专题02 单项式与多项式的乘法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题02 单项式与多项式的乘法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式——化简求值 题型十 多项式乘多项式与图形面积 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 题型十二 整式乘法混合运算 知识点01 单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 知识点02 单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 知识点03 多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（23-24七年级下·湖南怀化·期末）下列运算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项的方法，单项式的乘法，同底数的幂相乘，幂的乘方，积的乘方的性质，即可得答案． 【详解】解：A、3a+a=4a，故此选项错误，不符合题意； B、3a3⋅2a=(3×2)(a3⋅a)=6a4，故此选项错误，不符合题意； C、(a2)3=a2×3=a6，故此选项错误，不符合题意； D、(−3a)3=(−3)3a3=−27a3，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方的积的乘方的性质等知识点，解题的关键是熟记以上运算法则和性质． 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可求出a和b，再利用单项式乘以单项式计算结果即可． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， 则这两个单项式分别为：，， ∴它们的积为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查同类项的概念、单项式乘以单项式，掌握同类项的概念是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）计算：= ；= ． （﹣2x3y2）•（3x2y）= 【答案】 a12 ; 【分析】根据幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、单项式乘单项式的法则逐一进行计算即可得. 【详解】：=a12， =， (﹣2x3y2)•(3x2y)=， 故答案为a12，， . 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算：． 【答案】0 【分析】根据积的乘方，单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m，n的值，即可解答． 【详解】[解析]∵，∴， ，∴，，∴， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是确定m，n的值． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有，例如：，由此可知等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的混合运算，读懂题目中定义的新运算是解题的关键． 1．（2024·湖南岳阳·一模）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案要7枚棋子，摆第2个图案要19枚棋子，摆第3个图案要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第7个图案要棋子的数量为（    ） A．221牧 B．363枚 C．169枚 D．251枚 【答案】C 【分析】本题考查图形类数字规律，根据已有图形，推出第个图案需要的棋子数，进而求出第7个图案需要的棋子数即可． 【详解】解：摆第1个图案要枚棋子； 摆第2个图案要枚棋子； 摆第3个图案要枚棋子； ∴摆第个图案要枚棋子； ∴摆第7个图案要棋子的数量为枚棋子； 故选C． 2．（23-24七年级下·娄底·开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．    【答案】 【分析】图（1）中只有一层，有一个正方体，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有，依此类推出第n层正方体的个数，即可推出当有n层时总的正方体个数． 【详解】解：经分析，可知：第一层的正方体个数为， 第二层的正方体个数为， 第三层的正方体个数为， …… 第n层的个数为：， 第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为： ． 故答案为： 【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方体共增加了个，将n层的小正方体个数相加即可得到总的小正方体个数． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）定义一种新运算“”，满足，如：． (1)计算： ； (2)求的值； (3)等式“”是否成立？请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据题干提供的信息列式计算即可； （3）根据题干提供的信息分别求出等式左边和等式右边的值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：5． （2）解： ； （3）解：成立；理由如下： 左边 ， 右边 所以左边右边，所以原等式成立． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，整式混合运算的应用，解题的关键是正确理解新运算法则，准确计算． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例4】（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）某些代数恒等式可用几何图形的面积来验证，如图所示的几何图形的面积可验证的代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各个部分的面积与总面积之间的关系可得答案． 【详解】解：整体是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a（a+b）， 四个部分的面积和为， 因此有2a（a+b）=2a2+2ab． 故选:A． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式的几何背景，掌握单项式乘以多项式是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是得出正确答案的关键． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，正方形ABCD的边长为5，则△DEK的面积为（    ） A．16 B．9 C．10 D．25 【答案】A 【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形PFRK的边长为c，可得三角形DEK的面积=正方形ABCD的面积+正方形BEFG的面积+梯形EKPF的面积-三角形ADE的面积-三角形DCG的面积-三角形GPK的面积，再列式进行计算即可． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形PFRK的边长为c，则 三角形DEK的面积=正方形ABCD的面积+正方形BEFG的面积+梯形EKPF的面积-三角形ADE的面积-三角形DCG的面积-三角形GPK的面积， 故选：A 【点睛】本题考查的是利用割补法求解图形面积，同时考查的是整式的乘法运算，加减运算，理解题意列出正确的运算式是解本题的关键． 2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）根据如图所示的，，三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是 ．    【答案】 【分析】首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， 第个图中平行四边形的个数是， 因此第个图中平行四边形的个数是个； 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为，是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）将7张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； (3)当时，若的值与m无关，则a，b满足怎样的数量关系？ 【答案】(1)300 (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是观察图形，表示出长方形的长和宽． （1）观察图形，求出长方形的宽和长，根据面积公式求出答案； （2）观察图形，求出面积为和面积为的长方形的长和宽，列出式子，进行化简即可； （3）把代入由（2）得，然后进行化简，然后解答即可． 【详解】（1）由图形可知：长方形的宽为，长为， 长方形的面积为：， 当，，时， 长方形的面积为： ； （2）由图形可知：面积为的长方形的长为，宽为，面积为的长方形的长为，宽为， 当时， ； （3）由（2）可知：， 当时， ， 的值与无关， ，即． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 1．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】B 【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出ab，a+b，进而利用提取公因式法分解因式得出答案. 【详解】解：由边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4， .则2（a+b）=10，ab=4，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=4×5=20. 故选B. 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键. 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式法则计算即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可． 【详解】解：∵ 即 ， ∴“■”中的一项是2y． 故答案为：2y． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例6】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）在进行整式乘法运算训练时，李明出了一道题：要求计算得到的多项式不含、的一次项，其中，是常数，请你分析并求出的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为，建立关于，等式，求解得到、的值即可解决问题． 【详解】解： 因为这个多项式不含一次项 所以， 解得， 所以 故选D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于列式求解、的值是解题的关键． 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ）    A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用多项式乘法算出大长方形的面积，找出含ab项的系数，即可得解． 【详解】解：由题意可得大长方形的面积为： 可见要组成这样一个长方形，需要A类、B类卡片各2张，C类卡片5张， 故选A． 【点睛】本题考查多项式乘法的几何应用，熟练掌握多项式的乘法法则、正方形和长方形的面积求法是解题关键． 2．（23-24七年级下·湖南常德·期中）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把一个多项式乘以错抄成除以，结果得到，则该多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，根据多项式乘多项式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知该多项式为： 故答案为： 3．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）代数推理 小军对于教材36页“试一试”部分产生了浓厚的兴趣，请和他探究并完成下列问题． 发现速算从11到19这九个两位数中任何两个的乘积的方法： 第一步：把第一个因数（13）与第二个因数的个位数（2）相加：； 第二步：把第一步的结果乘以10（也就是说后面加个0）：； 第三步：把第一个因数的个位数（3）乘以第二个因数的个位数（2）：； 第四步：把第二、三两步的结果相加：． 这就是要求的计算结果，即得． 尝试（1）用上述方法，直接写出计算结果：______；______． 验证（2）设这两个两位数分别为， ①根据“发现”，直接写出这两个两位数的积：______（用含的式子表示，不需要化简）； ②说明①的正确性． 【答案】（1）272，247；（2）①；②见解析 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）直接计算即可求解； （2）①根据题干提供的方法即可填空； ②利用多项式乘多项式的乘法法则展开，即可验证． 【详解】解：尝试（1）；． 故答案为：272，247； 验证（2）①第一步：把第一个因数（）与第二个因数的个位数（b）相加：； 第二步：把第一步的结果乘以10（也就是说后面加个0）：； 第三步：把第一个因数的个位数（a）乘以第二个因数的个位数（b）：； 第四步：把第二、三两步的结果相加：． 这就是要求的计算结果，即得； ②， 又， ， 说明①的结论正确． 【经典例题七 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例7】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”、如记，；已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题中的新定义将已知等式左边化简，再利用等式左右两边相等即可求得，的值． 【详解】解：利用题中的新定义计算可知： ， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查整式的加减，根据多项式乘多项式将等式左边展开，求出，的值是解题的关键． 1．（24-25七年级下·湖南常德·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再利用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为， 由图1、图2可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形面积为： ． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）（1）填空： ； ； ； ； （2）从上面的计算中总结规律，写出下式结果： ； （3）运用上述结果，写出下列各题结果： ① ； ② 【答案】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（2）的规律即可得． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）由（1）中的计算可知，， 故答案为：； （3）①， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是利用整式的乘法中的多项式乘多项式进行类比探究，推导出规律，再根据所得规律进行代入即可． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2024年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现．结果都是7． 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将每个方框的左上角数字设为n，请用含n的式子表示你发现的规律：__________． (2)请利用整式的运算对以上规律进行证明． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）根据题意用含的式子表示其余三个数，表达规律即可； （2）根据整式乘法公式，把化简，即可证明． 【详解】（1）解：设日历中所示的方框左上角数字为，则其余三个数从小到大依次是：，，， 规律用含的式子可表示为； 故答案为：； （2）证明： ． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（　　） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则； ③； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据整式的加减混合运算即可判断①，根据整式的乘法运算即可判断②，将和代入即可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数， ∴， 解得：，说法①正确； ， ∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项， ∴， 解得，说法②错误； ， 当时，， 当时，， 则，说法③错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为5，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，根据多项式乘多项式的法则，计算后，根据不含的二次项，且一次项系数为5，得到的二次项的系数为0，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解： ， 由题意，得：，解得：， ∴； 故选D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）小林计算（其中是不为零的整数）时发现，合并同类项后会得到整式（为不大于10的整数），则的值为 ． 【答案】1或4或9 【分析】此题考查了多项式的乘法运算，根据题意可得，则，求出，根据为不大于10的整数，即可得到答案． 【详解】解： 由题意得， ∴， ∴ ∴， ∵为不大于10的整数， ∴的值为1或4或9 故答案为：1或4或9 3．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1)3 (2)是，3 (3)或7或 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； 对于（2），根据运算法则计算，并求出平衡因子； 对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值． 【详解】（1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是； （3）若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得. 所以m的值为或7或． 【经典例题九 多项式乘多项式——化简求值】 【例9】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算及求值，利用整体思想代入求值即可． 【详解】∵且， ∴，、 故选：A． 1．（24-25七年级下·广东江门·期中）如果等式成立，那么a、b的值分别是（　　） A．0， B．0，1 C．1，0 D．，0 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．将等式右边进行展开，在于左边进行对比即可得到答案． 【详解】解：由题知， ， ， 即， ，． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 3．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”． （1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为 ； （2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是 ． 【答案】 32，46 【分析】本题考查多项式乘以多项式和新定义“友谊数对”，理解和掌握新定义是解题的关键，需要学生具备一定的分析能力． （1）根据“友谊数对”的定义即可得到，，，之间满足的等量关系，化简得； （2）根据列等式，化简解方程可得的值，可得这两个两位数． 【详解】解：（1）∵和是一对“友谊数对”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵和是一对“友谊数对”，，，，，， ∴， ∴， 解得， ∴，，，， ∴两个两位数分别是，． 故答案为：，． 【经典例题十 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】（2024·湖南·一模）如图是型钢材的截面，5个同学分别列出了计算它的截面积的算式，甲：；乙：；丙：；丁：；戊：.你认为他们之中正确的是（   ） A．只有甲和乙 B．只有丙和丁 C．甲、乙、丙和丁 D．甲、乙、丙、丁和戊 【答案】C 【分析】添加不同的辅助线，将得到不同的图形，面积公式也就不一样，分情况考虑问题． 【详解】L型钢材的面积可以用5种方法求： （1）如第一个图，L的面积=左边竖着的矩形的面积+下面横着的矩形的面积=ac+（b﹣c）c； （2）如第二个图，L的面积=上边竖着的矩形的面积+下面横着的矩形的面积=（a﹣c）c+bc； （3）如第三个图，L的面积=竖着的大矩形的面积+横着的大矩形的面积﹣重叠部分的正方形的面积=ac+bc﹣c2； （4）如第四个图，L的面积=大矩形的面积﹣由辅助线构成的小矩形的面积=ab﹣（a﹣c）（b﹣c）； （5）如第五个图，L的面积=两个直角梯形的面积和（a+a﹣c）c（b+b﹣c）c（2a﹣c）c（2b﹣c）c 因此甲、乙、丙和丁是正确的． 故选C． 【点睛】本题考查了对图形的面积的求法，不同的辅助线作法对应的面积的求法不同，但结果一致． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）已知图①是长为，宽为的小长方形纸片，图②是大长方形，且边，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分面积之差为S，若BC的长度变化时，S始终保持不变，则应该满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式． 【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a， ∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC， ∴AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a， ∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab， 则3b-a=0，即a=3b． 故选D． 【点睛】此题考查了整式加减的应用，弄清题意是解本题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张． 【答案】10 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要张， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和：    (1)①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)①；②> (2)①；②正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算； ②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与无关． 【详解】（1）解：①． ② ． 因为， 所以， 所以． 故答案为①；②>． （2）①长方形纸片乙的周长为． 因为正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等， 所以正方形纸片的边长为． 故答案为； ②正确．理由：， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 【经典例题十一 多项式乘法中的规律性问题】 【例11】（23-24七年级下·湖南益阳·期末）观察下列各式： ； ； ； ； 根据上述规律计算：=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给算式得出规律，再把所求式子变形成符合规律的算式，进而利用规律求解． 【详解】解：由所给算式可得：， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式乘法中的规律性问题，能够根据所给算式得出规律是解题的关键． 1．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，首先确定含的项是的展开式中的第二项，再根据杨辉三角可得展开式中的第二项系数为n，据此可得答案． 【详解】解：由图中规律可知： 含的项是的展开式中的第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n， ∴的展开式中的第二项系数为2023， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）下面为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下面的规律，填出展开式中所缺的系数．则 ． 【答案】20 【分析】本题考查完全平方公式的拓展，观察所给图形，得出杨辉三角与展开式的系数之间的关系，即可求解．具备较好的观察分析和逻辑推理能力是解题的关键． 【详解】解：由图可知：的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和， ∴的各项系数依次为1、4、6、4、1； 的各项系数依次为1、5、10、10、5、1； ∴的系数分别为1、6、15、20、15、6、1． 故答案为：20． 3．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）观察下列各式： (1)根据以上规律，由此归纳出一般性规律： ； (2)根据上述规律，求的值； (3)根据上述规律，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其规律问题，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多，是解题的关键． （1）由规律得出的指数为，即可得出答案； （2）将写为再根据规律计算即可； （3）根据规律分别计算和 再将原式分为两部分计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由规律得：， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：∵ ． 【经典例题十二 整式乘法混合运算】 【例12】（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）将个同样大小的小正方体拼成一个（a，b，c为正整数且）的长方体，在其表面染色，在满足上述条件的各种可能拼法中，恰有一面染色的小正方体的个数的最大值与最小值分别为M，m，则（   ） A．84 B．96 C．72 D．32 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用．根据题意列式得到一面染色的正方体个数为，再根据题意得到多项式的最大值和最小值即可． 【详解】解：由题意可知，一面染色的正方体个数为，最少为0， 最大时a，b，c分别为2，8，10， 此时， ， 故选：B 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形）．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A．90 B．96 C．98 D．100 【答案】A 【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S1，S2，S3的长、宽及面积如何表示，根据2S3+S1-S2=2，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积． 【详解】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得： S1的长为：8-6=2，宽为：b-8，故S1=2（b-8）， S2的长为：8+6-a=14-a，宽为：6+6-b=12-b，故S2=（14-a）（12-b）， S3的长为：a-8，宽为：b-6，故S3=（a-8）（b-6）， ∵2S3+S1-S2=2， ∴2（a-8）（b-6）+2（b-8）-（14-a）（12-b）=2， ∴2（ab-6a-8b+48）+2b-16-（168-14b-12a+ab）=2， ∴ab-88=2， ∴ab=90． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴ ， 所以当时，的值为9． 故答案为：9． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 理解应用： (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案； （2）先把进行化简，然后计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解： ，               其值与的取值无关， ，                           解得：，                       即：当时，多项式的值与的取值无关； （2）解：，，                                ；                                   的值与无关， ，即． 【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个长方形的宽是1.5×102 cm，长是宽的6倍，则这个长方形的面积(用科学记数法表示)是（      ） A．13.5×104cm2 B．1.35×105cm2 C．1.35×104cm2 D．1.35×103cm2 【答案】B 【分析】首先求得长方形的长,然后利用长方形的面积公式求解 【详解】长是6×1.5×10 =9×10 (cm) 则长方形的面积是 1.5×10×9×10=13.5×10=1.35×10 (cm) 故选B. 【点睛】此题考查单项式乘单项式和科学记数法一表示较大的数，解题关键在于熟练掌握运算法则 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了多项式乘多项式，多项式相等的条件，利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，再把结果和等式右边对照即可求解，掌握多项式相等即相同项的系数相等是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期中）根据，，，的规律，则的末位数字是（    ）． A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【分析】由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律即可解答． 【详解】解：由题中的规律可知，， 将代入得：， 则， 因为，，，，，， 所以的末位数字是按为一个循环的， 因为， 所以的末位数字与的末位数字相同，即为7． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）18世纪欧拉引进了求和符号“ ”（其中，且i和n表示正整数)，对这个符号我们进行如下定义： 表示 k 从 i 开始取数一直取到 n， 全部加起来， 即 ，例如∶ 当时， ，若 ，则p和m所表示的数分别为（    ） A．和9 B．和20 C．30和 D．27和 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式求和，恒等式的问题．先根据中二次项系数为3，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵中二次项系数为3， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， 故选：B． 5．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形，解题的关键是根据图形得到几何图形的面积．根据图形可直接进行求解后作出判断． 【详解】解：由图可得： 阴影部分的面积为或或； ∴不能正确表示阴影部分的面积的是C选项； 故选：C． 6．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算：3a2b•（﹣2ab3）2= ． 【答案】12a4b7． 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：3a2b•(﹣2ab3)2 =3a2b•4a2b6 =12a4b7． 故答案为：12a4b7． 【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式，积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．（23-24七年级下·湖南常德·期末）若的展开式中不含项、项（为常数），则 ． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件进行求解即可． 【详解】解： ∵展开式中不含项，项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 8．（24-25七年级下·湖南怀化·开学考试）若的展开式中不含和项，求 ， ． 【答案】 3 8 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，利用法则展开并合并同类项后，根据展开式中不含和项得到即可求出答案． 【详解】解： ∵展开式中不含和项， ∴ 解得 故答案为：3，8 9．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为的小长方形铁片，则剩余部分面积为 ． 【答案】 【分析】用大矩形的面积减去小矩形的面积得出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得剩余部分的面积为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，读懂题意，根据题意列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算是解本题的关键． 10．（2024·湖南常德·模拟预测）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为 ．(用含n的代数式表示) 【答案】2n2+2n 【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数 … 由此发现规律是： 第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数 故答案为：2n2+2n． 【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键． 11．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用以及单项式乘单项式，掌握相关运算法则进行运算，即可解题． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解； （2）根据积的乘方运算法则即可求解； （3）把转化为，再逆用同底数幂的乘法即可求解； （4）利用单项式乘单项式的法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 12．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）小刚同学计算一道整式乘法，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“＋”写成“－”，得到的结果为． (1)求的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a与b的值； （2）列出正确的算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）由题意，得 ， ； （2） ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）阅读理解： (1)计算后填空： ①______； ②______； (2)归纳、猜想后填空：（______）x＋（______）； (3)运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（______）； (4)根据你的理解，把下列多项式因式分解： ①______； ②______； 【答案】(1)①；② (2) (3) (4)①；② 【分析】利用多项式乘以多项式，计算出（1）①②，根据计算结果归纳出（2），得到（3），逆运用归纳结论作出（4）①②． 【详解】（1）解：①（x+1）（x+2）＝x2+3x+2； 故答案为：x2+3x+2； ②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3； 故答案为：x2+2x﹣3； （2）解：（x+a）（x+b）＝x2+（ a+b）x+（ ab）； 故答案为：a+b，ab； （3）解：（x﹣3）（x+m）＝x2+（m﹣3）x﹣3m； 故答案为：x2+（m﹣3）x﹣3m； （4）解：①x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）； 故答案为：（x﹣2）（x﹣3）； ②x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）． 故答案为：（x﹣5）（x+2）． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式．形如（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，反过来多项式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q），掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 14．（2024七年级下·全国·专题练习）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如： （a+b）0=1，它只有一项，系数为1； （a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； … 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）4展开式共有____项，系数分别为____； （2）（a+b）n展开式共有____项，系数和为_____．    【答案】（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1；2n． 【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题． 【详解】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，1+3=4，3+3=6，3+1=4，1， 故答案为：5；1，4，6，4，1； （2）（a+b）0=1，它只有一项，系数为1； （a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2=21； （a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4=22； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8=23；… ∴（a+b）n展开式共有n+1项，系数和为2n 故答案为：n+1；2n． 【点睛】本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，锻炼学生的思维，属于一种开放性题目． 15．（24-25七年级下·湖南永州·开学考试）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________                    方法2：_________ 数学等式：_________ (3)利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)，， (3)19 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键． （1）根据图1即可求出这个大长方形的长与宽； （2）方法1：先求出这个大正方形的边长，再利用正方形的面积公式求解即可得；方法2：根据这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和求解即可得；根据两种方法求出的面积相等即可得出数学等式； （3）将，代入（2）中的数学等式求解即可得． 【详解】（1）解：由图1可知，这个大长方形的长为，宽为， 故答案为：，． （2）解：方法1：由图2可知，这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为． 方法2：因为这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为 ． 数学等式为． 故答案为：，，． （3）解：将，代入得：， 即， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 单项式与多项式的乘法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式——化简求值 题型十 多项式乘多项式与图形面积 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 题型十二 整式乘法混合运算 知识点01 单项式与单项式的乘法 法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。 计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。 运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。 知识点02 单项式与多项式的乘法 分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。 计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。 知识点03 多项式与多项式的乘法 乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。 结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（23-24七年级下·湖南怀化·期末）下列运算正确的是(   ) A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）计算：= ；= ． （﹣2x3y2）•（3x2y）= 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算：． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有，例如：，由此可知等于（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖南岳阳·一模）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案要7枚棋子，摆第2个图案要19枚棋子，摆第3个图案要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第7个图案要棋子的数量为（    ） A．221牧 B．363枚 C．169枚 D．251枚 2．（23-24七年级下·娄底·开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．    3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）定义一种新运算“”，满足，如：． (1)计算： ； (2)求的值； (3)等式“”是否成立？请说明理由． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例4】（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）某些代数恒等式可用几何图形的面积来验证，如图所示的几何图形的面积可验证的代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，正方形ABCD的边长为5，则△DEK的面积为（    ） A．16 B．9 C．10 D．25 2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）根据如图所示的，，三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是 ．    3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）将7张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； (3)当时，若的值与m无关，则a，b满足怎样的数量关系？ 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 1．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例6】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）在进行整式乘法运算训练时，李明出了一道题：要求计算得到的多项式不含、的一次项，其中，是常数，请你分析并求出的值为（ ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ）    A．5 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·湖南常德·期中）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把一个多项式乘以错抄成除以，结果得到，则该多项式是 ． 3．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）代数推理 小军对于教材36页“试一试”部分产生了浓厚的兴趣，请和他探究并完成下列问题． 发现速算从11到19这九个两位数中任何两个的乘积的方法： 第一步：把第一个因数（13）与第二个因数的个位数（2）相加：； 第二步：把第一步的结果乘以10（也就是说后面加个0）：； 第三步：把第一个因数的个位数（3）乘以第二个因数的个位数（2）：； 第四步：把第二、三两步的结果相加：． 这就是要求的计算结果，即得． 尝试（1）用上述方法，直接写出计算结果：______；______． 验证（2）设这两个两位数分别为， ①根据“发现”，直接写出这两个两位数的积：______（用含的式子表示，不需要化简）； ②说明①的正确性． 【经典例题七 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例7】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”、如记，；已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南常德·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）（1）填空： ； ； ； ； （2）从上面的计算中总结规律，写出下式结果： ； （3）运用上述结果，写出下列各题结果： ① ； ② 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2024年1月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现．结果都是7． 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将每个方框的左上角数字设为n，请用含n的式子表示你发现的规律：__________． (2)请利用整式的运算对以上规律进行证明． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（　　） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则； ③； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为5，则的值为（   ） A． B． C． D．3 2．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）小林计算（其中是不为零的整数）时发现，合并同类项后会得到整式（为不大于10的整数），则的值为 ． 3．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【经典例题九 多项式乘多项式——化简求值】 【例9】（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 1．（24-25七年级下·广东江门·期中）如果等式成立，那么a、b的值分别是（　　） A．0， B．0，1 C．1，0 D．，0 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 3．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”． （1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为 ； （2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是 ． 【经典例题十 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】（2024·湖南·一模）如图是型钢材的截面，5个同学分别列出了计算它的截面积的算式，甲：；乙：；丙：；丁：；戊：.你认为他们之中正确的是（   ） A．只有甲和乙 B．只有丙和丁 C．甲、乙、丙和丁 D．甲、乙、丙、丁和戊 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）已知图①是长为，宽为的小长方形纸片，图②是大长方形，且边，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分面积之差为S，若BC的长度变化时，S始终保持不变，则应该满足（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和：    (1)①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【经典例题十一 多项式乘法中的规律性问题】 【例11】（23-24七年级下·湖南益阳·期末）观察下列各式： ； ； ； ； 根据上述规律计算：=（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）下面为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下面的规律，填出展开式中所缺的系数．则 ． 3．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）观察下列各式： (1)根据以上规律，由此归纳出一般性规律： ； (2)根据上述规律，求的值； (3)根据上述规律，求的值． 【经典例题十二 整式乘法混合运算】 【例12】（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）将个同样大小的小正方体拼成一个（a，b，c为正整数且）的长方体，在其表面染色，在满足上述条件的各种可能拼法中，恰有一面染色的小正方体的个数的最大值与最小值分别为M，m，则（   ） A．84 B．96 C．72 D．32 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形）．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A．90 B．96 C．98 D．100 2．（2024七年级下·全国·专题练习）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 理解应用： (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．                                                                                                                      1．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个长方形的宽是1.5×102 cm，长是宽的6倍，则这个长方形的面积(用科学记数法表示)是（      ） A．13.5×104cm2 B．1.35×105cm2 C．1.35×104cm2 D．1.35×103cm2 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南永州·期中）根据，，，的规律，则的末位数字是（    ）． A．7 B．5 C．3 D．1 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）18世纪欧拉引进了求和符号“ ”（其中，且i和n表示正整数)，对这个符号我们进行如下定义： 表示 k 从 i 开始取数一直取到 n， 全部加起来， 即 ，例如∶ 当时， ，若 ，则p和m所表示的数分别为（    ） A．和9 B．和20 C．30和 D．27和 5．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算：3a2b•（﹣2ab3）2= ． 7．（23-24七年级下·湖南常德·期末）若的展开式中不含项、项（为常数），则 ． 8．（24-25七年级下·湖南怀化·开学考试）若的展开式中不含和项，求 ， ． 9．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为的小长方形铁片，则剩余部分面积为 ． 10．（2024·湖南常德·模拟预测）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为 ．(用含n的代数式表示) 11．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）小刚同学计算一道整式乘法，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“＋”写成“－”，得到的结果为． (1)求的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． 13．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）阅读理解： (1)计算后填空： ①______； ②______； (2)归纳、猜想后填空：（______）x＋（______）； (3)运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（______）； (4)根据你的理解，把下列多项式因式分解： ①______； ②______； 14．（2024七年级下·全国·专题练习）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如： （a+b）0=1，它只有一项，系数为1； （a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； （a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； … 根据以上规律，解答下列问题： （1）（a+b）4展开式共有____项，系数分别为____； （2）（a+b）n展开式共有____项，系数和为_____．    15．（24-25七年级下·湖南永州·开学考试）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________                    方法2：_________ 数学等式：_________ (3)利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$