专题04 因式分解-2025年中考数学总复习（全国通用）

专题04 因式分解 1、因式分解的概念： 把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。 2、因式分解的方法： ①提公因式法： 公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。若多项式首项是负的，则公因式为负。 用各项除以公因式得到另一个式子。 ②公式法： 平方差公式：。 完全平方公式： ③十字相乘法： 利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。 对于一个二次三项式，若满足，，且，那么二次三项式可以分解为：。 当时，二次三项式是，此时只需，且，则可分解为：。 ④分组分解法： 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。（分组分解法一般针对四项及以上的多项式） 3、因式分解的具体步骤： （1） 先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。 （2） 观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。四项及以上则考虑分组分解。 （3） 检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。 在无特别说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。 【例1】（因式分解的概念） 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，理解分解因式概念是解题的关键． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 【例2】（因式分解的方法：提公因式） 分解因式：（1）；（2）. 【解析】（1）原式． （2）原式. 【例3】（因式分解的方法：公式法） 分解因式：（1）；（2）. 【解析】（1）原式 （2）原式=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2） =（mn+1）2-（m-n）2 =（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）. 【例4】（因式分解的方法：十字相乘法） 因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是提取公因式法和十字相乘法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可得出答案． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 【例5】（因式分解的方法：分组分解法） 分解因式：（1）；（2）；（3）. 【解析】（1） ； （2） ． （3） ． 【例6】（整式乘法与因式分解的综合应用） 已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不合题意； 、是整式的乘法，故不合题意； 、是整式的乘法，故不合题意； 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合题意； 故选． 2．（2024•云南）分解因式：　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】原式， 故选． 3．单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可． 【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为, 所以．和的公因式为. 故选A． 【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键． 4．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 5．下列多项式不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特征判断即可． 【详解】解：A、-x2+y2=（y+x）（y-x），故该选项不符合题意； B、-y2-2xy-x2=-（y+x）2，故该选项不符合题意； C、x2-2xy+y2=（x-y）2，故该选项不符合题意； D、x2+y2，不能用公式法分解，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特征是解题的关键． 6．（2024•广西）如果，，那么的值为　　 A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】 【解析】，， 原式 ， 故选． 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法．提出公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（2024•眉山）分解因式：　　． 【答案】． 【解析】 ． 故答案为：． 9．在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（2024春•市北区期中）计算　1　． 【答案】1． 【解析】原式 ． 故答案为：1． 11．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 12．二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 【答案】无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 13．（2024•齐齐哈尔）分解因式：． 【解析】（1）原式 ． 14．分解因式： （1）； （2）． 【解析】（1） ； （2） ． 15．（2024秋•泉州期中）分解因式： （1）； （2）． 【解析】（1） ； （2） ． 16．（2024秋•海淀区校级期中）分解因式： （1）； （2）． 【解析】（1） ； （2） ． 17．（2024春•句容市期中）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）； （2） ； （3） ； （4） ． 18．因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 19．（2024秋•龙华区校级期中）分解因式： （1）（2）； （3）． （4）（用十字相乘法）． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 20．因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可； （4）先把看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式和十字相乘法进一步分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 【解析】（1） ； （2） ． 22．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你完成下列各题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 【解析】（1）设， 则原式， ， 把代入得， 原式， ； （2）设， 则原式， ， ， 把代入得， 原式， ， ． 23．【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4) ②求x2+6x+11的最小值． 解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2； 由于(x+3) 2≥0， 所以(x+3) 2+2≥2， 即x2+6x+11的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； (2)用配方法因式分解：a2－12a+35； (3)用配方法因式分解：x4+4； (4)求4x2+4x+3的最小值． 【详解】解：(1) 故答案为： (2) (3) (4) 的最小值是 【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 因式分解 1、因式分解的概念： 把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。 2、因式分解的方法： ①提公因式法： 公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。若多项式首项是负的，则公因式为负。 用各项除以公因式得到另一个式子。 ②公式法： 平方差公式：。 完全平方公式： ③十字相乘法： 利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。 对于一个二次三项式，若满足，，且，那么二次三项式可以分解为：。 当时，二次三项式是，此时只需，且，则可分解为：。 ④分组分解法： 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。（分组分解法一般针对四项及以上的多项式） 3、因式分解的具体步骤： （1） 先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。 （2） 观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。四项及以上则考虑分组分解。 （3） 检查因式分解是否分解完全。必须分解到不能分解位置。 在无特别说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。 【例1】（因式分解的概念） 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 【例2】（因式分解的方法：提公因式） 分解因式：（1）；（2）. 【例3】（因式分解的方法：公式法） 分解因式：（1）；（2）. 【例4】（因式分解的方法：十字相乘法） 因式分解： ． 【例5】（因式分解的方法：分组分解法） 分解因式：（1）；（2）；（3）. 【例6】（整式乘法与因式分解的综合应用） 已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为　　 A． B． C． D． 2．（2024•云南）分解因式：　　 A． B． C． D． 3．单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列多项式不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024•广西）如果，，那么的值为　　 A．0 B．1 C．4 D．9 7．因式分解： ． 8．（2024•眉山）分解因式：　　． 9．在有理数范围内因式分解： ． 10．（2024春•市北区期中）计算　1　． 11．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 12．二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 13．（2024•齐齐哈尔）分解因式：． 14．分解因式： （1）； （2）． 15．（2024秋•泉州期中）分解因式： （1）； （2）． 16．（2024秋•海淀区校级期中）分解因式： （1）； （2）． 17．（2024春•句容市期中）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．（2024秋•龙华区校级期中）分解因式： （1）（2）； （3）． （4）（用十字相乘法）． 20．因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 21．阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 22．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你完成下列各题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 23．【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9－1＝(a+3) 2－1＝(a+3－1)( a+3+1)＝(a+2)(a+4) ②求x2+6x+11的最小值． 解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3) 2+2； 由于(x+3) 2≥0， 所以(x+3) 2+2≥2， 即x2+6x+11的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； (2)用配方法因式分解：a2－12a+35； (3)用配方法因式分解：x4+4； (4)求4x2+4x+3的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$