精品解析：河南省南阳市南阳六校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年（上）南阳六校高一年级期末考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 已知函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3. “，”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 24 5. 设，，，则( ) A. B. C. D. 6. 已知是定义域为的奇函数，，且当时，单调递增，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数若恰有两个零点，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若在区间上的值域为，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A B. 不等式的解集为 C. 函数在定义域内单调递增 D. 最小值为3 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若B发生时A一定发生，则 B. 若A与B互斥，则A和B都不发生的概率为0.5 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 11. 函数被称为“狄利克雷函数”，函数被称为“符号函数”，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用.下列有关这两个函数的说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 存两个正无理数m，n，满足 D. 存在四个点，，，，使得四边形为正方形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设且，则函数的图象恒过点______. 13. 甲、乙两个研究小组独立攻坚一项关键技术，假设甲组成功的概率为，乙组成功的概率为，则这项技术研究成功的概率为________. 14. 已知实数a，b满足，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 （1）估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； （2）求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； （3）若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 16. 已知是奇函数，且. （1）求的解析式； （2）若，求实数m的取值范围. 17. 2024年12月2日是第13个122“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”.某中学为了让学生关注道路交通安全，举行交通安全知识竞赛，共有100名学生参加，他们的成绩整理后分成五组，如图所示，其中. （1）求的值，并估计这100名学生成绩的中位数（结果四舍五入保留整数）； （2）若按比例用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取20人参加交流活动，再从参加交流活动且成绩在的学生中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率. 18 已知函数，. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用函数单调性的定义证明在定义域内单调递减； （3）若关于的方程有解，求的取值范围 19. 设函数，已知. （1）求m的值； （2）若存在实数，使得在区间上的值域为，求的取值范围； （3）若k取满足（2）中条件的k的最小值，求不等式的解集 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年（上）南阳六校高一年级期末考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】首先解对数不等式得到集合，再根据交集运算计算可得； 【详解】由，即，所以， 所以， 则. 故选：D 2. 已知函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分段函数求函数值，根据自变量的范围选择对应的式子即可. 【详解】因为， 故选：B. 3. “，”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中命题成立，先求出；再逐项判断即可. 【详解】由题意可得，在上能成立， 即在上能成立， 因为时，； 所以为使在上能成立，只需； 因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件； B选项，是“，”成立的充分不必要条件； C选项，是“，”成立的充要条件； D选项，是“，”成立的必要不充分条件； 故选：D 4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位的定义计算即可求解. 【详解】因为，所以该组数据的70%分位数是第7个数据和第8个数据的平均数， 所以，解得. 故选：A. 5. 设，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数和对数函数性质进行比较. 【详解】因为，， ，，比较可知. 故选：B 6. 已知是定义域为的奇函数，，且当时，单调递增，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数在原点两边单调性是一致的，即可判断当时，的单调性，又即可得的解集，即可求解不等式． 【详解】因为是定义域为的奇函数且当时，单调递增，所以当，也是增函数，又， 所以当时，；当时，，当时，， 所以不等式，即或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 7. 设函数若恰有两个零点，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数和的图象，确定函数的零点，然后数形结合， 【详解】作出函数和的图象， 的零点为1，的零点为， 由于函数若恰有两个零点， 结合图象可知，当时，时，无零点， 当时，有零点为， 此时恰有两个零点，符合题意； 当时，时，有零点1， 当时，有零点为， 此时恰有三个零点，不符合题意； 当时，时，有零点1， 当时，有零点为， 此时恰有两个零点，符合题意； 当时，时，有零点1， 当时，没有零点， 此时恰有一个零点，不符合题意； 综合可知t的取值范围为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点个数问题，要根据零点个数求解参数的范围，解答的关键是结合函数以及的图象，分类讨论，从而根据零点个数确定参数范围. 8. 已知函数，，若在区间上的值域为，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知当函数的值域为时，.故在区间上的值域包含为，结合函数的奇偶性即可求解. 【详解】∵函数， . ∵函数在区间上的值域为， ∴在区间上值域包含. ∵函数是定义在上的奇函数， ∴函数的图象关于原点对称，∴在上的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 函数在定义域内单调递增 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系求得，再代入不等式，化简求解即可判断A、B；根据幂函数的性质判断C；利用基本不等式判断D. 【详解】为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两个根，且， 由韦达定理得，所以， 则，A正确； 所以不等式，又， 则，解得， 所以不等式的解集是，B正确； 由，函数在定义域内单调递减，C错误； 由于，则， ， 当且仅当，即（舍）或时，等号成立, 故的最小值为3，D正确. 故选：ABD 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若B发生时A一定发生，则 B. 若A与B互斥，则A和B都不发生的概率为0.5 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，分析事件A和事件B的关系即可判断；对于B，利用互斥事件的概率加法公式即可判断；对于C，D，利用独立事件的定义及独立事件的概率乘法公式进行分析判断即可. 【详解】对于A，由“若B发生时A一定发生”可知，故，所以，故A错误； 对于B，由事件A与事件B互斥可知，故事件A和事件B都不发生的概率为，故B正确； 对于C，由题知，，故，所以事件A与事件相互独立，故事件A和事件B相互独立，故C正确； 对于D，若事件A和事件B相互独立，则事件与事件相互独立，，故，故D正确. 故选：BCD. 11. 函数被称为“狄利克雷函数”，函数被称为“符号函数”，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用.下列有关这两个函数的说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 存在两个正无理数m，n，满足 D. 存在四个点，，，，使得四边形为正方形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于分为无理数和有理数即可判断AB，对于C取即可判断，对于D由，且，分类讨论验证四边形是否为正方形即可. 【详解】对于A：当为无理数时，，所以； 当为有理数时，，所以， 所以，故A正确； 对于B：当为无理数时，，也为无理数，，； 当为有理数时，也为有理数，， 当时，，， 所以， 当时，，，， 所以， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C：取，， 所以，， 所以存在两个正无理数m，n，满足，故C正确； 对于D:由题，，且， 若，由得一个为1，另一个为， 又由，可得，所以，矛盾，故不存四个点使得四边形为正方形； 若，因为、是正方形的对角线， 显然找不到四个点使得四边形为正方形； 不妨设，则且为无理数，为有理数， 由为正方形的对角线可知为无理数，为有理数，且，， 所以为无理数与为有理数矛盾， 所以不存在四个点使得四边形为正方形， 综上有：不存在四个点使得四边形为正方形，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：解决D选项的关键是利用分、、三种情况分析讨论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设且，则函数的图象恒过点______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数恒过定点，令即可. 【详解】令有，所以恒过定点. 故答案为：. 13. 甲、乙两个研究小组独立攻坚一项关键技术，假设甲组成功的概率为，乙组成功的概率为，则这项技术研究成功的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可. 【详解】因为甲、乙研发新产品成功的概率分别为和． 则这项技术研究不成功的概率为， 再根据对立事件的概率之间的公式可得这项技术研究成功的概率为． 故答案为：． 14. 已知实数a，b满足，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数指数运算整理条件，得和为方程的根，且都等于，进一步运算可解. 【详解】根据已知，，即， 也就是，同理， 所以和为方程的根， 而方程的根为和， 又因为，，所以，， 即，则， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：通过化简得，，从而和为方程的根是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 （1）估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； （2）求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； （3）若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 【答案】（1） （2）平均数32，方差43.2 （3）乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算出频率为，从而估计出概率为； （2）利用平均数和方差的计算公式进行求解即可； （3）计算出两公司的外卖骑手日单量的极差，得到答案. 【小问1详解】 10名外卖骑手中有7人的日单量大于30，频率为， 因此估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率为. 【小问2详解】 平均数为. 方差为. 【小问3详解】 乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由如下： 甲公司的外卖骑手日单量的极差为， 乙公司的外卖骑手日单量的极差为， 由于，故乙公司的外卖骑手日单量的差异更大. 16. 已知是奇函数，且. （1）求的解析式； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据以及即可联立求解， （2）根据单调性以及奇偶性即可得求解. 【小问1详解】 .① ∵是奇函数，且的定义域为，∴，∴.② 由①②，得，. 故. 经检验，此时是奇函数，符合题意. 【小问2详解】 ∵，∴. 又为奇函数，∴， ∵和都在上单调递增，∴在R上单调递增. ∴，即，解得， 即的取值范围是. 17. 2024年12月2日是第13个122“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”.某中学为了让学生关注道路交通安全，举行交通安全知识竞赛，共有100名学生参加，他们的成绩整理后分成五组，如图所示，其中. （1）求的值，并估计这100名学生成绩的中位数（结果四舍五入保留整数）； （2）若按比例用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取20人参加交流活动，再从参加交流活动且成绩在的学生中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率. 【答案】（1），中位数74； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题中频率分布直方图，根据频率之和为列出等式，得到，结合，求出；接着由中位数两侧的频率之各为，列出等式即可求出中数位； （2）根据分层抽样，先分别确定成绩在、的学生人数，再由列举法，列举出所有的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求出结果. 【小问1详解】 由题图知，得. 又，所以. 设所求中位数为，由频率分布直方图可知： 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 所以，则， 解得. 【小问2详解】 由题意可知，分层抽样的抽样比为. 因为成绩在、的学生分别有人，人， 故在内抽取4人，记为， 在内抽取1人，记为， 从这5个人中任选2人，样本空间为，共10个样本点， 设事件表示“这2人的成绩在同一组”， 则事件A的样本空间为，包含6个样本点， 所以. 18. 已知函数，. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用函数单调性的定义证明在定义域内单调递减； （3）若关于的方程有解，求的取值范围 【答案】（1）奇函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据解析式求出定义域，再由，即判断出其奇偶性； （2）任取，化简整理，判断其正负，即可证明其单调性； （3）根据对数运算性质，由题意得到方程在区间上有解，即在区间上有解，结合函数单调性，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，得，即的定义域为. 因为， 所以是奇函数. 【小问2详解】 由（1）知的定义域为，任取， ， 因为，所以， 所以，所以， 即， 所以在定义域内单调递减. 【小问3详解】 ，且由得， . 因为关于的方程有解，所以方程在区间上有解， 即在区间上有解. 因为和均在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 所以当时，的取值范围是. 令，得， 即的取值范围是. 19. 设函数，已知. （1）求m的值； （2）若存在实数，使得在区间上的值域为，求的取值范围； （3）若k取满足（2）中条件的k的最小值，求不等式的解集 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，代入函数解析式消去可求m的值； （2）在区间上的值域为，转化为方程有两个不相等的实根，列不等式组可求的取值范围； （3）原不等式转化为，构造函数，结合，根据函数的单调性，可得原不等式等价于，进而可得到答案. 【小问1详解】 ∵， ∴，即， ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）知，则在上单调递增， ∵在区间上的值域为， ∴，. ∴方程有两个不相等的实根，则且， ∴方程在上有两个不相等的实根. ∴ 解得， ∴k取值范围是 . 【小问3详解】 由题意知，. 由，得， 整理得. 设函数，则在上单调递增，注意到， ∴原不等式等价于. 由，解得或，由，解得， ∴原不等式的解集为. 【点睛】思路点睛：解函数不等式常见思路：1，根据不等式结构特征构造函数；2，判断函数的单调性；3，将函数不等式转化为自变量不等式；4，结合函数的定义域进一步化简. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$