专题01 幂的运算重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题01 幂的运算重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 比较幂的大小 题型七 对不同底数的幂进行换底运算 题型八 积的乘方的逆用 题型九 幂的混合运算 题型十 同底数幂的乘法新定义问题 知识点01 幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 知识点02 幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 知识点03 幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 知识点04 幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如果，那么的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）已知，则的值为（   ） A．5 B．10 C．32 D．64 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简， ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）． 如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）． (1)计算以下各对数的值：log2 4= ，log2 16= ，log2 64= ． (2)观察（1）中的结果， 则log2 4、 log2 16、log2 64之间的关系是 ． (3)猜想：logaM+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）我们知道：若am=an(a＞0且a≠1)，则m=n．设5m=3，5n=15，5p=75．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n；②m+n=2p﹣1；③n2﹣mp=1．其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）某户居民家的水龙头有漏水现象，据观察，1分钟漏水40滴，若一年（按365天计算）由于这种现象而浪费的水的质量为千克，则1滴水的质量为多少克？（结果用科学记数法表示） 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】（23-24七年级下·湖南永州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）下列算式中，正确的算式有（    ） ①；②；③； ④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）计算： = ． 3．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）已知，，那么的计算结果是（    ） A．600 B．625 C．675 D．695 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 3．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【经典例题六 比较幂的大小】 【例6】（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）比较，，的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南常德·开学考试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”）． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【经典例题七 对不同底数的幂进行换底运算】 【例7】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知均为正整数，且满足，则取值不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（2024·湖南永州·模拟预测）若，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）已知，，且，则的值是 ． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． 【经典例题八 积的乘方的逆用】 【例8】（24-25七年级下·湖南永州·期中）计算的结果是（    ） A．4 B． C．0.25 D． 1．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）若a与b互为倒数，的结果是（　　） A． B．a C． D．1 2．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中） ． 3．计算：． 【经典例题九 幂的混合运算】 【例9】（24-25七年级下·湖南湘潭·课后练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·湖南怀化·模拟预测）若，，则 ． 3．（24-25七年级下·湖南张家界·模拟预测）计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【经典例题十同底数幂的乘法新定义问题 】 【例10】（2024七年级下·全国·专题练习）对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 1．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）我们定义一个新运算：，如，那么为（    ） A． B． C． D．32 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读理解： 乘方的定义可知：an＝a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： 32×35＝（3×3）×（3×3×3×3×3）＝3×3×…×3＝37（7个3相乘） 42×45＝（4×4）×（4×4×4×4×4）＝4×4×…×4＝47（7个4相乘） 52×55＝（5×5）×（5×5×5×5×5）＝5×5×…×5＝57（7个5相乘） （1）20172×20175＝　 　； （2）m2×m5＝　 　； （3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）计算的结果是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南株洲·模拟预测）若，则k与m（k，m都为正整数，且）的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南永州·模拟预测）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）． A．512 B．128 C．64 D．32 6．（24-25七年级下·湖南常德·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 8．（23-24七年级·湖南邵阳·阶段练习）已知幂的运算有如下转换：（其中，且，），例如，；，则 ． 9．（24-25七年级下·全国·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 10．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）规定．若，求的值． 12．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 13．（2024七年级下·全国·专题练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算的值． 14．（2024·湖南株洲·一模）有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的沙漏形”的个数为（n为自然数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示）； (2)若，计算：； 15．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 比较幂的大小 题型七 对不同底数的幂进行换底运算 题型八 积的乘方的逆用 题型九 幂的混合运算 题型十 同底数幂的乘法新定义问题 知识点01 幂的定义 如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。 知识点02 幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 知识点03 幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 知识点04 幂的运算顺序 在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如果，那么的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】利用同底数幂的乘方的法则对式子进行整理，即可得到关于n的方程，即可求解． 【详解】∵a2n-1an+5=a16， ∴a2n-1+n+5=a16， 即a3n+4=a16， ∴3n+4=16， 解得：n=4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则． 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）已知，则的值为（   ） A．5 B．10 C．32 D．64 【答案】B 【分析】利用同底数幂的乘法计算，可得到结果. 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选择：B. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；掌握同底数幂运算法则是解决本题的关键. 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简， ． 【答案】 【分析】先具体计算出 得出面积规律，表示，再设①，两边都乘以，得到 ②，利用①②，求解，从而可得答案． 【详解】 设① ② ①②得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）． 如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）． (1)计算以下各对数的值：log2 4= ，log2 16= ，log2 64= ． (2)观察（1）中的结果， 则log2 4、 log2 16、log2 64之间的关系是 ． (3)猜想：logaM+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想． 【答案】(1)2；4；6 (2)log24+log216=log264； (3)logaM+logaN=loga（MN）．证明见解析 【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案； （2）观察可得：三数2，4，6之间满足的关系式为：log24+log216=log264； （3）根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】（1）解：log24=2；log216=4；log264=6， 故答案为：2；4；6． （2）解：∵2+4=6， ∴log24+log216=log264． （3）解：logaM+logaN=loga（MN）． 证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N， 故可得MN= ab1• ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN）， 即logaM+logaN=loga（MN）． 【点睛】本题考查整式的混合运算、同底数幂的乘法，对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）我们知道：若am=an(a＞0且a≠1)，则m=n．设5m=3，5n=15，5p=75．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n；②m+n=2p﹣1；③n2﹣mp=1．其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法公式即可求出m、n、p的关系． 【详解】解：∵5m=3， ∴5n=15=5×3=5×5m=51+m， ∴n=1+m， ∵5p=75=52×3=52+m， ∴p=2+m， ∴p=n+1， ①m+p=n﹣1+n+1=2n，故此结论正确； ②m+n=p﹣2+p﹣1=2p﹣3，故此结论错误； ③n2﹣mp=(1+m)2﹣m(2+m) =1+m2+2m﹣2m﹣m2 =1，故此结论正确； 故正确的是：①③． 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，求出原来三袋中小球的个数的平均数，即为最终三只袋中小球的个数，进而求出，将相乘即可得出结果． 【详解】解：最终每只袋中小球的个数为：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 【答案】128 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：（个），丙袋：（个）， 一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个）， ，， ，， ， 故答案为：128． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①1 ②，知识拓展： 【分析】(1)根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． (2)根据同底数幂的乘法的逆运算，再按照分数乘法计算即可． (3)根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． 【详解】①， ②， 知识拓展：， ． 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 【答案】C 【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算，最后再化成科学记数法即可得解． 【详解】解：(7×106)(5×105)(2×10) ＝(7×5×2)×(106×105×10) ＝7×1013 所以，a＝7，n＝13． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键． 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】9 500 000 000 000×4.2=39900000000000≈40000000000000=4×1013． 故选A． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 【答案】 【分析】根据路程=速度×时间，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： （米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）某户居民家的水龙头有漏水现象，据观察，1分钟漏水40滴，若一年（按365天计算）由于这种现象而浪费的水的质量为千克，则1滴水的质量为多少克？（结果用科学记数法表示） 【答案】5×10－2克． 【分析】根据每天的时间进而得出每年的时间，求出水滴的总数进而得出1滴水的质量． 【详解】∵1分钟漏水40滴，若一年（按365天计算）由于这种现象而浪费的水的质量为1.0512×103千克， ∴1滴水的质量为：1.0512×103×1000÷(24×60×40×365)=0.05=5×10-2（克）， 答：1滴水的质量为5×10-2克． 【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数的计算，得出每年的水滴数是解题关键． 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】（23-24七年级下·湖南永州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂相乘的运算法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原选项不正确，不符合题意； B. ，原选项不正确，不符合题意； C. ，原选项不正确，不符合题意； D. ，原选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，解决问题的关键是熟练掌握同底数幂相乘的运算法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）下列算式中，正确的算式有（    ） ①；②；③； ④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，熟记运算法则是解题的关键，根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方进行计算即可得出答案． 【详解】解：①，正确； ②，错误； ③，正确； ④，错误； ⑤，正确； ⑥，错误； 综上分析可知：正确的算式为3个． 故选: C． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）计算： = ． 【答案】 【分析】根据积的乘方运算以及幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式运算，涉及到积的乘方运算以及幂的乘方运算，熟练掌握整式运算的法则是解决问题的关键． 3．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）已知，，那么的计算结果是（    ） A．600 B．625 C．675 D．695 【答案】C 【分析】逆用同底数幂的乘法以及积的乘方法则进行化简，再将，代入计算求解即可． 【详解】解：， 将，代入可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值、同底数幂的乘法以及积的乘方的法则，将进行转化再代入已知代数式的值求解是解题的关键． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，将原方程化为，得到，，再根据a，b，c为正整数，求出a，c的值，进而求出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴，， ∵a，b，c为正整数， ∴当时，；则有：； 当时，；则有：； 当时，，则有：； ∴不可能为8． 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 3．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 【经典例题六 比较幂的大小】 【例6】（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）比较，，的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将这三个数化成相同指数的形式，然后比较底数的大小即可； 【详解】解： 因为 所以 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算；熟练掌握幂的乘方的运算技巧是解题的关键． 1．（23-24七年级下·湖南常德·开学考试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘法把、、化为指数都为11的幂，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511， 而125＜243＜256， 所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整数）． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，先把两个数字指数化成一样，再比较底数大小即可． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 【经典例题七 对不同底数的幂进行换底运算】 【例7】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知均为正整数，且满足，则取值不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，将原式化为，进而可得，，分类讨论：当时，和当时，和当时，，进而可求得的可能值，进而可求解，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ，即：， ，， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 则取值不可能是5， 故选A． 1．（2024·湖南永州·模拟预测）若，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】逆用幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分数指数幂及其运算法则，解题关键是理解指数幂的运算法则． 2．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）已知，，且，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及其逆用、幂的乘方；由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：1． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． 【答案】(1)3，2 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． （1）根据题中规定的新运算结合有理数的乘方求解即可； （2）设，，根据同底数幂的乘法可得，然后结合题中规定的新运算即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：3，2； （2）解：设，，则， ∴，，， ∴． 【经典例题八 积的乘方的逆用】 【例8】（24-25七年级下·湖南永州·期中）计算的结果是（    ） A．4 B． C．0.25 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，将拆成，再根据积的乘方进行计算即可 【详解】解： 故选：B 1．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）若a与b互为倒数，的结果是（　　） A． B．a C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的意义和积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键； 依据倒数的定义可得到，然后逆用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】a与b互为倒数， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．根据已知适当变形再逆用积的乘方即可求解． 【详解】解：原式＝ ＝ ； 故答案为： 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，先将带分数化为假分数，再利用积的乘方法则计算即可．解题的关键是掌握积的乘方运算法则的运用． 【详解】解： ． 【经典例题九 幂的混合运算】 【例9】（24-25七年级下·湖南湘潭·课后练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算．根据幂的运算法则，逐一计算后，判断即可．掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确； 故选D． 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】A、，此项符合题意； B、，此项不符合题意； C、， 此项不符合题意； D、，此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 2．（2024七年级下·湖南怀化·模拟预测）若，，则 ． 【答案】12 【分析】逆用同底数幂的乘法，即，然后把已知条件中的数值代入即可． 【详解】解：原式 ，． 原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、乘方，解题的关键是正确逆用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式． 3．（24-25七年级下·湖南张家界·模拟预测）计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整式的化简求值： （1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可求解； （2）把 作为一个整体，根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （3）先算括号内的同底数幂乘除法，幂的乘方和积的乘方，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式 【经典例题十同底数幂的乘法新定义问题 】 【例10】（2024七年级下·全国·专题练习）对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【详解】，，． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）我们定义一个新运算：，如，那么为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据新定义运算，列出算式，再根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【详解】解：由题意得：=， 故选A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘方法则，熟练掌握上述法则，是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．设，，，易得，，，且，然后根据，即可求得的值． 【详解】解：设，，， 则有，，，且， ∴，即有． 故答案为：30． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读理解： 乘方的定义可知：an＝a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： 32×35＝（3×3）×（3×3×3×3×3）＝3×3×…×3＝37（7个3相乘） 42×45＝（4×4）×（4×4×4×4×4）＝4×4×…×4＝47（7个4相乘） 52×55＝（5×5）×（5×5×5×5×5）＝5×5×…×5＝57（7个5相乘） （1）20172×20175＝　 　； （2）m2×m5＝　 　； （3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017． 【答案】（1）20177;（2）m7;（3）﹣24033． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（2）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（3）根据同底数幂的乘法可以解答本题． 【详解】解：（1）20172×20175＝20177， 故答案为20177； （2）m2×m5＝m7， 故答案为m7； （3）（﹣2）2016×（﹣2）2017 ＝（﹣2）2016+2017 ＝（﹣2）4033 ＝﹣24033． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解答本题的关键是明确同底数幂乘法的计算方法． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）计算的结果是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，先根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可求出答案． 【详解】解： 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则、正确变形是解题关键． 利用幂的乘方逆运算法则把a、b、c都化成底数为2的形式，再比较即得答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2024·湖南株洲·模拟预测）若，则k与m（k，m都为正整数，且）的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据幂的意义得出，然后利用幂的乘方可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·湖南永州·模拟预测）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案． 【详解】解：由题意得：这组数据的和为： ∵， ∴原式=, 故选：A． 【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）． A．512 B．128 C．64 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，先表示出调整后三个袋子中的球的数量，再根据球的总数和三只袋中球的个数相同得到，，则，，  再由进行求解即可． 【详解】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球． ∵一共有球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有（个）球， ∴，， ∴，，     ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级下·湖南常德·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）若，，其中m，n为正整数，则 ．（用含有a，b的式子表示） 【答案】/ 【分析】此题考查整式的乘法公式—幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆用，根据幂的乘方逆运算将整式变形，代入，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为． 8．（23-24七年级·湖南邵阳·阶段练习）已知幂的运算有如下转换：（其中，且，），例如，；，则 ． 【答案】2 【分析】设，根据题意可得：，根据同底数幂的乘法的逆用可得，从而求出a＋b的值，然后代入即可． 【详解】解：设 根据题意可得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是幂的逆运算，读懂转化方法和掌握同底数幂的乘法是解决此题的关键． 9．（24-25七年级下·全国·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 【答案】32 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 10．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 【答案】 220 333300 【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案； （2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 原式 ， 故答案为：220； （2）， ， 原式 ， 故答案为：333300． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）规定．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法，由新定义得，进而由同底数幂的乘法可得，据此即可求解。理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)27； (2)32； (3)． 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）将式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）由题意可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 13．（2024七年级下·全国·专题练习）为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算的值． 【答案】 【分析】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．设，求出，用，求出的值，进而求出S的值． 【详解】解：设， 则， ， ， ， 即． 14．（2024·湖南株洲·一模）有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的沙漏形”的个数为（n为自然数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示）； (2)若，计算：； 【答案】(1)31； (2) 【分析】（1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，然后代入式子中进行求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有个“沙漏型”， 第二个图形有个“沙漏型”， 第三个图形有个“沙漏型”， …．． 由此可得到规律，第n个图形有个图形，即 ∴， 故答案为：31；； （2）解：∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． 15．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$