精品解析：黑龙江省绥化市2024—2025学年上学期八年级期末考试数学试卷

2024-2025学年度上学期 八年级数学（学科）期末试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：A.，不是同类项，故不能合并，故选项计算错误，不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，根据幂的乘方法则可知，故选项计算错误，不符合题意； D.，根据完全平方公式运算法则可知，故选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、完全平方公式，熟练掌握相关法则是解题的关键． 2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简以及最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B、符合最简二次根式的定义；故本选项正确； C、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； D、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简以及最简二次根式的定义．最简二次根式的被开方数中不含有分母、最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 5. 能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定方法一一判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项正确； D、，，此条件下四边形还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 6. 直角三角形的两条直角边长为3和4,则它斜边上的中线长为（ ） A. 5 B. 2 C. 2.5 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：由勾股定理得，斜边=， 所以，斜边上中线长. 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键． 7. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 在中， ． 故选：A． 【点睛】本题意考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题关键． 8. 如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张纸（矩形）上剪出一个面积为的等边三角形．某小组分析后，先作了，再算出了的长，然后分别在，上截取了，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理， 过点E作，根据等边三角形的性质得到，，然后设，则，根据勾股定理表示出，然后利用等边三角形面积列方程求解即可． 【详解】如图所示，过点E作， ∵是等边三角形 ∴， ∴设，则 ∴ ∵等边三角形的面积为 ∴，即 解得，负值舍去， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）． ∴BE=DF．故结论①正确． 由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°．即∠DAF=15°．故结论②正确． ∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF． ∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．故结论③正确． 设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=， ∴AC=．∴AB=．∴BE=． ∴BE+DF．故结论④错误． ∵，， ∴．故结论⑤正确． 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键；先提公因式，再根据平方差分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若x+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m应为_______. 【答案】-1或7 【解析】 【详解】∵x+2（m-3）x+16是一个完全平方式， ∴， ∴m=-1或7. 故答案是：-1或7 14. 已知关于的分式方程有增根，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根．先将分式方程去分母转化为整式方程，然后根据分式方程有增根求出x的值，再把x的值代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴，则， 把代入得 ， 解得：， 故答案为：． 15. 如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可． 【详解】解：如图所示：根据题意可知米，米， 根据勾股定理得． 所以树折断前有（米）． 故答案为：． 16. 如图，以正方形的边向外作等边三角形，则的度数是___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，根据正方形的性质及等边三角形的性质可求解，再根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 17. 如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推可求出的周长． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴分别等于的， ∵分别为的中点， ∴分别为的， ∴以此类推：的周长为的周长的，即的周长的， ∴． 则故答案为：． 18. 已知，则化简的结果为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及绝对值的性质，首先根据的范围确定与的符号，然后根据，以及绝对值的性质即可化简求值，正确理解是关键． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：1． 19. 已知，，那么________． 【答案】34 【解析】 【分析】该题主要考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是对进行变形． 根据完全平方公式对进行变形，再将，代入即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故答案为：34． 20. 在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为5和6的两条线段，则平行四边形的周长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平分及可得出，从而根据的长可求出平行四边形的周长． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴平行四边形的周长为：． 当时，则， ∴平行四边形的周长为：． 故答案为：或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共60分．解答是应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将括号里的二次根式化为最简，再进行计算即可； （2）先根据二次根式的性质和负整指数幂运算，再根据平方差公式进行运算即可． 【小问1详解】 解：原式= ； 【小问2详解】 解：原式= ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握二次根式的性质、负整指数幂和平方差公式的运算法则． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后即可，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 23. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），， （2）的形状是直角三角形， 理由如下： ∵ ，，；且 ∴的形状是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值； （2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由； 【小问1详解】 解：、，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 25. 如图，四边形ABCD是平行四边形，//，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF． （1）求证：AE=CF； （2）若BE=DE，求证：四边形EBFD为菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）结合题目条件，通过证明△BCF≌△DAE来证明AE=CF即可； （2）由△BCF≌△DAE，得到BF=DE，而//，得到四边形BFDE为平行四边形，结合BE=DE，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形； ∴AD//BC，AD=BC ∴∠BCF=∠DAE; 又∵DE//BF ∴∠BFE=∠DEF; ∴∠BFC=∠DEA; 在△BCF和△DAE中： ∴△BCF≌△DAE（AAS） ∴CF=AE （2）由（1）得△BCF≌△DAE； ∴BF=DE; 又∵BF//DE； ∴四边形BFDE为平行四边形； 又∵BE=DE； ∴平行四边形BFDE为菱形 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定以及菱形的判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关的判定和性质进行推理证明． 26. 观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： （1）按照上述规律，直接写出的结果是___________ （2）针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】（1） （2）（n为自然数，且）， 证明： 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据规律，可得到答案． （2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 27. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 【答案】（1）去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元；（2）今年至少要购买140本文学书． 【解析】 【分析】（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，根据题意列分式方程，解此分式方程，并检验即可解题； （2）设今年这所中学要购买本文学书，根据总费用不超过2120元列一元一次不等式，解此不等式即可． 【详解】解：（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元， ， ， 经检验是原分式方程的解， ， 答：去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元． （2）设今年这所中学要购买本文学书， ． 答：今年至少要购买140本文学书． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 28. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）BC＝　 　cm； （2）当t＝　 　秒时，四边形PQBA成为矩形． （3）当t为多少时，PQ＝CD？ （4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）18；（2）；（3）或；（4）存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒． 【解析】 【分析】（1）作于E，则四边形ABED为矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC=BE+EC即可求出BC的长度； （2）当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形，根据PA=QB列出关于t的方程，解方程即可； （3）分两种情况：当时，四边形是平行四边形；梯形PDCQ是等腰梯形时，PQ=CD，可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】解：（1）根据题意得：PA=2tcm，CQ=3tcm，则PD=AD-PA=(12-2t)cm， ， 如图，过D点作于E， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴ ， ∴四边形ABED为矩形， ∴DE=AB=8cm，AD=BE=12cm， 在Rt△CDE中， ∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm， ∴=6cm， ∴BC=BE+EC=18cm； （2）∵，∠B=90° ∴当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形， 即2t=18-3t，解得t=秒， 故当t=秒时，四边形PQBA为矩形； （3）①当时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴12-2t=3t， ∴t=秒； ②如图，梯形PDCQ是等腰梯形时，PQ=CD， 过点P作 于点F，则 ， ∴四边形PDEF是矩形， ∴ ，EF=DP=12-2t， ∴， ∴FQ=CE=6cm， ∴CQ=FQ+EF+CE=6+12-2t+6=3t， ∴t=； ∴当t为或时，PQ＝CD； （4）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当QC=DC时，即3t=10， ∴t=； ②当DQ=DC时， ， 即， ∴t=4； ③如图，当QD=QC时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得：t=． 故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期 八年级数学（学科）期末试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 4. 下列根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 直角三角形的两条直角边长为3和4,则它斜边上的中线长为（ ） A. 5 B. 2 C. 2.5 D. 1.5 7. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张纸（矩形）上剪出一个面积为的等边三角形．某小组分析后，先作了，再算出了的长，然后分别在，上截取了，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 使分式有意义的的取值范围是________． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 若x+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m应为_______. 14. 已知关于的分式方程有增根，则 ______． 15. 如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是__________米． 16. 如图，以正方形的边向外作等边三角形，则的度数是___________． 17. 如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为___________． 18. 已知，则化简的结果为______． 19. 已知，，那么________． 20. 在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为5和6的两条线段，则平行四边形的周长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共60分．解答是应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 计算： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 24. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 25. 如图，四边形ABCD是平行四边形，//，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF． （1）求证：AE=CF； （2）若BE=DE，求证：四边形EBFD为菱形． 26. 观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： （1）按照上述规律，直接写出的结果是___________ （2）针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 27. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？ 28. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）BC＝　 　cm； （2）当t＝　 　秒时，四边形PQBA成为矩形． （3）当t为多少时，PQ＝CD？ （4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $