高一入学学情摸底测试（考试范围：高一全部内容）-2024-2025学年高一数学下学期重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

高一入学学情摸底测试 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．已知圆心角为的扇形的半径为2，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ）． A．， B．， C．， D．， 5．定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，其中为自然对数的底数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 8．已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 10．设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为3 D．若恒成立，则的最大值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．化简： ． 13．根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中为饱和度，为初始值，此后第年底新能源汽车的保有量为（单位：万辆），为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约 万辆.（结果四舍五入保留到整数；参考数据：） 14．设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知全集，集合，集合 (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 16．已知函数． (1)求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； (2)若，求实数的取值范围． 17．南通市是驰名中外的“狼山鸡”的故乡，狼山鸡肉质鲜美、香气浓郁、致密嫩滑，用狼山鸡为原料烹制的菜肴，滋味美不胜收.通过调查某狼山鸡个体销售点自立冬以来的日销售情况，发现：在过去的一个月内（以30天计），每公斤的销售价格（单位：元）与时间（取整数，单位：天）的函数关系近似满足：，日销售量（单位：公斤）是时间（取整数，单位：天）的函数，统计得到以下五个点在函数的图象上：、、、、. (1)某同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：①    ②    ③    ④结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式和定义域； (2)在（1）的条件下，设该狼山鸡个体销售点日销售收入为（单位：元），求的最大值. 18．已知函数恒成立，且的最小值为为奇函数. (1)求函数的解析式与单调增区间； (2)若函数的图象与函数的图象关于原点对称，求在上的最大值和最小值. 19．若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一入学学情摸底测试 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 2．已知圆心角为的扇形的半径为2，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，该扇形的弧长， 所以该扇形的面积. 故选：B. 3．下列函数既是奇函数又在区间上递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数定义域为，奇函数，在上单调递减； 对于B，函数定义域为，偶函数，在上单调递减； 对于C，函数定义域为，奇函数，在上单调递增； 对于D，函数定义域为，奇函数，在上单调递减. 故选：C. 4．函数的定义域为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由题意可得：，且， 即， ∴，． 故选：C． 5．定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为且，都有， 所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减，又，所以， 所以当或时，，当或时，， 不等式，即或， 解得或， 所以满足不等式的实数的取值范围为. 故选：D 6．已知函数，其中为自然对数的底数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，作出函数的大致图象如图： 由有三个不同的零点，即函数的图象与有三个不同的交点， 结合图象，可得，即实数的取值范围是 故选：D 7．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【答案】D 【详解】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D 8．已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，a不等于0时，, 当得， 二次函数没有最大值，有最小值， 没有最大值，有最小值，不合题意. 当得，，二次函数没有最大值，有最小值， ,没有最大值，没有最小值， 当得，二次函数有最大值，没有最小值， ,有最大值，没有最小值，不合题意. 当无解. 当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。 对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确. 对于选项C：当时，，故C错误. 对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：ABD 10．设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：ACD 11．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为3 D．若恒成立，则的最大值为6 【答案】ABD 【详解】因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确； 设，则， 因为，所以.因为，，所以，因此， 所以，故在上单调递增，故B正确； 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 两边同时平方，整理得，故，故无最小值，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，所以， 故可整理为， 令，则，故在上恒成立. 因为，当且仅当时取等，故，即的最大值为6.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．化简： ． 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 13．根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中为饱和度，为初始值，此后第年底新能源汽车的保有量为（单位：万辆），为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约 万辆.（结果四舍五入保留到整数；参考数据：） 【答案】36 【详解】根据题意，所给模型中， 则2030年底该省新能源汽车的保有量为， 因为，所以， 所以， 所以2030年底该地区新能源汽车的保有量约36万辆. 故答案为：36. 14．设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴，即， ∵，∴， ∴，即，即， 结合，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知全集，集合，集合 (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）若，则， 因为 所以 或； （2）若是的充分条件，则， 则，解得， 所以， 即实数的取值范围为 16．已知函数． (1)求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，为奇函数 (2) 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 判断为奇函数，证明如下：， 都有，对于， 又所以为奇函数； （2）因为为奇函数，所以， 因为，所以，即， 即，故，解，得到或， 解，得， 综上，，即的取值范围是. 17．南通市是驰名中外的“狼山鸡”的故乡，狼山鸡肉质鲜美、香气浓郁、致密嫩滑，用狼山鸡为原料烹制的菜肴，滋味美不胜收.通过调查某狼山鸡个体销售点自立冬以来的日销售情况，发现：在过去的一个月内（以30天计），每公斤的销售价格（单位：元）与时间（取整数，单位：天）的函数关系近似满足：，日销售量（单位：公斤）是时间（取整数，单位：天）的函数，统计得到以下五个点在函数的图象上：、、、、. (1)某同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：①    ②    ③    ④结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式和定义域； (2)在（1）的条件下，设该狼山鸡个体销售点日销售收入为（单位：元），求的最大值. 【答案】(1)选第②种函数模型，，定义域为； (2) 【详解】（1）由题可知，图象上五点关于对称，且不单调， 结合一次函数、指数函数与对数函数的图象与性质可知： ①、③、④都是单调函数， 故最合适的函数模型为②，此时， 将，及三点代入解析式中有： ，解得， 故，定义域为； （2）由题意及（1）可知： ， 当时，， 由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 故在或时取得最大值， 又，， 故此时； 当时，， 则为单调递增函数，故， 由， 故的最大值为. 18．已知函数恒成立，且的最小值为为奇函数. (1)求函数的解析式与单调增区间； (2)若函数的图象与函数的图象关于原点对称，求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）函数的定义域为R，由恒成立，得分别是的最小值和最大值， 由的最小值为，得，解得，则， 由为奇函数，得，而， 于是，所以， 由，得， 所以的单调增区间是. （2）由函数的图象与函数的图象关于原点对称，得， 则，当时，， 则当，即时，；当，即时，， 所以在上的最大值和最小值分别为. 19．若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 【答案】(1)直线 (2)对称中心为点，证明见解析 (3)对称中心为，理由见解析 【详解】（1）函数图象的对称轴为直线. （2）函数图象的对称中心为点，证明如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数， 故有，即，故. 又，代入化简得， 即对任意的恒成立， ，解得. 故函数图象的对称中心为点. （3）关于成中心对称.原因如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即， 即. 又，代入上式化简得 对任意的恒成立， 故，， 即. 综上所述，图象的对称中心为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$