精品解析：内蒙古赤峰市红山区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024-2025赤峰市红山区高二年级上学期期末考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写消楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的运算求出最后结果即可. 【详解】由题意可得，，则. 故选：B. 2. 一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的概念计算即可求解. 【详解】由题意知，该组数据共有8个，则 所以第25百分位数为. 故选：B 3. 平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解. 【详解】因为，所以，， 解得，所以， 故两平行直线间的距离． 故选：C． 4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ） A. 6里 B. 5里 C. 4里 D. 3里 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程． 【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列， 由，得，解得：， . 故选：A． 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 6. 已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设动圆半径为.根据圆与圆的位置关系可得，，再利用椭圆的定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程. 【详解】圆：和：的圆心和半径分别为， 由可知圆内含于圆内. 设动圆半径为， 由题意可得，， 两式相加可得， 故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 7. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率. 【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以， 所以， 同理可得当在轴下方时，的值为， 故选：C. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定球体积最大的特征，再利用三棱锥的体积等于其表面积与内切球半径积的三分之一求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面， 可得， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以， 设此时球的半径为R，则， 即，解得， 所以球的体积V的最大值为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 口袋中装有大小质地完全相同白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与互为对立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D． 【详解】设2个白球为，2个黑球为， 则样本空间为：，共12个基本事件. 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A正确； 对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，， 则，故事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知曲线，则（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C. 存在实数，使得过点 D. 当时，直线总与曲线相交 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：根据的正负以及大小关系判断；B：先表示出双曲线方程，然后可知渐近线方程；C：代入于曲线方程，然后判断方程是否有解即可；D：考虑时的情况. 【详解】当时，，所以方程表示曲线是椭圆，故A正确； 当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确； 令，整理得且，此方程有解，故C正确； 当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. M为圆C上一动点，则最小值为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 最短时，弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解. 【详解】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为，所以最小值为，故B错误； 对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，，则， 解得，故直线的方程为，故C正确； 对于D，当最短时，圆心C到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB方程，然后利用垂径定理求出弦长. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知复数，则__________. 【答案】##i+1 【解析】 【分析】先利用复数的除法化简复数，再求其共轭复数和模长代入即可. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可. 【详解】由投影向量的定义可知， ， 故答案为： 14. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用叠加法求，裂项相消法求出数列的和. 【详解】根据题意：，，，, 利用叠加法：， 由，. 所以， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中角的对边分别为，． （1）求； （2）若，且的面积为，求周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案； （2）由面积公式和余弦定理可得答案. 【小问1详解】 由和正弦定理可得， ， 因为，所以， 所以，，， ，； 【小问2详解】 ，， 又， ， ， 的周长为. 16. 在等差数列中，，，数列的前项和为，且. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；令，可求得的值，当时，由可得，上述两个等式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得. 小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 则，解得， 所以，， 数列的前项和为，且， 当时，则有， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. 【小问2详解】 解：因为，则，① 可得，② ①②得 ， 故. 17. 某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有200人．心理测评评价标准 调查评分 心理等级 A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只管发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分） （3）在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率． 【答案】（1）， （2）不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据调查评分在中的市民有200人，且频率为可求出的值，再由各组频率和为1列方程可求出的值； （2）根据频率分布直方图结合平均数的定义求出调查评分的平均值，再计算出心理健康指数比较即可； （3）根据频率分布直方图结合分层抽样的定义求出抽取的调查评分在和中的人数，然后根据相互独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由已知条件可得， 又因为每组的小矩形的面积之和为1. 所以，解得； 【小问2详解】 由频率分布直方图可得， . 估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7， 所以市民心理健康指数平均值为. 所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动. 【小问3详解】 由（1）知：，则调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以. 故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点， （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角余弦值为 （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是 ， ． 19. “曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. （1）若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程； （2）设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； （3）作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形重心坐标求得坐标，知道的值，由椭圆基本性质得出的值，从而得出曲线方程； （2）设动点坐标，由题意列出线段得等量关系，由二次函数的性质得到最小值点即得证； （3）设出动直线，分别表示出两点坐标，由中点坐标公式得到中点坐标，由坐标的特征找到关系式，从而得出轨迹方程. 【小问1详解】 解：因为等边的重心坐标为， . 在半椭圆中， 由， ， 解得， 因此“曲线”的方程为. 【小问2详解】 证明：设，则，. ，开口向下， 对称轴为：， 当或时， 取得最小值时，即在点或处. 【小问3详解】 由题可知，直线的斜率，则设直线， 设在上， 当时，. 设在半椭圆上， 当时，. 的中点为, 即线段中点的轨迹方程为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025赤峰市红山区高二年级上学期期末考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写消楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 6 3. 平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ） A. 6里 B. 5里 C. 4里 D. 3里 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ） A B. C. 或 D. 或 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与互为对立 10. 已知曲线，则（ ） A. 当时，曲线椭圆 B. 当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C. 存在实数，使得过点 D. 当时，直线总与曲线相交 11. 已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. M为圆C上一动点，则最小值为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 最短时，弦长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知复数，则__________. 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 14. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中角的对边分别为，． （1）求； （2）若，且的面积为，求周长． 16. 在等差数列中，，，数列的前项和为，且. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 17. 某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有200人．心理测评评价标准 调查评分 心理等级 A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只管发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分） （3）在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. “曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. （1）若等边三角形重心坐标为，求“曲线”的方程； （2）设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； （3）作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$