专训（8大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题03 平方差公式、完全平方公式重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过对完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 整式的混合运算 题型八 完全平方公式在几何图形中的应用 知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a² - b² 公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。 几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。 知识点02两数和（差）的平方 (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b)² = a² + 2ab + b²，而 (a - b)² = a² - 2ab + b²。 记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为（  ） A．0或 B．1或 C．0 D． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得：． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4 幅拼法中，不能够验证平方差公式 的是(     ) A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）数字“”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“”进行转换然后计算： . 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　． （2）计算：20192﹣2020×2018． 【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（2024·湖南邵阳·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）已知多项式和 （a、b为常数），以下结论：①当时，；②当时，所得的结果中不含一次项和常数项；③若﹐且x、y为正整数时，则；④若时，则的最小值为2．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为24，求的面积． (3)若，求的值． 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】（23-24七年级下·湖南张家界·期中）如果，则b的值为（    ） A．-3 B．3 C．6 D．-6 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，4个全等的小长方形与1个小正方形拼成了一个大正方形图案，已知大正方形边长为a，小正方形的边长为b，小长方形的长和宽分别为m，n（）．下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖南益阳·一模）杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： … 则展开式中所有项的系数和是 ． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的等量关系解决下面的问题； ①若，，求的值； ②若，求的值； ③拓展应用：若，求的值． 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例5】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）规定三角“  ”表示，方框“  ”表示．例如：  ÷  ．若代数式  为完全平方式，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24七年级下·全国·期中）若二次三项式是一个完全平方式，则m的值是 ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有_________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）小颖用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若a＝2b，则S1、S2之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是 （用含a，b的式子表示）． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【经典例题七 整式的混合运算】 【例7】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称24为“完美数”．下面4个数中为“完美数”的是（   ） A．200 B．202 C．210 D．230 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是（   ） A．15 B．10 C．30 D．20 2．（23-24七年级·湖南株洲·期末）如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为 ． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（，是整数）的式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)试判断（，是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (2)已知（，是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【经典例题八 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例8】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．15 B．17 C．20 D．22 2．（23-24七年级下·湖南常德·期末）图中阴影部分的面积是 （用含，的代数式表示）．    3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法；借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题： 图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)图②中的阴影部分的正方形边长为_________； (2)观察图②，写出关于代数式，之间的一个代数恒等式：________； (3)观察图③，请将多项式因式分解：_______﹔ (4)根据(3)题中的等量关系，解决下列问题：若，求的值． 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）不论a，b为何实数，的值（   ） A．总是正数 B．总是负数 C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则m的值是（    ）． A．6或 B．10或 C．或10 D．或6 3．（23-24七年级下·湖南永州·期中）设是从1，0，这三个数取值的一组数，若，，则中为0的个数（    ）个 A．30 B．40 C．50 D．60 4．（2024·湖南常德·一模）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形如图②，上述操作所能验证的数学恒等式是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024·湖南株洲·二模）已知是完全平方式，则的值是 ． 7．（23-24七年级下·湖南常德·期中）计算： ． 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）某种商品进价为元/件，在销售旺季，商品售价较进价高；销售旺季过后，商品又以七折的价格开展促销活动．这时一件商品的售价为 元． 9．（2019·湖南株洲·一模）如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a>b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是 （用含a，b的等式表示）． 10．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）有两个正方形 A，B，现将 B 放在 A 的内部如 图甲，将 A，B 并排放置后构造新的正方形如 图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形 A，B 的面积之和为 ．    11．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 13．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 14．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 15．（24-25七年级下·全国·期末）[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平方差公式、完全平方公式重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过对完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 整式的混合运算 题型八 完全平方公式在几何图形中的应用 知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a² - b² 公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。 几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。 知识点02两数和（差）的平方 (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b)² = a² + 2ab + b²，而 (a - b)² = a² - 2ab + b²。 记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：D． 1．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为（  ） A．0或 B．1或 C．0 D． 【答案】A 【分析】先根据规律求得x的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ， ，⋯, ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查代数值求值，通过规律解决数学问题，求出x的值是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、数字的变化类，根据所列式子所反映的规律得出答案即可，发现规律是解此题的关键． 【详解】解： ……… ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得：． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2)当时，原式，当时，原式 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键． （1）先整理，则原式为，再利用题中的规律进行计算，即可作答． （2）进行分类讨论，当或两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：当时， 原式 当时， 原式 ． 综上：当时，原式，当时，原式． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法公式与图形的关系，根据题意，表示出两个图形中的阴影面积，数形结合，根据面积相等即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形， ， 把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形， ， ， 故选：C． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4 幅拼法中，不能够验证平方差公式 的是(     ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了几何图形与平方差公式；分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：A．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证； B．原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； C．原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； D．原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证． 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）数字“”非常的神奇，它可以写成，也可以写成，还可以写成，请把数字“”进行转换然后计算： . 【答案】 【分析】本题考查了数字“”转换，将数字“”化成添加到原式中，然后利用平方差公式依次计算化简即可得解，采用平方差的公式计算化简是解题关键． 【详解】解：原式 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　． （2）计算：20192﹣2020×2018． 【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【答案】探究：(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2；应用：（1）3；（2）1；拓展：5050 【分析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； 应用：（1）利用平方差公式得出(2m+n)•(2m-n)＝4m2-n2，代入求值即可； （2）可将2020×2018写成(2019+1)×(2019﹣1)，再利用平法差公式求值； 拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成(100+99)×(100﹣99)，以此类推，然后化简求值即可． 【详解】解：探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积(a+b)(a﹣b)， 所以，得到乘法公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2 故答案为：(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2． 应用：（1）由得， ∵，2m+n＝4 ∴2m﹣n＝3． 故答案为：3． （2）20192﹣2020×2018 ． 拓展：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12 【点睛】本题考查平方差公式的应用．解题关键是熟练掌握平方差公式． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（2024·湖南邵阳·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵错误， 故选项A不符合题意． ∵， ∴选项B符合题意． ∵， ∴选项C不符合题意． ∵， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）已知多项式和 （a、b为常数），以下结论：①当时，；②当时，所得的结果中不含一次项和常数项；③若﹐且x、y为正整数时，则；④若时，则的最小值为2．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，完全平方公式的应用，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入进行化简，得，即可判断①；把代入进行化简，得，即可判断②；把代入进行化简，得，再结合正整数的条件，即可判断③；把代入进行化简，得，即可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴ ； ∵， 则， 但不一定成立，故①是错误的； 当时，则， ∴所得的结果中不含一次项和常数项； 故②是正确的； ∵﹐ 则， 整理得， 即， 则， ∴， ∵x、y为正整数时， ∴都是正整数，且， 则，或， 解得（不是正整数，故舍去）；或， 则； 故③是正确的； ④∵， ∴ ； ∵， 则， 即的最小值为2． 故④是正确的； 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，数字规律，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解题的关键．根据题中的规律将展开，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为24，求的面积． (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）设，，根据可求得，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）利用完全平方公式即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴， ∴． （2）解：设，， ∴，． ∴， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ∴． 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】（23-24七年级下·湖南张家界·期中）如果，则b的值为（    ） A．-3 B．3 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】把完全平方公式展开对比即可； 【详解】∵， ∴， ∴； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，准确判断是解题的关键． 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，4个全等的小长方形与1个小正方形拼成了一个大正方形图案，已知大正方形边长为a，小正方形的边长为b，小长方形的长和宽分别为m，n（）．下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法公式的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，推出，可得，故选项A，C正确；因为，推出，故选项B正确；由，可判断D不正确． 【详解】解：由题意， ∴， ∴，故选项A，C正确； ∵， ∴，故选项B正确； ∵，， ∴，故D不正确． 故选：D． 2．（2024·湖南益阳·一模）杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： … 则展开式中所有项的系数和是 ． 【答案】1024 【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n，求出系数之和即可． 【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20， 当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21， 当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22， 当n=3时，展开式中所有项的系数和为8=23 ••• 由此可知（a+b）n展开式的各项系数之和为2n， 则（a+b）10展开式中所有项的系数和是210=1024， 故答案为：1024． 【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的等量关系解决下面的问题； ①若，，求的值； ②若，求的值； ③拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）用两种方式表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①根据完全平方公式化简再代数求值； ②根据完全平方公式化简求值； ③根据完全平方公式化简求值； 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， 小长方形的长为b，宽为a， 大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即关系式为：． （2）①，， ， ②， ， ， ； ③设，， ∴， ， 又， ． 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例5】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的特点，首末两项是2x2和3的平方，故中间项为加上或减去2倍的2x乘3. 【详解】解：根据完全平方公式的特点有：4mx=±2×2x×3 得到：m=±3. 故选：D. 【点睛】本题考查完全平方公式配方问题，根据公式的特点求解即可，注意2倍首尾的正负号，避免漏解. 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）规定三角“  ”表示，方框“  ”表示．例如：  ÷  ．若代数式  为完全平方式，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先依据题目的给出的运算规律将其简化为，再根据是完全平方式，将其配方为，展开后通过比较同类项系数即可求出k值． 【详解】解：依据题意，有： 原式=； ∵代数式为完全平方式， ∴原式=， ∴将展开，比较等号两边同类项系数可得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方式的知识，依据题目给出的运算法则将所求代数式准确转化为常见的代数式形式是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·期中）若二次三项式是一个完全平方式，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征一次顶系数一半的平方等于常数项，平方数的特征．是此题解题的关键． 先根据一次顶系数一半的平方等于，再根据平方数求解m即可． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有_________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)②④ (2) (3)最大值 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）根据题干信息直接作答即可； （2）根据完全平方公式的特点解答即可； （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式即可得答案． 【详解】（1）解：①不能分解因式，不是完全平方式； ②，是完全平方式； ③，不能因式分解，不是完全平方式； ④，是完全平方式， 故答案为：②④； （2）∵是一个完全平方式， ∴，解得， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， 即代数式有最大值有最大值，最大值为． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形的面积就是边长是的正方形与边长是的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可． 【详解】解：由题意可知， 矩形的面积就是边长是的正方形与边长是的正方形的面积的差， S矩形= = =． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意列出代数式，同时正确使用完全平方公式是解决本题的关键． 1．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）小颖用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若a＝2b，则S1、S2之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用a、b的代数式分别表示S1=a2+2b2，S2=2ab-b2，再根据a＝2b，，得和，进而得到答案． 【详解】解：根据题意，空白部分的面积为： ， 又∵正方形面积为： ， ∴阴影部分面积为：， 又∵a＝2b， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、三角形的面积公式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是 （用含a，b的式子表示）． 【答案】4ab 【分析】组合后多出来的面积就是中间小正方形的面积，用大正方形减小正方形的得到原来长方形面积． 【详解】∵为图2大正方形的面积；为小正方形面积， ∴为图1长方形面积 ∴=2a×2b=4ab 故答案为：4ab 【点睛】本题考查列代数式在求正方形面积中的应用，找到两者之差是图1长方形面积是关键． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式； （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为， 故答案：，，； （ⅱ）由图②得 当时，， 故答案：； （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学：   当时，； （2） ， 由（1）得： ， ， ， 的最小值为． 【经典例题七 整式的混合运算】 【例7】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称24为“完美数”．下面4个数中为“完美数”的是（   ） A．200 B．202 C．210 D．230 【答案】A 【分析】本题考查整式混合运算的应用，根据题意可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数），即得这个“完美数”为，即为8的倍数，从而即可求解． 【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”， ∴可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数）， ∴这个“完美数”为 ∴这个“完美数”为8的倍数． 观察各选项可知只有200是8的倍数， ∴这4个数中200是“完美数”． 故选：A． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是（   ） A．15 B．10 C．30 D．20 【答案】A 【分析】设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则，然后表示阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案． 【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则， 阴影部分的面积是： ， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，关键是正确运用算式表示出阴影部分面积． 2．（23-24七年级·湖南株洲·期末）如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积即可得解． 【详解】阴影部分的面积＝， 故答案为 【点睛】本题考查了整式的混合运算：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（，是整数）的式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以是“完美数”；再如：因为（，是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)试判断（，是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (2)已知（，是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】(1)是“完美数”，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了整式的运算，运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据新定义“完美数”，将原式整理为两个平方和的形式，即可获得答案； （2）运用完全平方公式将整理为，再根据“完美数”的定义计算即可获得答案． 【详解】（1）解：∵ ， ∴是“完美数”； （2）∵ ， 又∵为“完美数”， ∴，解得． 【经典例题八 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例8】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，弄懂题意找到拼成正方形的面积等于各类卡片面积之和再结合完全平方式的特点是解题关键． 由题意可知拼成正方形的面积等于各类卡片面积之和，列出完全平方式即可推出答案． 【详解】解：，类卡片的面积为， 需要类卡片的张数为4张． 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．15 B．17 C．20 D．22 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式的几何意义，适当的变形是解决问题的关键．用含a，b的代数式表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可． 【详解】解：由题意可得：阴影部分面积 ； ∵，， ∴， ∴阴影部分面积． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南常德·期末）图中阴影部分的面积是 （用含，的代数式表示）．    【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，根据图形阴影部分面积大正方形面积减去小正方面积即可，熟练掌握完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】解：阴影部分的面积是， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法；借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题： 图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)图②中的阴影部分的正方形边长为_________； (2)观察图②，写出关于代数式，之间的一个代数恒等式：________； (3)观察图③，请将多项式因式分解：_______﹔ (4)根据(3)题中的等量关系，解决下列问题：若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】此题考查了列代数式，完全平方公式与图形面积，因式分解的定义，完全平方公式变形求值； （1）根据题意，求得阴影部分正方形的边长，即可求解； （2）求得大正方形的面积和四个小长方形的面积，即可得出恒等式； （3）根据图3可得大长方形的面积等于2个大正方形和1个小正方形加上3个长方形的面积，即可求解； （4）根据（2）的结论，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，阴影部分正方形的边长为， 故答案为：． （2）②大正方形的面积为， 四个长方形的面积为：， 则阴影部分的面积为 ∴ （3）解：由图3可得，大长方形的面积可以表示为或， ∴ （4）由（2）得 ∵， ∴ ∴ 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）不论a，b为何实数，的值（   ） A．总是正数 B．总是负数 C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，将代数式进行配方后，判断符号即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， 即：的值总是正数； 故选A． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则m的值是（    ）． A．6或 B．10或 C．或10 D．或6 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式：利用完全平方公式得到或，从而得到，然后解关于的方程． 【详解】解：是一个完全平方式， 或， ， 或． 故选：C． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期中）设是从1，0，这三个数取值的一组数，若，，则中为0的个数（    ）个 A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了数字类变化规律、利用完全平方公式进行计算，由题意结合完全平方公式得出，设有个，个，个，则，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 设有个，个，个， ， ， 中为0的个数为个， 故选：B． 4．（2024·湖南常德·一模）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形如图②，上述操作所能验证的数学恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积， 矩形的面积 故． 故选：D． 5．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况． 【详解】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形， ∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况； （注意每一种卡片至少用1张，至多用10张） 即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张； （a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张； （a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张； （2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张； （2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张； （3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张； 故选：C． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是解题的关键． 6．（2024·湖南株洲·二模）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式有两种形式是：，因为是完全平方式，并且两个平方项分别是和，所以可得，可得． 【详解】解：是完全平方式， ， ， ． 故答案为： ． 7．（23-24七年级下·湖南常德·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式对每一个式子因式分解，再把结果相乘即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）某种商品进价为元/件，在销售旺季，商品售价较进价高；销售旺季过后，商品又以七折的价格开展促销活动．这时一件商品的售价为 元． 【答案】0．98a 【分析】根据题意列出相关的代数式即可． 【详解】根据题意，这时一件商品的售价为 故答案为：0．98a． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握整式的性质以及运算法则是解题的关键． 9．（2019·湖南株洲·一模）如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a>b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是 （用含a，b的等式表示）． 【答案】 【分析】根据阴影部分面积的不同表示方法，图中阴影部分的面积是：a2-b2，阴影部分的面积是：a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b），即可得到乘法公式． 【详解】解：图中阴影部分的面积是：a2-b2， 阴影部分的面积为：a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b）， ∴a2-b2=（a+b）（a-b）． 故答案为a2-b2=（a+b）（a-b）． 【点睛】本题主要考查了平方差公式几何背景．利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式． 10．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）有两个正方形 A，B，现将 B 放在 A 的内部如 图甲，将 A，B 并排放置后构造新的正方形如 图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形 A，B 的面积之和为 ．    【答案】3 【分析】设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，进而即可求解． 【详解】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则 图甲中阴影部分面积为 图乙中阴影部分面积为 ∴ ∴ ∴． 故答案为：3 【点睛】本题考查完全平方公式，整式乘法；掌握完全平方公式是解题的关键． 11．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； （2）利用平方差公式计算即可． 本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，在理数的运算，熟练掌握完全平方式是解题的关键． （1）根据规定直接计算求值； （2）先利用新定义计算，之后配方成完全平方公式，即可得到答案； （3）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出． 【详解】（1）解：； （2）解：， 是完全平方式， ； （3）解： ， ， ， ， ． 13．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 【答案】(1)2；6 (2)6 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 14．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． （1）根据图形，正方形的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差； （2）正方形可以直接用边长的平方求解，也可用阴影正方形的面积加上四个小长方形的面积，由此解答即可； （3）先求得，再利用（2）中的结论求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）由图可知 正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为； 故答案为：； （2），理由如下： 由图可知： 正方形的面积为，也等于4个长为m，宽为n的长方形与边长为的阴影部分正方形面积的和，即为， 故得到 （3） ， 又 由（2）得： 15．（24-25七年级下·全国·期末）[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 【答案】(1) (2)①130；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． （1）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可； （2）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据，得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①． 因为， 所以， 即， 所以， 所以． ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$