第5章 图形的轴对称 章末小结 课件-2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第五章 图形的轴对称 章末小结 轴对称图形 生活中的轴对称现象 轴对称的性质 简单的轴对称图形 等腰三角形 线段 角 两个图形成轴对称 画图 尺规作图 知识梳理 一、轴对称及其性质 (一)轴对称 1.轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形。 这条直线就是它的对称轴。 知识梳理 2.轴对称 如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称 这条直线叫作这两个图形的对称轴。 知识梳理 3.轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 联系 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合。 2.可以互相转化。 知识梳理 (二)轴对称的性质: 1.轴对称的基本性质: 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 2.性质的应用： 利用对应角相等求角度； 利用对应线段相等求线段，求面积，求周长； 作图。 知识梳理 (三)画图 补全轴对称图形，或画成轴对称的另一个图形。 画图依据：对称两点到对称轴的距离相等 知识梳理 解:，图(1)(3)(5)(6)是轴对称图形； 图(2)(4)(7)不是轴对称图形。 1. 图中的图形是不是轴对称图形?若是，请画出其对称轴，并说出对称轴的条数。 随堂练习 1. 图中的图形是不是轴对称图形?若是，请画出其对称轴，并说出对称轴的条数。 随堂练习 2.如图所示，点P关于直线OA，OB的对称点分别为点C，D，CP，PD分别交OA，OB于点E，F，连接CD，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN。 (1)若△PMN的周长为8，求CD的长。 (2)若∠AOB=45°，求∠MPN的度数。 随堂练习 (1)解:因为点P关于直线OA，OB的对称点分别为点C，D， 所以PM=CM，PN=DN， 因为△PMN的周长为8， 所以PM+PN+MN=8， 所以CD=CM+DN+MN=PM+PN+MN=8， 即CD=8。 随堂练习 2.如图所示，点P关于直线OA，OB的对称点分别为点C，D，CP，PD分别交OA，OB于点E，F，连接CD，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN。 (1)若△PMN的周长为8，求CD的长。 (2)若∠AOB=45°，求∠MPN的度数。 随堂练习 (2)解:因为点P关于直线OA，OB的对称点分别为点C，D， 所以PM=CM，PN=DN， 所以∠C=∠CPM，∠D=∠DPN， 因为∠AOB=45°， 所以∠CPD=360°-90°-90°-45°=135°， 所以∠C+∠D=180°-∠CPD=45°， 所以∠CPM+∠DPN=45°， 所以∠MPN=∠CPD-(∠CPM+∠DPN)=135°-45°=90°。 随堂练习 分析:挖掘出折叠前后相等的线段或角，可实现线段或角的转换，这是求解折叠问题的关键。 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，BC=8，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处。 (1)求△BDE的周长。 (2)若∠B=37°，求∠EDB的度数。 随堂练习 解:(1)由折叠可知AC=CE，AD=DE。 因为AC=6， 所以CE=6， 因为BC=8， 所以BE=BC-CE=2， 所以△BDE的周长=DE+BD+EB =AD+BD+EB=AB+EB。 随堂练习 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，BC=8，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处。 (2)若∠B=37°，求∠EDB的度数。 随堂练习 (2)由折叠可知∠A=∠CED， 因为∠B=37°， 所以∠A=∠CED=180°-∠ACB-∠A =180°-90°-37°=53°， 所以∠ADE=360°-∠ACB-∠A-∠CED =360°-90°-53°-53°=164°， 所以∠EDB=180°-∠ADE=180°-164°=16°。 随堂练习 分析: 确定已知图形的关键点； 作关键点的对称点； 连接对称点得所求图形。 4.如图所示，以虚线为对称轴，画出图形的另一半。 随堂练习 解:如图所示: (1)延长AO到点A′，使A′O=AO； (2)延长BP到点B′，使B′P=BP， 在B′P上截取 D′P=DP； (3)延长CQ到点C′，使C′Q=CQ； (4)分别作点E，F，H，G关于虚线的对称点E′，F′，H′ ，G′； (5)连接A′，B′，D′，C′，再依次连接E′F′，F′H′，H′G′，G′E′，即画出了图形的另一半。 随堂练习 二、简单的轴对称图形 (一)等腰三角形的性质 1.等腰三角形是轴对称图形。 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合(简称“三线合一”)。 3.等腰三角形的两个底角相等。 知识梳理 (二)等边三角形的性质 1.等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴。 2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合(简称“三线合一”)，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。 3.等边三角形的各角都相等，都等于60°。 知识梳理 (三)线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 2.线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等。 3.线段的对称轴：这条线段的垂直平分线。 A B O 知识梳理 (四)角平分线 1.角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.定理的作用:证明线段相等。 B A D O P E C 知识梳理 5.如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法不正确的是（ ） A． ∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO B． 直线∠垂直平分AB、CD C． AO⊥OB，DO⊥OC D． AD=BC，OD=OC C 随堂练习 分析：可说明△ ABD≌△ ACE。 解：方法一 因为AD=AE，AB=AC， 所以∠ADE=∠AED，∠B=∠C， 所以∠ADB=∠AEC。 在△ ABD和△ ACE中， 所以△ ABD ≌ △ ACE(AAS)， 所以BD=CE。 6.如图所示，已知在等腰三角形ABC中，点D，E在BC上，AB=AC，AD=AE.试说明:BD=CE。 随堂练习 分析：作AH⊥BC；需说明BH=CH，DH=EH。 方法二 如图所示.过点A作AH⊥BC于点H。 因为AB=AC，AH⊥BC， 所以BH=CH。 同理可得，DH=EH， 所以BH-DH=CH-EH，即BD=CE。 6.如图所示，已知在等腰三角形ABC中，点D，E在BC上，AB=AC，AD=AE.试说明:BD=CE。 随堂练习 分析: 7.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接AO，CO，若∠1=39°，则∠AOC= 。 l1，l2分别为线段AB，BC的垂直平分线 (可设D，E为垂足) 连接OB △AOB是等腰三角形 △BOC是等腰三角形 随堂练习 解析:如图，连接OB，设l1交AB于点D，l2交BC于点E。 因为线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O， 所以OA=OB=OC。 因为l1⊥AB， l2⊥BC， 所以∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE， 所以∠AOD+∠COE=∠BOD+∠BOE=∠DOE。 因为∠DOE+∠1=180°，∠1=39°， 所以∠DOE=141°， 所以∠AOC=360°-∠DOE-(∠AOD+∠COE) =360°-2∠DOE=360°-2×141°=78°。 随堂练习 7.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接AO，CO，若∠1=39°，则∠AOC= 。 78° 随堂练习 8.如图，AD//BC，∠ABC的平分线 BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=2.5，则平行线AD与BC之间的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 随堂练习 解析:如图，过点P作GH⊥AD交AD于点G，交BC于点H， 因为AD//BC， 所以GH⊥BC， 因为AP平分∠BAD，PE⊥AB，PG⊥AD， 所以PG=PE=2.5， 同理可得PH=PE=2.5， 所以GH=PG+PH=5， 即平行线AD与BC之间的距离为5。 随堂练习 8.如图，AD//BC，∠ABC的平分线 BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=2.5，则平行线AD与BC之间的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 C 随堂练习 9.如图，校园内有两条路 OA，OB，在交叉口附近有两块宣传牌C，D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P到两块宣传牌的距离相等，并且到两条路的距离也相等，请你帮忙找到灯柱的位置P，并说明理由。 A C D O B 随堂练习 思路引导： 到两块宣传牌的距离相等 到两条路的距离相等 两条线的交点为点P的位置 点P在OA，OB央角的平分线上 点P在C，D所连线段的垂直平分线上 A C D O B 随堂练习 A C D O B 解: 如图，连接CD。 分别作线段CD的垂直平分线EF和∠AOB的平分线OG，EF与OG相交于点P， 则点P就是所要确定的灯柱的位置。 E F P G 随堂练习 $$