精品解析：广东省惠州市惠阳区永湖中学2024-2025学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷

永湖中学2024—2025学年九年级（上）质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（　　） A. （﹣2，0） B. （1，0） C. （0，﹣2） D. （0，2） 3. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 4. 已知圆半径为6，A，B，C是同一平面上的三个点，，，，则（ ） A. 点A在内 B. 点B在上 C. 点B在外 D. 点C在上 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，是的直径，，，是的弦，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m． A. 6 B. 45 C. 35 D. 25 8. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图，下列4个结论：①，②，③，④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把抛物线y＝－2x2先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，所得到的抛物线的解析式是_______． 12. 点、是二次函数的图象上两点，则与的大小关系为________（填“＞”、“＜”、“＝”）. 13. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 14. 如图，⊙O中，，，则的度数是______． 15. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：． 17. 如图，是的直径，弦，垂足为P，若，求的面积． 18. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 20. 如图，在等边中，点D为内的一点，且，，将绕点A逆时针旋转得，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求和的长． 21. 如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． （1）求证：； （2）若，求的半径． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为 ．一场大雨，让水面上升了 ，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为 、高度为 的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）； （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条 的直线 ，交抛物线于点 ，交抛物线对称轴于点 ，提出了以下问题， 如图2，B为直线 上方抛物线上一动点，过 B作 垂直于 轴，交 轴于 A，交直线 于 C,过点 B作 垂直于直线 ，交直线 于 D，则 的最大值为  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永湖中学2024—2025学年九年级（上）质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（　　） A. （﹣2，0） B. （1，0） C. （0，﹣2） D. （0，2） 【答案】C 【解析】 【分析】函数图象与y轴的交点即令x=0，即可解题． 【详解】解：令x=0， y＝x2+x﹣2=-2 即函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（0，-2） 故选：C． 【点睛】本题考查函数图象与坐标轴的交点，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3. 已知 和关于原点对称，则的值为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质及求代数式的值，根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：B． 4. 已知圆半径为6，A，B，C是同一平面上的三个点，，，，则（ ） A. 点A在内 B. 点B在上 C. 点B在外 D. 点C在上 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．已知圆的半径为r，点到圆心的距离d与半径r的关系为：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．据此进行解答即可． 【详解】解：圆半径为6， ∵，所以点A在外； ，所以点B在上； ，所以点C在内． 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵关于x一元二次方程有实数根， ∴，解得， 故选项D中的5不符合题意， 故选：D． 6. 如图，是的直径，，，是的弦，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，根据弧、弦、圆的关系可得，从而可得和是等边三角形，即，即可求解． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 7. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m． A. 6 B. 45 C. 35 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值． 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故选：B 8. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质．由旋转的性质可得可证△ABE是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项图象判断的取值范围求解即可得到答案． 【详解】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点得出，故选项符合题意； D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系． 10. 已知二次函数的图象如图，下列4个结论：①，②，③，④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与轴交点，可判断①②结论；根据二次函数图象的对称性，可判断③结论；根据二次函数与一元二次方程的关系，结合一元二次方程根和系数的俄关系，可判断④结论． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ，，， ， ，，①②结论正确； 抛物线对称轴为直线，且时，， 时，， ，③结论错误； 方程有四个根， 方程和各有两个根， 设这四个根分别为、、、， ，， 这四个根的和为4，④结论正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的各项系数的符号的判断，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根和系数的关系，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 把抛物线y＝－2x2先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，所得到的抛物线的解析式是_______． 【答案】y＝－2(x﹣2)2＋1 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】解：抛物线y=-2x2先向上平移1个单位得到解析式：y=-2x2+1，再向右平移2个单位得到抛物线的解析式为：y=-2（x-2）2+1． 故答案为：y=-2（x-2）2+1． 【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 12. 点、是二次函数的图象上两点，则与的大小关系为________（填“＞”、“＜”、“＝”）. 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系． 【详解】∵二次函数y=x2-2x+1的图象的对称轴是：直线x=1，开口向上 ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点，2＜3， ∴y1＜y2． 故答案为＜． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键． 13. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 14. 如图，⊙O中，，，则的度数是______． 【答案】##56度 【解析】 【分析】先证明再利用圆周角定理可得答案． 【详解】解： ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，圆周角定理的应用，证明是解本题的关键． 15. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据一次函数与二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象分别交于点，， ∴不等式成立时，二次函数图象在一次函数上方的部分的的取值即为不等式的解， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，把原式变形为，则，则或，即可求出答案． 【详解】解： 整理得 即 因式分解得 则或 解得， 17. 如图，是的直径，弦，垂足为P，若，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理等知识．连接OC．由垂径定理得到，设半径为r，则，．在中，根据勾股定理，得到方程，解得，即可求出的面积． 【详解】解：连接OC． ∵是的直径，，， ∴； 设半径为r，则，． 在中，根据勾股定理， 即， 展开得， 移项得， 解得， ∴的面积为． 18. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？ 【答案】（1） （2）68.6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【小问1详解】 设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； 【小问2详解】 （元）， 答：预计2025年该药剂的价格为68.6元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理可得答案． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求， ． 小问3详解】 作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接， 则的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上几何变换的性质是解题的关键． 20. 如图，在等边中，点D为内的一点，且，，将绕点A逆时针旋转得，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求和的长． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，．则，即可证明结论成立； （2）由旋转得到．证明，在中，，在中，，则，得到．． 【小问1详解】 ． 理由：∵绕点A逆时针旋转得， ∴，，， ∴是等边三角形，． ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ∵绕点A逆时针旋转得， ∴． 又∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 21. 如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵平分， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考由圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理、垂径定理推出，由垂径定理、勾股定理得到关于圆半径的方程． （1）由角平分线定义得到，由圆周角定理推出，由垂径定理推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出； （2）连接与交于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，设半径为，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的半径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接与交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴的半径是． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）13 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【解析】 【分析】（1）根据给定数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：（-5x+150）（x-8）=425， 整理得：， 解得：， ∵8≤x≤15， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ∴当x=15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系， 23. 【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为 ．一场大雨，让水面上升了 ，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为 、高度为 的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）； （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条 的直线 ，交抛物线于点 ，交抛物线对称轴于点 ，提出了以下问题， 如图2，B为直线 上方抛物线上一动点，过 B作 垂直于 轴，交 轴于 A，交直线 于 C,过点 B作 垂直于直线 ，交直线 于 D，则 的最大值为  ． 【答案】（1） （2）不能通过 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， （1）设抛物线的顶点式为，将代入即可解答； （2）设原水面为轴，根据题意求得当时，桥的高度，再根据题中条件得到船通过需要的高度，比较即可解答； （3）证明，再得到与的关系，再利用二次函数的性质，求出的最大值，即可解答， 熟练掌握二次函数的图象和性质，耐心计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将代入抛物线可得， 解得， 抛物线的解析式为，即； 【小问2详解】 解：设原水面为轴，则可将水面上升视为水位上涨之前需要多预留保证船体通过， 当水位没有上涨时， 船的宽度为， 船体离桥的边缘为， 当时，， 则水位上涨时需要空间为， 不能通过； 【小问3详解】 解：当时，， ， ， 轴，， ， ， 设点， ， ， ， 当时，取最大值为， 的最大值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $