高二入学学情摸底测试01（考试范围：选择性必修一+数列）-2024-2025学年高二数学下学期重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

高二入学学情摸底测试01 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知正四面体的棱长为，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 4．过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 5．数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 6．经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线. 点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交于点，则 （    ） A． B． C． D．不确定 7．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（   ） A． B． C．1 D． 8．在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（    ） ①曲线关于轴对称；                     ②的最大值为； ③的最小值为；              ④的最大值为 A．个 B．个 C．个 D．个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 10．在棱长为1的正方体中，为正方体内（包括表面）一动点，已知，若，则（    ） A．点所有可能的位置所构成的几何体的体积为 B．点所有可能的位置所构成的几何体的表面积为 C．的最小值为 D．的最大值为2 11．数列、的通项公式分别为、，它们的公共项按从小到大排列组成数列，数列、、的前项之和分別、、，则（   ） A． B． C．数列的第项最小 D．数列是递減数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为 ． 13．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 四点，四边形 的面积为 ，则双曲线的方程为 . 14．如图，正方体的棱长为3，点满足，若平面经过点，且平面，则平面截此正方体所得的截面的面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，若，则 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)已知，求数列前项和. 16．（15分）已知三个顶点分别为，，. (1)求边上的高线长； (2)过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 17．（15分）如图，已知平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长. 18．（17分）已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19．（17分）已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为 (1)求的值： (2)记．证明：数列为等比数列； (3)记的面积为．证明：是定值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二入学学情摸底测试01 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为， 所以直线的斜率 所以，解得. 故选：D. 2．已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以， 解得， 故选：A. 3．已知正四面体的棱长为，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： 因为为的中点，则，所以，，则， 因此，. 故选：C. 4．过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，化简得，解得或，所以的斜率为0或. 故选：C. 5．数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则. 令，则， 所以. 又，所以，所以. 故选：A 6．经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线. 点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交于点，则 （    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】不妨设在第一象限，把代入抛物线方程得，即点的坐标为， 显然直线斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线联立消去得：， 因为直线是抛物线的切线，所以， 所以直线的方程为， 设点的坐标为，则点的坐标为，所以. 故选：B 7．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，， 设，，所以，， 因为，所以，即， 所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面PMG的法向量为，所以，取， 所以当取得最小值时，点到平面PMG的距离. 故选：A 8．在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（    ） ①曲线关于轴对称；                     ②的最大值为； ③的最小值为；              ④的最大值为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】由已知， 代入点，则，成立，①正确； 则，当且仅当，即点时，等号成立，③错误； 化简，可得， 即， 又， 即，解得，即， 设，则，， 所以，即，②错误； 且，即， 即，④正确； 综上所述正确的个数为， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 10．在棱长为1的正方体中，为正方体内（包括表面）一动点，已知，若，则（    ） A．点所有可能的位置所构成的几何体的体积为 B．点所有可能的位置所构成的几何体的表面积为 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】ACD 【详解】对于AB，如图，建立以A为原点的空间直角坐标系， 则， ，则， 因为正方体内（包括表面）一动点，则，又， 则P所构成图形为三棱柱. 则点所有可能的位置所构成的几何体的体积为正方体体积一半，即， 点所有可能的位置所构成的几何体的表面积为 ，故A正确，B错误； 设为的中点，连接，所以， ， 当PO与平面垂直时，最小为， 当P与重合时最大，为，则， 所以的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：ACD 11．数列、的通项公式分别为、，它们的公共项按从小到大排列组成数列，数列、、的前项之和分別、、，则（   ） A． B． C．数列的第项最小 D．数列是递減数列 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由题意知，数列、均为等差数列，且，， ，， 因此，，A错； 对于B选项，数列的各项分别为：、、、、、、、、、、， 数列的各项分别为：、、、、、、、、、、、， 则这两个数列构成的公共项组成的数列为、、、、、， 可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，， 所以，，故，B对； 对于C选项，， 令，因为，解得， 令，因为，解得， 且， 所以，当且时，数列单调递减， 因此，数列的第项最小，C对； 对于D选项，令，则， 所以，， 即，所以，数列是递减数列，D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知圆，圆，则两圆的公共弦所在直线的方程为 ． 【答案】 【详解】设两圆交点为，， 则两点坐标是方程组的解， 两式相减得，即， 所以两点坐标均满足此方程， 所以即为两圆的公共弦所在直线的方程， 故答案为： 13．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 四点，四边形 的面积为 ，则双曲线的方程为 . 【答案】 【详解】双曲线：的渐近线方程为：， 令直线的倾斜角为，则， 由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为，则， 于是得， 而双曲线的虚半轴长为， 即，显然四边形为矩形， 其面积，解得 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 14．如图，正方体的棱长为3，点满足，若平面经过点，且平面，则平面截此正方体所得的截面的面积为 . 【答案】 【详解】依题意可知，正方体的棱长为3， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由于，则，为上靠近的三等分点，所以. 因为平面，，，所以， 则平面的一个法向量为. 设平面与棱的交点为，设，则. 因为，即，可得. 又因为在棱上，，，代入可得， 解得，所以. 设平面与棱的交点为，设，则. 因为，即，可得. 又因为在棱上，，，代入可得， 解得，所以. 其中，，，. ，所以，所以平面与正方体的截面为四边形， ， ，，所以四边形是等腰梯形， 高为， 所以面积为. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 对于立体几何中求截面相关问题，建立空间直角坐标系，利用向量法是一种有效的方法.通过向量垂直关系确定平面与立体图形棱的交点坐标，从而确定截面形状. 在确定截面形状后，利用向量判断直线平行关系，结合几何图形性质计算边长、高，进而求出面积. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，若，则 (1)求数列的通项公式及前项和； (2)已知，求数列前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为，且各项均为正数， 所以，即， 因为各项均为正数，解得， 所以，则. （2）由题可知，是等差数列，， 则数列前项和. 16．（15分）已知三个顶点分别为，，. (1)求边上的高线长； (2)过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 直线的斜率， 直线的方程为化为， 点C到直线的距离， 即边上的高线长为； （2）由题知，直线的斜率， 直线的方程为，即， 设，因为点平分线段，则， ∵点M，N分别在直线，上， ，解得， 直线l的斜率， 直线l的方程为，即． 17．（15分）如图，已知平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）证明：过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）（方法一）因为平面，所以，又因为平面.所以如图，以点为坐标原点，分别以，过点且平行的直线，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，得， 令，则平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则 ， 解得，即的长为1. （方法二）取中点，在中，过点作交于点，连接 因为平面平面，所以， 因为为中点，所以， 又平面平面， 所以平面. 因为平面平面，所以， 又平面平面， 所以平面 又因为平面，所以， 又因为，所以为平面与平面的夹角. 在中，为中点，因为， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 即，所以，所以， 在中，， 在和中，， 所以，即的长为1. 18．（17分）已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值为 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由解得， 即轨迹的方程为：； （2）因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，联立， 解得或，故得点和点， 则， 由得，解得； （3）如图， 法一：由题意得直线不可能与轴重合， 设为：， 联立得到， 而， 由韦达定理得， ， 故是为定值，且该定值为； 法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 可得，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得到， 而， 由韦达定理得， 所以 ， 故是为定值，且该定值为， 综上所述，为定值. 19．（17分）已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为 (1)求的值： (2)记．证明：数列为等比数列； (3)记的面积为．证明：是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题知双曲线．点在上， 故，所以双曲线． 又过点斜率为的直线方程为． 由双曲线与直线的对称性可知． 所以．即. （2）因为，所以．因为 所以． 于是．①． 由于， 所以．且． 两式作差可得．② 把①代入②可得．③ 由③-①得． 即 因为．所以 又．所以 故数列是首项为．公比为的等比数列． （3）由（2）知．又，所以． 则． 因为， 且， 所以 ， 即是定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$