7.1.2 两条直线垂直-【中考123】2024-2025学年新教材七年级下册数学全程导练(人教版2024)

第七章相交线与平行线Y 7.1.2 两条直线垂直 第1课时 垂线 [答案PI] 知识要点分类练学' 7.(1)如图，过点C作线段AB的垂线； (2)如图，点O为线段AB的中点，过点0作AB 知识点1垂直的定义 的垂线I,在1上任取一点P,连接PA,PB,量 1.下列时刻中，时针与分针互相垂直的是 一量，比较线段的长度：PA PB. A.2时20分 B.3时整 C.12时10分 D.5时40分 .C 2.如图，0A⊥0B.若∠1=62°，则∠2的度数是 ( A0 B A.28 B.32 C.38° D.42o 7题图 B 知识点3垂线的性质 8.如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线 2 的条数有 () D 2题怪 3题图 4题图 A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 3.(山西太原期中)如图，直线AB,CD相交于点O. A 若∠AOC=90°，则AB与CD的位置关系是 ;若AB⊥CD,则∠AOC=∠COB= B D ∠BOD=∠AOD= 8题图 9题图 4.如图，已知直线a⊥b,∠1：∠2=5：4，则∠1= 9.如图，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面， ,∠2= 在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门 5.如图，已知直线AB,CD相交于点O,射线OE⊥AB 框AB是否与铅垂线重合，若门框AB垂直于地 于点0，射线0F⊥CD于点0，且∠B0F=35°，求 面，则AB会重合于AE,否则AB与AE不重合，这 ∠AOC和∠EOD的度数. 其中运用的数学知识是 能力提升综合练典 5题图 10.下列说法正确的有 () ①互为补角的两角的角平分线互相垂直：②在同 一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但 它们所在的直线一定相交：③两条直线相交成四 个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线 垂直：④画一条射线的垂线，垂足一定落在这条 射线上 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点2垂线的画法 11.(河北石家庄期中)已知直线AB,CB,1在同一平 6.下列各图中，过直线I外一点P画1的垂线CD,三 面内，若AB⊥I,垂足为B,CB⊥I,垂足也为B,则 角尺操作正确的是 符合题意的图形可以是 见此图标国国抖青/藏信扫码领取你的考场冲刺攻略！ 全程导练·数学七年级·下册 12.如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线 EB平分∠CEF,GE⊥EF,则∠GEB=() 素养探究创新练学： A.10° B.20° C.30° D.40o 16.已知一个角的两边与另一角的两边互相垂直，探 索两角间的数量关系 (1)在图①中，以点P为顶点画∠P,使∠P的两 边分别与∠1的两边垂直，量一量，∠P和 40° N ∠1之间的数量关系是； 12题图 13题图 (2)在图②中，作同样的∠P,使∠P的两边分别 13.如图，一棵小树生长时与地面所成的角∠1为 与∠1的两边垂直，量一量，∠P和∠1之间 80°，它的根与小树在同一条直线上，直线MN垂 的数量关系是；在图③中，∠P和 直于地面，那么∠2等于 ∠1之间的数量关系是 14.如图，0为直线AB上一点，∠A0C= 3∠B0C, (3)由此得到结论：如果一个角的两边分别和另 OC是∠AOD的平分线 一个角的两边垂直，那么这两个角」 (1)求∠COD的度数； (只需写出结论即可)： (2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由. (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一 个角的3倍少40°，求这两个角的度数， P 14题图 △1 61 01 16题图① 16题图② 16题图③ 15.如图，直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB. (1)若∠1=∠2，求∠N0D的度数； (2)若∠1=∠B0C,求LA0C和∠M0D的 度数 15题图 4 见此图标国围科音/微信扫码领取你的考场冲刺玫略！ 第七章相交线与平行线Y 第2课时 垂线段 [答案P2] 知识要点分类练学： 的垂线段是线段AB;④点A到BC的距离是线段 AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距 知识点1垂线段的定义与性质 离；⑥线段CD是点C到AD的距离；⑦AD>BD. 1.下列说法正确的是 A.2 B.3 C.4 D.5 A.垂线段就是与已知直线相交的线段 B.垂线段就是垂直于已知直线的线段 C.垂线段就是一条竖起来的线段 D.过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂 5题图 6题图 足之间的线段叫垂线段 6.如图，AC⊥BC,C为垂足，CD⊥AB,D为垂足，BC 2.(黑龙江大庆期中)下列能用“垂线段最短”来解 =8 cm,CD=4.8 cm,BD =6.4 cm,AD =3.6 cm, 释的现象是 AC=6 cm. 起 (1)点C到AB的距离是 cm; 线 (2)点A到BC的距离是 cm; (3)点B到CD的距离是 cm. A.测量跳远成绩 B.木板上弹墨线 7.如图，平原上有A,B,C,D四个村庄，为解决当地 缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池， (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点 的位置，使它到四个村庄距离之和最小： (2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？ C.两钉子固定木条 D.弯曲河道改直 并说明根据。 知识点2点到直线的距离 A. .C 3.下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的 B. D 距离的是 7题图 4.如图，读句画图，并回答问题. C A B 素养探究创新练中 4题图 (1)过点Q作QD⊥AB,垂足为D: 8.如图，在直角三角形ABC中，斜边为AB,两直角 (2)过点P作PE⊥AB,垂足为E: 边分别为AC,BC (3)过点Q作QF⊥AC,垂足为F; (1)试用所学知识说明：斜边AB是最长的边： (4)连接P,Q两点： (2)试用所学知识说明：AC+BC>AB; (5)P,Q两点间的距离是线段 的长度； (3)设AB=c,AC=b,BC=a,试化简：Ic-a1+ (6)点Q到直线AB的距离是线段 的长度； 16-cl +la+b-cl. (7)点Q到直线AC的距离是线段 的长度； (8)点P到直线AB的距离是线段 的长度； (9)点P到直线AC的距离为 (填数值). 能力提升综合练' 8题图 5.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,则下列结论 中，正确的个数为 ①AB⊥AC:②AD与AC互相垂直；③点C到AB 见此图标国国抖青/藏信扫码领取你的考场冲刺攻略！ 5参考答案及解析 中考123·全程导练·数学七年级·下册 参考答案及解析 弟七章相交线与平行线 【素养撫究创新练】 7.1相交线 16.解：(1)因为∠B0D=∠A0C=76°，OE平分∠BOD 7.1.1两条直线相交 【知识要点分藥练】 所以∠D0E=∠B0E=子∠B0D=之x76°=38 1.D2.C3.C 所以∠C0E=1809-∠D0E=180°-38°=142°. 4.解：(1)∠AOE的邻补角为∠BOE,∠AOD的邻补角为∠AOC, 因为OF平分∠COE ∠BOD. 所以∠B0F=子∠C0E=宁×142=71 (2)∠AOC与∠BOD互为对顶角，∠BOC与∠AOD互为对顶角. 5.D6.787.130 所以∠B0F=∠E0F-∠B0E=71e-38°=33 8.解：设∠B0C=x°，则∠A0C=(2x)°， (2)因为0E平分∠B0D,DF平分∠C0E, 由题图可知，∠AOC+∠B0C=180°， 所以∠BOE=∠EOD.∠COF=∠FOE 所以2x+x=180,所以x=60,所以∠AOC=(2x)°=120°. 设∠BOE=x,则∠DOE=x, 9.解：因为∠AOF+∠B0F=180°，又因为∠AOF=4∠B0F 故∠COA=∠B0D=2x,∠EOF=∠C0F=x+36° 所以4∠B0F+∠B0F=180°，所以∠B0F=36 则∠A0C+∠C0F+∠B0F-2x+x+36°+36°=180°， 因为∠AOE=∠B0F,所以∠AOE=36°， 解得x=36°，故∠A0C=72 因为∠B0D=∠A0C,且∠B0D=90°，所以∠AOC=90°， (3)设∠B0E=x,则∠D0E=x.则∠A0C=∠BOD=2x. 所以∠E0C=∠A0C-∠A0E=90°-36°=54. B0180-=90- 【能力提升绵台练】 2 10.C11.65°12.80 因为1LA0C-∠B0F1=a.所以2x-(90°-号=a 13.(1)150°(2)40°(3)157.5° [解析](1)因为∠4+∠B0D=60°，根据对顶角的性质可得 解得=()+号或=()°-子。 ∠B0D=∠4=30°，所以∠3=180°-30°=150°.(2)因为 ∠3：∠1=7：1.0E平分∠B0D,所以∠3：∠1：∠2=7：1：1. 当x=(°+号a时，40c=2=(9)+号。 又周为∠3+∠1+∠2=180°，所以∠1=∠2=180°÷9 20°，所以∠4=∠1+∠2=40°.(3)图为∠4+∠B0D=90° ∠mr=0-子=(- ∠4与∠0D互为对顶角，所以∠4=∠BOD=45°，所以∠1 =∠2=22.5°，所以∠A0E=180°-22.5°=157.59 当=(9)°-子时.240c=-2x=(9)°-a, 14.解：因为∠B0C+∠AOC=180°.∠B0C=2∠AOC. 所以2∠A0C+∠A0C=180°. ∠mr=0-子=(9)+a 所以3∠AOC=180P,所以∠40C=60°. 7.1.2两条直线垂直 因为∠A0E=15°. 第1课时垂线 所以∠E0C=∠A0C-∠A0E=60°-15°=45°， 【知识要点分类练】 所以∠D0F=∠EOC=45°. 15.解：(1)∠AOC的邻补角是∠A0D和∠BOC,对顶角是 1.B2.A3.垂直90°4.50°40 5.解：因为0F⊥CD.所以∠FOD=90°， ∠B0D. 即∠BOF+∠DOB=90°， (2)设∠DOE=x.则∠AOE=4x 因为∠A0E的余角比∠D0E小10°，所以90°-4红=x-10° 又因为∠B0F=35°，所以∠DOB=55 所以x=20°，所以∠A0E=80 又因为∠AOC=∠D0B,所以∠A0C=55, (3)因为∠A0E=80°，∠D0E=20° 又因为0E⊥AB,所以∠A0E=90°， 所以∠A0D=100°，所以∠AOC=80 所以∠C0E=90°-∠A0C=35°. 当OP在CD的上方时，如答图中OP 所以∠0D=180°-∠C0E=145° 设∠AOP,=a,所以∠D0P,=100°-m 故∠A0C=55°.∠E0D=145 因为LCOP,=∠AOE+LD0P, B 6.D 所以80°+a=80°+100°-a. 15题容图 7.解：(1)如答图. 所以雀=50，所以∠AOP,=∠DOP,=50 (2)画法不唯一，如答图 因为∠B0D=∠A0C=80°.所以∠B0P1=80°+50°=130°； 当OP在CD的下方时，如答图中OP2.设∠BOP2=B, 所以∠D)P2=80°-B. 因为LC0P2=∠AOE+∠DP2, 所以100°+B=80°+80°-B, 7题容图 所以B=30°，所以∠B(0P2=30° 8.D 综上所述，∠B0P的度数为130或30 9.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ·1 全程导练·数学七年级·下册 【能力拉升绵合练】 正确：不能说磨线段是距离，应该说线段CD的长度是，点C到 10.A[解析]①错误，互为邻补角的两角的角平分线互相垂 AD的距离，所以⑥错误：AD>BD不一定成立，所以错误 直：②正确，两条线段垂直是指它们所在直线垂直，在同一平 6.(1)4.8(2)6(3)6.4 面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线 7.解：(1)因为两点之间.线段最短 一定相交：③错，两条真线相交成四个角，如果有一对对顶 所以连接AD.BC交于点H. 角互补，那么这两条直线垂直：④错误，画一条线段或射线的 如答图所示，则点∥为蓄水池的位置，它到四个村庄距离之 垂线，就是画它所在直线的垂线，垂足可能落在线段或射线 和最小 上，也可能落在它们的逆长线上 11.C12.B13.10 14.解：(1)因为0C平分∠AOD, 所以设∠A0C=∠C0D=x,而∠A0C= 3∠BOC. 所以∠B0OC=3∠AOC=(3x) 7题答图 因为∠AOC+∠BOC=180°，所以x+3x=180 (2)如答图，过点H作HG⊥EF,垂足为G,沿HG开渠最短. 所以x=45.所以∠C0D=45°. 根据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 (2)0D⊥AB,理由如下：因为∠AOC=∠C0D=45°， 最短 所以∠A0D=2×45=90°，即0D⊥AB. 【素养撫究创新练】 15.解：(1)由OM⊥AB可得∠B0M=∠AOM=90°， 8.解：(1)因为AC是点A到直线BC的垂线段，根据“垂线段最 而∠A0M=∠1+∠AOG,∠1=∠2 短”，所以AB>AC 所以∠2+∠A0C=90°=∠CON, 因为BC是点B到直线AC的垂线段，根据“垂线段最短”， 所以∠N0D=180°-∠C0N=180°-90°=90 (2)由题意，得∠BOC-∠1=90°， 所以AB>BC,所以斜边AB是最长的边. (2)因为点A和点B之间，AB是线段，AC+BC是折线，根据 放∠B0C-∠B0G=90,所以LB0C=120. “两点之间，线段最短”，可得AC+BC>AB. 1 (3)根据(1)(2)可得AB>BC,AC<AB,AC+BC>AB, 所以∠1=4∠B0C=30, 所以c>a,b<c,a+b>e,所以lc-a1+Ib-c+la+b-c|= 所以∠A0C=∠A0M-∠1=90°-30°=60° c-a-(b-c)+(a+b-c)=c. ∠AM00D=180°-∠1=180°-30°=150°. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 【需养無究创新练】 【知识要点分乘练】 16.解：(1)如答图①所示.互补（或∠1+∠P=180°） 1.B2.A3.B4.D (2)如答图②所示.相等如答图③所示 相等或互补 5.(1)AB CE BD同位(2)AB AC BD同旁内 D'P/ (3)AB CE AC内错 (B 6.C7.8080100 8.解：(1)∠1与∠4是同位角：∠1与∠2是内错角：∠1与∠5 是同旁内角 (2)∠1与∠4相等.∠1与∠5互补 16题答图① 16题答图2 16题答图3 (3)相等或互补 理由如下：因为∠1=∠2，∠2=∠4.∠2+∠5=180°. (4)设两个角分别为x°和(3x-40)°， 所以∠1=∠4，∠1+∠5=180° 由(1)(2)可知x=3x-40或x+3x-40=180. 【能力提开锦合练】 解得x=20或55 9.D10.C11.C12.7 所以两个角分别为20°和20°或55°和125°， 13.解：如答图①，与∠A成同旁内角的角有3个，分别为∠1， 第2课时垂线段 ∠B,∠C: 【知识墨点分装练】 如答图②，与∠A成同旁内角的角有4个，分别为∠1，∠B, 1.D2.A3.C ∠C,∠2.（画法合理即可）】 4.解：(1)(2)(3)(4)作图如答图所示 C 13题客图①D 13题容图② 14.解：(1)有2对，∠3和∠4，∠2和∠6. 4题容图 (2)有4对.∠1和∠3.∠2和∠4.∠3和∠6.∠1和∠2 (5)PQ(6)QD(7)QF(8)PE (9)0 (3)∠3的内错角是∠5，它们是直线AB.EF被直线CD所截 【能力提升综合练】 得到的. 5.B[解析]因为∠BAC-90°，所以AB⊥AC,①正病；固为 15.解：(1)因为∠C0M=120°，所以∠D0F=120 ∠DAC≠90°，所以AD与AC不互相垂克，②2错误：点C到AB 因为OG平分∠D)F,所以∠FG=60 的垂线段应是线段AC,所以③错误：点A到BC的距离是线段 (2)与∠OG互为同位角的角是∠BMF AD的长度，④正确：线段AB的长度是点B到AC的距离，⑤ (3)因为∠C0M=120°，所以∠C0F=60 2…