高二入学学情摸底测试（考试范围：苏教版2019选择性必修第一册）-2024-2025学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

高二入学学情摸底测试 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．880 B．440 C．220 D．110 3．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 6．已知点是抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足.则的面积为（   ） A．4 B． C．8 D．16 7．若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的周长为7 D．若，则的离心率为 10．已知函数，则下列选项中正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在的值域为 C．函数在点处的切线方程为 D．关于的方程有2个不同的根当且仅当 11．已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．当时，数列是常数列 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．圆 与圆相切、求实数的值 13．椭圆与双曲线有相同的焦点，点为的一个公共点，则 . 14．已知为实数，，若恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 16．已知数列是首项为4，公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，，若是等差数列，求的值. 17．已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值． 18．已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 19．已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二入学学情摸底测试 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为直线的倾斜角为，且过点， 所以直线的方程为， 当时，. 故选：D. 2．已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．880 B．440 C．220 D．110 【答案】B 【详解】由可得， 则. 故选：B. 3．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 4．若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线距离为，弦长， 所以， 解得. 故选：C 5．在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 6．已知点是抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足.则的面积为（   ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】C 【详解】抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且， 过点作准线的垂线，垂足为，则，所以， 则，所以， 所以为等腰直角三角形，所以也为等腰直角三角形，且腰长为， 所以该三角形的面积为. 故选：C． 7．若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，， 若函数在区间上有极值点， 则在区间内有零点， 由可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C． 8．定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则“椭圆”方程是，即， 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为，换为可得，即，所以“椭圆”关于原点对称； 研究“椭圆”在第一象限图象， 当时方程为，是一条线段，端点坐标分别为，， 当时方程为，表示一条线段，端点坐标分别为，， 结合曲线的对称性，“ 椭圆”大致图象如图： 四边形是直角梯形，上底长为，下底长为，高为， 所以梯形面积为， 所以“椭圆”面积为 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出“椭圆”的方程，结合其对称性，只需分析在第一象限部分的情形. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的周长为7 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【详解】对于A：当，则曲线，表示焦点在轴上的椭圆，则，故A正确； 对于B：当，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，则，故B正确； 对于C：当，则曲线，表示焦点在轴上的椭圆，则， 又，所以的周长，故C错误； 对于D：当，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线， 则，，所以的离心率，故D正确. 故选：ABD 10．已知函数，则下列选项中正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在的值域为 C．函数在点处的切线方程为 D．关于的方程有2个不同的根当且仅当 【答案】BC 【详解】对于A，，，则在上单调递减，故A错误； 对于B，由A分析，，则在上单调递增， 则， 故函数在上的值域为； 对于C，由题，， 则点处的切线方程为，故C正确； 对于D，即图象与直线有两个交点，由上述分析可得大致图象如下， 则要使图象与直线有两个交点，，故D错误. 故选：BC 11．已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．当时，数列是常数列 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为10 【答案】ACD 【详解】A：若数列是递增数列，则当时，， 因为，所以，故A正确； B：， 因为，所以数列不是常数列，故B错误； C：因为当时，， 故存在，使得恒成立，故C正确； D：因为，若， 则，， 所以，所以，，，， 所以，，则使得成立的的最大值为10，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．圆 与圆相切、求实数的值 【答案】和. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为2，圆心距为 若两圆相外切，则圆心距，即， 若两圆相内切，则圆心距，即， 所以实数的值为和. 故答案为：和. 13．椭圆与双曲线有相同的焦点，点为的一个公共点，则 . 【答案】2 【详解】如下图所示： 依题意由椭圆定义可得，所以； 即； 依题意由双曲线定义可得，所以； 即； 因此可得； 又易知，即可得； 因此 . 故答案为：2 14．已知为实数，，若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，函数与在上单调递增， 且函数的值域为，，不等式恒成立， 当且仅当函数与有相同的零点，因此， 由得，，由得，于是， 则，，令， ，， 当时，，当时，， 因此函数在上递减，在上递增， 当时，， 从而得的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意作出示意图如图，作出边上的高，边上的高， 即直线方程为，直线方程为, 联立，解得； 故垂心的坐标为 （2）连接并延长交于点， 由（1）可知，； 易知，设直线的方程为， 将代入可得，即直线的方程为； 联立，解得，即； 所以直线的方程为，即； 设点的对称点，则，且的中点在直线上， 又，所以，整理得，解得； 即; 所以点到直线的距离为. 16．已知数列是首项为4，公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，，若是等差数列，求的值. 【答案】(1) (2)1或. 【详解】（1）因为是首项为4，公差为2的等差数列， 所以. 由， 相加，得， 又，所以当时，， 又符合上式， 所以. （2）（方法一）由（1）知，. 因为是等差数列，所以可设， 则，即对任意恒成立， 所以， 解得或，即的值为1或. （方法二）由（1）知，. 因为是等差数列，所以， 即，化简得，解得或. 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意. 所以的值为1或. 17．已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点， 当时，，当时，，则，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． 因为，所以椭圆的离心率为． （2） 由（1）知直线的斜率为， 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去得，则． 因为，，所以， 因为， 且，所以， 所以，即为定值． 18．已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为数列的前项和为，且， 所以①， 当时，，解得， 当时，②， ①②得，所以，即， 即，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列. （2）因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，则， 所以，， 所以，， 则， 令③， 所以，④， ③④得， 所以，，故. 19．已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又在处的切线与直线垂直，所以， 即，所以. （2），. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，得，又，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由，得在上恒成立. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则在上恒成立. 令，， 则 . 因为，所以，则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$