精品解析：江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024/2025 学年度第一学期联盟校期末考试 高二年级数学试题 总分150分考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（　　） A B. C. D. 2. 已知直线与垂直，则实数（　　） A. 3 B. C. D. 2 3. 已知数列是首项为3，公差为2的等差数列，则（　　） A. B. C. 23 D. 25 4. 已知直线恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为（　　） A. B. C. D. 5. 某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A. B. C. D. 6. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积最小值为（　　） A. B. 9 C. 6 D. 3 7. 若直线是曲线的一条切线，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知双曲线（）的左焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C D. 二、多项选择题.本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列结论正确的有（　　） A. 若，则C是焦点在x轴上的双曲线 B. 若，则C是圆 C. 若，则C是焦点在x轴上椭圆 D. 若，则C是两条平行于y轴的直线 10. 已知数列，下列结论正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则数列是等比数列 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且且，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线：与直线：的交点坐标为________. 13. 已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则______. 14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如，故的前n项和，记数列的前n项和为Tn，利用上述方法得＝__________. 四、解答题.本题共6小题，共77分. 15. （1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点、、，求边上的高所在的直线方程. 16. 在平面直角坐标系xoy中，已知， M上存在两点关于直线对称. （1）求圆M的半径； （2）过坐标原点O的直线l被M得的弦长为，求l的方程. 17. 已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， （1）证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; （2）已知数列满足，求的前2n项和 18. 凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理： 在区间上为凸函数的充要条件为. （1）证明：函数为上的凸函数; （2）已知函数. ① 若为上的凸函数，求的最小值; ② 在① 的条件下，当取最小值时，证明：在上恒成立. 19. 已知椭圆C:的左右焦点为,点为椭圆C上的三点，且满足，直线与直线交于点Q，记直线的斜率为，直线的斜率为· （1）若点P在y轴上，则是边长为2的等边三角形，求椭圆方程; （2）若，求椭圆C离心率; （3）求证为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025 学年度第一学期联盟校期末考试 高二年级数学试题 总分150分考试时间120分钟） 注意事项: 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率之间关系计算可得结果. 【详解】易知直线的斜率为， 设其倾斜角为，且，满足，可得. 故选：B 2. 已知直线与垂直，则实数（　　） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条直线垂直列式计算即得. 【详解】由直线与垂直，得， 所以. 故选：C 3. 已知数列是首项为3，公差为2的等差数列，则（　　） A. B. C. 23 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，即得，代入即得. 【详解】由题意，， 则，故. 故选：B. 4. 已知直线恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，然后根据圆的标准方程（其中为圆心坐标，为半径）来确定圆的方程. 【详解】将直线方程变形为. 令，解得，所以点的坐标为. 故圆心，半径. 所以圆的方程为. 故选：A 5. 某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求抛物线方程，由此确定焦点坐标，再求绳子最合适的长度. 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为（） 由已知点在抛物线上， 所以， 所以， 所以抛物线方程为， 所以焦点坐标为， 所以绳子最合适的长度是， 故选：B. 6. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积最小值为（　　） A. B. 9 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及线段长，再求出点到直线距离的最小值即可. 【详解】由点，，得， 直线：，即， 因为圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值， 所以△PAB面积的最小值为. 故选：A. 7. 若直线是曲线的一条切线，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值. 【详解】由，得， 设切点为，则由导数的几何意义得， 又切线方程为，所以， 即，解得，. 故选：D. 8. 已知双曲线（）的左焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对称性知交点在轴上，分别在中利用已知的边角表示出未知的边角，再利用双曲线的定义建立的等式即可求出离心率． 【详解】如图，设双曲线右焦点为E，连接，设， 由对称性知交点D在轴上，且， ， 在中，， ， 即 所以， 故选：D 二、多项选择题.本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列结论正确的有（　　） A. 若，则C是焦点在x轴上的双曲线 B. 若，则C是圆 C. 若，则C是焦点在x轴上的椭圆 D. 若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线、椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A错误； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列，下列结论正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则数列是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用等比数列通项公式即可求得；对于B，需要构造等比数列，求出通项，代值即得；对于C，先由求出，利用首项验证不满足排除C；对于D，与C项同法可得，利用首项验证满足. 【详解】对于A,由,可知数列为等比数列,首项为2,公比为3,则,故A正确； 对于B, 由,可得, 即数列为等比数列,首项为2,公比为3, 则,即,故,故B正确； 对于C,由① ,可得,当时, ② , 由,因时, ,故C错误； 对于D,由① ,可得,当时, ② , 由,因时, ,故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，结合方程组法计算可得和，结合可得，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于A，因为是奇函数，则， 求导可得，即， 又因为，则， 即，可得，故A正确； 对于B，联立方程，解得，， 则，可得，解得， 所以，， 因， 当且仅当，即时，等号成立，即，故B错误； 对于C，由，得，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线：与直线：的交点坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】联立方程即可求解. 【详解】联立，解得，故交点为， 故答案为： 13. 已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的方程，可求出点、的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得的值. 【详解】由题意可知，圆心为，半径为， 因为，所以，点在圆上，由圆的几何性质可知，， ，所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即， 直线交轴于点，交轴于点， 因此，. 故答案为：. 14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如，故的前n项和，记数列的前n项和为Tn，利用上述方法得＝__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将裂成两项，再运用待定系数法求解裂成两项的系数，接着利用裂项相消法求和即得. 【详解】设， 则，即， 则数列前n项和， . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查运用裂项相消法解决“等差×等比数列”的求和问题，属于难题.解题的关键在于按照题意，将数列通项写成两项的差的形式，通过待定系数法确定各项系数，再裂项相加即可. 数列求和的常用方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法和并项求和法. 四、解答题.本题共6小题，共77分. 15. （1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点、、，求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据直线的平行关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得； （2）根据直线的垂直关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得. 【详解】（1）直线的斜率是， 因为所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率也是， 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，即； （2）由斜率公式可得，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 16. 在平面直角坐标系xoy中，已知， M上存在两点关于直线对称. （1）求圆M的半径； （2）过坐标原点O的直线l被M得的弦长为，求l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先将圆的方程化成标准方程，即可得到圆心坐标与半径，依题意点在直线上，即可求解； （2）根据圆的几何性质求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，即可得解. 【小问1详解】 圆方程可化为：， 则圆心为，半径. 因为上存在两点关于直线对称， 所以点在直线上，所以，解得， 所以的半径. 小问2详解】 由（1）可得，圆心为，半径. 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 直线的斜率存在，设直线的方程为，则解得. 所以直线的方程为，即. 综上可得直线的方程为或. 17. 已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， （1）证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; （2）已知数列满足，求的前2n项和 【答案】（1）证明见解析，． （2） 【解析】 【分析】（1）通过已知条件和联立方程组可求出和，进而得到的通项公式. 对于数列，根据，通过变形得到，可证明是等比数列，进而求出的通项公式. （2）根据的分段定义，根据分组求和，分别计算奇数项和偶数项的和，从而求出. 【小问1详解】 依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则 因为所以 所以，所以 所以，所以， 又因为，所以， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，可得 所以 = = 18. 凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理： 在区间上为凸函数的充要条件为. （1）证明：函数为上的凸函数; （2）已知函数. ① 若为上的凸函数，求的最小值; ② 在① 的条件下，当取最小值时，证明：在上恒成立. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求，再得即可证明； （2）①根据凸函数的定义，转化为在区间上恒成立，进而可得； ②设，根据导函数可得，设，令，换元后，根据导函数可得，进而可得. 【小问1详解】 ，则，， ，， 故在区间上恒成立，即为上的凸函数. 【小问2详解】 ①， ，， 由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则在区间上恒成立， 令，对称轴为，所以当时，取到最大值，最大值为， 所以，得到，所以的最小值为， ②由①知， 令， 则， 令， 则在区间恒成立， 所以在区间上单调递增，得到， 即在区间恒成立， 即在区间上单调递增，所以， 令，令，得到， 则在区间上恒成立， 在区间上单调递减，， 所以，在上恒成立． 【点睛】关键点点睛：第二问由可以观察不等号前后有明显差异，可考虑即可. 19. 已知椭圆C:的左右焦点为,点为椭圆C上的三点，且满足，直线与直线交于点Q，记直线的斜率为，直线的斜率为· （1）若点P在y轴上，则是边长为2的等边三角形，求椭圆方程; （2）若，求椭圆C的离心率; （3）求证为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据题意，直接用椭圆的定义直接求得结果. （2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出，，再由列出式子即可求得离心率. （3）由（2）的结论联立，即可求得结果. 【小问1详解】 由题可知， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 在椭圆中，，，设，，，，将代入 中有 ， 所以，①，代入PA方程中有 ②同理，③，④ 因为，所以， 解得： . 【小问3详解】 根据（2）中①②③④解得 . 和分别三点共线可得⑤，⑥，将①②③④代入⑤⑥解得 ，， . ，从而 【点睛】关键点点睛：由椭圆的定义求出椭圆的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得到离心率再求出利用三点共线的条件求出的定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $