17.2 勾股定理的逆定理 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

17.2 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 二、勾股定理逆定理的解题步骤 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤包括： 1. 先比较a,b,c的大小，找出最大边长。 2. 计算两较小边长的平方和以及最大边长的平方。 3. 比较计算结果，若相等，则是直角三角形，并且最长边所对的角是直角；若不相等，则不是直角三角形。 三、互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。 四、常见勾股数 满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。勾股数扩大相同倍数后，仍然是勾股数。常见的勾股数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等。 五、勾股定理逆定理的运用 1.判定直角三角形的形状。 2.利用勾股定理逆定理求不规则图形的面积。 3.证明线段平方和关系。 4.数形结合解决无理不等式或无理式最值问题。 5.解决图形翻折问题。 6.求立体图形表面爬行最短路径。 巩固课内例1:判断三边能否构成直角三角形 1．下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 2．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 3．如图，点是边的中点，过点作，，，，，是直角三角形吗？请通过计算说明理由． 巩固课内例2:航行问题 1．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（     ） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里 2．如图，甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行，行驶2小时后，两船相距 千米．． 3．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 类型一、在网格中判断直角三角形 1．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 类型二、方向角问题 1．已知，如图，一轮船以 16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港小时后，则两船相距（     ） A．15海里 B．20海里 C．35海里 D．40海里 2．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里． 3．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 类型一、勾股定理的逆定理求长度 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，，，则的长为 ． 3．如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 类型二、勾股定理的逆定理求角度 1．在中，，若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 3．如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，连接，求的度数． 类型三、勾股定理的逆定理求面积 1．在中，已知，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 3．如图，点D在中，，，，，． (1)求长； (2)求图中阴影部分的面积． 类型一、勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 2．一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 3．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 类型二、蚂蚁爬行问题 1．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 2．春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 3．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 类型三、最值问题 1．如图，中，，，，平分，如果分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 2．如图，中，，，，点，点分别是边，边上的动点，则的最小值是 ． 3．阅读材料并回答问题：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义可以得出，一般地，点，在数轴上，分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为，所以在平面直角坐标系中，轴上两点，，则；轴上两点，，则． (1)如图1，求证：平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：； (2)若在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，试判断的形状； (3)如图2，点，，点是轴上的动点，直接写出的最小值：________． 1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 3．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．若一个三角形的三边长a，b，c满足，则这个三角形是 ． 5．一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 6．如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 7．如图，在中，，求边上的高．    8．如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 9．数学活动课上，小慧同学用剪刀剪出一个纸片，如图（1）所示，用直尺测量得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)小慧同学将三角形纸片折叠，使点与点重合，如图（2）所示，折痕交于点，交于点，求的长度． 10．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.2 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 二、勾股定理逆定理的解题步骤 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤包括： 1. 先比较a,b,c的大小，找出最大边长。 2. 计算两较小边长的平方和以及最大边长的平方。 3. 比较计算结果，若相等，则是直角三角形，并且最长边所对的角是直角；若不相等，则不是直角三角形。 三、互逆命题与互逆定理 1. 互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。 四、常见勾股数 满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。勾股数扩大相同倍数后，仍然是勾股数。常见的勾股数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等。 五、勾股定理逆定理的运用 1.判定直角三角形的形状。 2.利用勾股定理逆定理求不规则图形的面积。 3.证明线段平方和关系。 4.数形结合解决无理不等式或无理式最值问题。 5.解决图形翻折问题。 6.求立体图形表面爬行最短路径。 巩固课内例1:判断三边能否构成直角三角形 1．下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 2．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 3．如图，点是边的中点，过点作，，，，，是直角三角形吗？请通过计算说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．由勾股定理求得，由题意可得是的垂直平分线，得，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：是直角三角形，理由如下， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 巩固课内例2:航行问题 1．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（     ） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．首先根据路程=速度时间可得的长，然后连接，再利用勾股定理计算出长即可． 【详解】解：连接， 由题意得：（海里），（海里），， ， （海里） 故选：C． 2．如图，甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行，行驶2小时后，两船相距 千米．． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，连接，首先求出和的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设行驶小时后，甲船行驶到处，乙船行驶到B处，连接， ∵甲船以20千米/时的速度从港口A向正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行， ∴，千米，千米， ∴（千米）． ∴行驶小时后，两船相距千米， 故答案为：． 3．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】9海里/时 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理，列出算式是关键． 先用勾股定理求出的长，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：（海里），海里， ， 在中 ∴（海里）， ∴乙船的航速是（海里/时）， 答：乙船的航速是9海里/时． 类型一、在网格中判断直角三角形 1．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可． 【详解】如图所示， 当是斜边时，由网格可得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是F点； 当是直角边，B是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是G． ∴共有6个满足条件的顶点． 故选：B． 2．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 【答案】(1)图见详解 (2)，，5 (3)直角， 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可． （2）利用勾股定理分别计算即可． （3）由勾股定理的逆定理可得，则为直角三角形，然后根据等积法可得点A到的距离． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：由勾股定理可得：，，； 故答案为，，5； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴是直角三角形， ∴点A到的距离为； 故答案为：直角，2 类型二、方向角问题 1．已知，如图，一轮船以 16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港小时后，则两船相距（     ） A．15海里 B．20海里 C．35海里 D．40海里 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，方位角问题，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，求得两艘船行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：A 2．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：16． 3．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】此题主要考查了30度直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）作，先根据30度直角三角形求出，根据等腰直角三角形的性质求出； （2）求出海里，再根据路程速度时间与7比较即可得到结论． 【详解】（1）解：过点P作于C， 在中，， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：B处距离灯塔P有海里； （2）解：∵海里，，（海里）， ∴（海里）， ∴海里， ∵轮船的航速是每小时20海里， ∴， ∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处． 类型一、勾股定理的逆定理求长度 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 2．如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 【答案】(1)是；见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理等知识；掌握这两个定理是解题的关键； （1）由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，则得长是点到直线的最短距离； （2）在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：长是点到直线的最短距离； 理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴长是点到直线的最短距离； （2）解：由（1）知，， 在中，， 由勾股定理得：； ∴点和点的距离为． 类型二、勾股定理的逆定理求角度 1．在中，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据得到是直角三角形，结合直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法，角平分线的性质，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，求出；过点作，根据角平分线的性质，勾股定理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：， ． 3．如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的对称性，即可作折叠后的； （2）根据折叠的性质，求证是等边三角形，由勾股定理逆定理得是直角三角形，得到即可求； 【详解】（1）解：以点D为圆心，分别以为半径，画弧，二弧交于点E， 连接， 则即为所求． （2）解：根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，且， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查轴对称的基本作图，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握折叠的尺规作图实质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的应用是解题关键． 类型三、勾股定理的逆定理求面积 1．在中，已知，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 2．如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 根据勾股定理可求得，再由勾股定理得逆定理可证是直角三角形，则根据即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，点D在中，，，，，． (1)求长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)24 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解答本题的关键是求出的长． （1）根据勾股定理和，，，可以先求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而根据求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 答：长是5； （2）解：，，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为24． 类型一、勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 2．一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出“电线杆、地面、拉线围成了直角三角形”，得出电线杆与地面的垂直关系即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵电线杆高，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线，拉线工人发现所用线长为， ∴， ∴电线杆、地面、拉线围成了直角三角形，电线杆与地面的线段是直角边， ∴电线杆与地面垂直， 故答案为：垂直． 3．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 【答案】(1)，理由见解析 (2)路线更短 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，分别计算两条路线的长度，即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意可知，米，米，点在点的正东方米处，即米 ∵， ∴是直角三角形，， 即； （2）由题意可知，， ∴（米）， ∴（米） 而（米） ∵， ∴路线更短 类型二、蚂蚁爬行问题 1．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短距离，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理求出即可求解，找出蚂蚁到达蜂蜜的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意得，，，， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为， 故选：．    2．春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开-路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示， 最短长度为 ， 故答案为：． 3．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 类型三、最值问题 1．如图，中，，，，平分，如果分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理逆定理，垂线段最短， 作，，再根据角平分线的性质得，进而得出的最小值是，然后根据勾股定理的逆定理说明，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】过点C作于点E，交于点M，过点M作于点N， ∵平分， ∴， ∴， ∴的最小值是. 在中，， ∴， ∴． ∴， 解得． 所以的最小值是4.8． 故选：C． 2．如图，中，，，，点，点分别是边，边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂线段最短，轴对称求线段和最值问题，勾股定理及其逆定理．作点关于的对称点，连接，，，当时，最短，根据垂线段最短以及两点之间线段最短，可知的最小值是线段的长，利用等积法即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，当时，最短， ∵中，，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴， 当三点共线时，且时，取得最小值， 如图，延长交的延长线于点， ∵，，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 3．阅读材料并回答问题：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义可以得出，一般地，点，在数轴上，分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为，所以在平面直角坐标系中，轴上两点，，则；轴上两点，，则． (1)如图1，求证：平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：； (2)若在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，试判断的形状； (3)如图2，点，，点是轴上的动点，直接写出的最小值：________． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，轴对称最短路径问题： （1）过点A作轴，过点B作轴交于C，则，进而得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用（1）所求得到，，，进而得到，则由勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形； （3）作点A关于x轴的对称点C，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，利用（1）的结论求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 1．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理进行计算即可． 【详解】解：，不可以构成直角三角形，故选项A错误； ，不可以构成直角三角形，故选项B错误； ，可以构成直角三角形，故选项C正确； ，不可以构成直角三角形，，故选项D错误； 故选C． 2．下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 4．若一个三角形的三边长a，b，c满足，则这个三角形是 ． 【答案】直角三角形 【解析】略 5．一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理；先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解． 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为：． 6．如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，在中，，求边上的高．    【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 即， ． 8．如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形，四边形的面积为 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形的面积为． 9．数学活动课上，小慧同学用剪刀剪出一个纸片，如图（1）所示，用直尺测量得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)小慧同学将三角形纸片折叠，使点与点重合，如图（2）所示，折痕交于点，交于点，求的长度． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）由折叠的性质可知，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ， ∴是直角三角形； （2）解：由折叠的性质可知， 设， 在中，， ， ， ． 10．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$