2.2 二元一次方程组中的解的情况问题（解的关系、解的个数、整数解问题）讲义 -2024--2025学年浙教版七年级数学下册

二元一次方程组中的解的情况问题 （解的关系、解的个数、整数解问题） 知识概要 二元一次方程组的解的情况有以下三种： ①当时，方程组有无数组解（因为两个方程等效）； ②当时，方程组无解（因为两个方程矛盾）； ③当（即）时，方程组有唯一的解，且唯一的解为． 若已知方程组有整数解，首先解方程组，用字母表示未知数，然后根据整除的性质，确定字母的取值． 例题精选 【例题1】★ 已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 【分析】两个方程相加可得，再整体代入求值即可求k的值． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【例题2】★ 已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 【分析】先求出方程组的解为代入得， 求出m，n代入整理得，然后根据均为正整数讨论可得答案． 【详解】解：解方程组得 因为方程组的解满足 所以， 整理，得． 因为， 所以， 整理，得． 因为均为正整数，所以当时，， 此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，的值为． 【例题3】★★ 新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为 ． 【分析】通过解方程组得到和，根据与都是正整数求出符合条件的正整数的值，最后根据再由验证即可． 【详解】解：， ①+②得，， ∴， 把代入得， ∵方程组的解与都是正整数， ∴或或或， ∴a的值为或0或1或2， ∴正整数的值的值只能是1或2， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 【例题4】★★★ 选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【分析】根据①当时，方程组有无数组解（因为两个方程等效）； ②当时，方程组无解（因为两个方程矛盾）； ③当（即）时，方程组有唯一的解，且唯一的解为． 【详解】解：①当时，方程组有无数组解，解得． ②当时，方程组无解，解得． ③当时，方程组有唯一的解，即当时，不论c取何值，原方程组都有唯一的解． 【例题5】★★ 已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得，即，故k的值为， 故选：A． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 课后作业 1．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（　　） A． B．0 C． D．2 2．如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（　　） A． B．1 C．或3 D．或 4．关于，的方程组有无数组解，则的值为 ． 5．若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 6．已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确的序号是 ． 7．已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 8．已知关于x，y的方程组的解为整数，则满足条件的a的所有整数值的和为 ． 9．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 10．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 参考答案 1．B 【详解】解：两方程相加得：， ∵方程组无解， ∴， 解得， 故选：B． 2．B 【详解】解：， 由，可得：， ∵，为整数， ∴当为时，为整数， ∴把的值代入，可得：，，，，，，，， ∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，， ∴方程组的整数解为，，，， 把方程组的整数解代入，可得：，，，． 故选：B 3．D 【详解】解：， 得， 解得， ∵为整数，为整数， ∴， ∴的值为或． 故选：D． 4．3 【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解， ∴方程和方程是同一个方程， ∴， ∴， 故答案为：3． 5． 【详解】解：， ②，得， 关于，的方程组有无数组解，、不为0， ，， ， ， 故答案为：． 6．①②③④ 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①中，得：④， 把④代入③中，得：， ∴原方程组的解为． ①当x与y相等时，， 即， 解得：， ∴①正确； ②∵方程的两根互为相反数， ∴， 即， 解得：， ∴②正确； ③， ∴， ∴， ∴， ∴， 将方程组的解代入得：， 解得：， ∴③正确； ④， 得， 即． ∴④正确． 综上所述，①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 7．或或 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 8．8 【详解】解： 得：，解得， ∵x、y都是整数， ∴a是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或， ∴满足条件的a的所有整数值的和为， 故答案为：8． 9． 【详解】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴或，，，，， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 10．(1) (2) (3)或或 【详解】（1）由题意得：，解得， 把代入，解得； （2）， ∴当，时，， 即固定的解为：， （3）， 得：， ， ， 为整数， ∴，，， 且为自然数， ∴或或， 或或． 第 5 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$