精品解析：江西省南昌中学三经路校区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024~2025学年度第一学期南昌中学三经路校区 高二期末考试数学试卷 命题人： 刘娟 审题人：刘娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ） A. B. C. D. 2. 空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件，相互独立，且，，那么（ ） A. B. C. D. 4. 经过对中学生记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力 4 6 8 10 识图能力 3 5 6 8 由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为，则可预测其识图能力为（ ） A. 8 B. 6 C. 2 D. 1.9 5. 学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（ ）人. （参考数据，，） A. B. C. 954 D. 477 6. 若直线上存在点，过点作圆：的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ） A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 8. 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 的渐近线与圆相切 D. 满足的直线有条 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项的系数之和为0 B. 二项式系数的和为 C. 展开式共有2026项 D. 展开式中常数项为-1 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从两点分布，且，则 D. 若随机变量满足，，，，则 11. 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与平面平行 B. 直线与平面所成的角为 C. 点与点到平面的距离之比为1：2 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量坐标为__________. 13. 托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 16. 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. （1）根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； （2）学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. 17. 如图：在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点满足， 求点到平面的距离. 18. 为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. （1）若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； （2）若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 19. 已知双曲线 的实轴长为2，且经过点，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线与，分别与抛物线相交所得弦为，，取弦、的中点分别为、，试探究直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期南昌中学三经路校区 高二期末考试数学试卷 命题人： 刘娟 审题人：刘娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由捆绑法及全排列即可求解； 【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 故选：B 2. 空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义用，，表示出. 【详解】如图，. 故选：C 3. 已知事件，相互独立，且，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助相互独立事件的性质可得. 【详解】由事件，相互独立，则. 故选：A. 4. 经过对中学生记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力 4 6 8 10 识图能力 3 5 6 8 由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为，则可预测其识图能力为（ ） A. 8 B. 6 C. 2 D. 1.9 【答案】D 【解析】 【分析】求出，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令，代入求解即可. 【详解】由表中数据可得，，， 又线性回归方程为，则，解得， 故，当时，. 故选：D 5. 学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（ ）人. （参考数据，，） A. B. C. 954 D. 477 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布概率模型求出竞赛成绩在分到分的概率，然后估计人数即可. 【详解】由于竞赛成绩服从正态分布， 所以，， 所以， 故该校1000名学生竞赛成绩在分到分之间的人数约为：， 故选：A 6. 若直线上存在点，过点作圆：的两条切线，，为切点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，设，令，由知，从而可得，满足条件的点轨迹为，又点在直线上，由直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】 圆：，所以， 设，令， 则，因为， 所以，即， 所以，即， 所以满足条件的点轨迹为，又点在直线上， 所以直线与有交点， 所以，即， 解得或， 所以， 故选：D. 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一个动点，若，则动点在（ ） A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知将化为，在底面内构建如下图示的直角坐标系，应用向量数量积的坐标表示求动点轨迹. 【详解】由， 由平面，平面，则， 所以，底面是边长为的正方形， 在平面内构建如下图示的直角坐标系，则， 设，则， 所以，即动点在圆上. 故选：B 8. 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 的渐近线与圆相切 D. 满足的直线有条 【答案】C 【解析】 【分析】设点，根据已知可求得曲线的方程即可得A；由曲线的方程即可得其离心率，即可得B；借助渐近线方程与点到直线距离公式计算可得C；联立曲线与直线方程计算可得表示，解出即可得D. 【详解】对A：设点，由已知得，整理得， 所以点的轨迹为曲线的方程为，故A错误； 对B：离心率，故B错误； 对C：圆的圆心到曲线的渐近线的距离为： ，又圆的半径为，故C正确； 对D：直线与曲线的方程联立， 整理得，设，， ，且，即， 有， 所以， 要满足，则需，即或（无解）， 解得，当，此时、分别为、， 而曲线为，所以没有满足条件的直线，故D错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项的系数之和为0 B. 二项式系数的和为 C. 展开式共有2026项 D. 展开式中常数项为-1 【答案】AC 【解析】 【分析】令代入二项式，可得各项系数之和，判断A正确；由展开式的二项式系数之和为，可求B错；根据展开式中共有项，可判断C正确；利用二项展开式的通项公式，可判断D错. 【详解】令，则各项系数的和为，故A正确； 展开式的二项式系数的和为，故B错； 展开式中共有2026项，故C正确； 展开式中的第项为， 因为，且，所以，因此展开式中无常数项，故D错； 故选：AC 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从两点分布，且，则 D. 若随机变量满足，，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从两点分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故不正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从两点分布，且，则，故正确； D.由随机变量满足随机变量满足，，，， 则， 所以，故不正确； 故选：BC. 11. 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与平面平行 B. 直线与平面所成的角为 C. 点与点到平面的距离之比为1：2 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的特征及面面平行的判定与性质可判定A；利用空间向量计算线面夹角即可判定B；根据相似三角形的性质转化点面距离比可判定C；根据平面的性质及梯形的面积公式可判定D. 【详解】如图所示： 对于A项：取中点，连接，， 在正方体中，，， 平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又平面， 所以平面平面， 平面，所以平面，故A正确； 对于D项：连接，易知，即四边形为所求截面， ， 之间的距离为， 所以截面的面积为，故D正确； 对于B项：如图所示，建立空间直角坐标系，易知， 则， 设平面的一个法向量， 所以，取，则，即， 设直线与平面所成的角为，则， 故B错误； 对于C项，如下图所示，连接，延长交于I， 易知，则， 所以点与点到平面的距离之比为1：2，故C正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式结合坐标运算即可. 【详解】在方向上的投影向量是：， 故答案为：. 13. 托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且，，两两互斥．求出，，，以及，，，由全概率公式得，“求次品为第1台车床所加工的概率”，由贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，利用正弦定理得到，再由椭圆的定义及双曲线的定义得到，结合得到，两边除以得到的方程，解得，再求出. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，， 由正弦定理得. ∵，∴，∴. ∵，，∴，∴. 又∵， 所以，两边除以并化简得， ∴或（舍去），则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）设，则，根据是圆上一动点，可得直线与圆有公共点，根据圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解即可 【小问1详解】 圆的方程可化为，圆心，半径. 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或. 【小问2详解】 设，则， 即， 因为是圆上一动点， 所以与有公共点， 所以，解得， 的取值范围 16. 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. （1）根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； （2）学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出列联表，并根据卡方公式计算卡方，由独立性检验的基本思想判定即可； （2）先利用分层抽样原理计算抽取男女生人数，再利用古典概型计算概率即可. 【小问1详解】 由题意可得列联表： 男 女 合计 十分关注 比较关注 合计 ， 没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关. 【小问2详解】 由题意知，8人中男生人，女生人. 记“人中至少有1名男生”为事件， 则. 17. 如图：在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点满足， 求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线平行来证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用作图法来作出二面角的平面角，然后计算，也可以用空间向量法来求二面角； （3）利用等体积法来求点到平面的距离即可. 【小问1详解】 取中点，连接、，、分别为、的中点，  且 ， 与平行且相等，为 中点， 与平行且相等， 四边形为平行四边形， ，  平面，平面，平面； 【小问2详解】 解法1： 在直三棱柱中，有，又因为， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作，垂足为点，连接， 平面，所以平面， 则为所求二面角的平面角的补角， 在 中 ，， 易求得，且， 则， 于是， 所以所求二面角的平面角的余弦值为 . 解法2： 直三棱柱    平面，又、平面，、 ，  ，即， 、、两两垂直， 分别以 为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，  ，，则， ， 易知平面的法向量为 ， 设平面  的法向量为 ， 则，即 ， 令，则 ， 设二面角的平面角为  ， 则  ， 由图知为钝角，； 【小问3详解】 由，得点为三等分点且，设点到平面的距离为，由等体积法： ，得， 解得， 点到平面的距离为 . 18. 为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. （1）若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； （2）若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】（1） （2）丙选择方案一更划算 【解析】 【分析】（1）先求出选择方案一时每次摸出两个红球的概率，即为每人享受6折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解； （2）分别求出两种方案下丙需要支付的金额的分布列，进而得数学期望，通过比较两种方案下的数学期望，即可判断哪种方案更划算. 【小问1详解】 由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . 【小问2详解】 若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 19. 已知双曲线 的实轴长为2，且经过点，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的方程； （2）过点作互相垂直的两条直线与，分别与抛物线相交所得弦为，，取弦、的中点分别为、，试探究直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）， （2）直线过定点 【解析】 【分析】（1）借助双曲线定义可得，再将点坐标代入的方程计算即可得双曲线方程，则可得双曲线焦点坐标，即可得抛物线的方程； （2）设出直线与的方程，联立抛物线方程计算可得与交点横坐标有关韦达定理，则可得点、坐标，即可表示出直线的方程，令可得为定值，即可得解. 【小问1详解】 由题可知，则，将点坐标代入的方程：，解得， 所以双曲线方程为：； 右焦点为抛物线的焦点，则， 所以抛物线的方程为：； 【小问2详解】 由题意可以设，，设，， 将直线方程与抛物线方程联立， 化简得：，则，， 所以，，得点坐标， 同理可得： ，，点坐标， 则， 所以直线的方程为：， 令，得， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $