专题6.2 无理数与实数（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版2024）

专题6.2 无理数与实数 · 典例分析 【典例1】阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是______； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请求出的算术平方根． 【思路点拨】 本题考查了无理数的估算，求一个数的平方根，关键是确定出无理数的整数部分与小数部分； （1）估算出的整数部分，即可求得其小数部分；估算出的整数部分，即可确定的整数部分； （2）求出的整数数部分，即可求得m；估算出的整数部分，即可求得n，代入即可求解； （3）估算出的整数部分与小数部分，从而确定出p与q的值，进而求得的值，从而求得其平方根． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，则小数部分为， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为11， 故答案为：，11； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，则小数部分为，即， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为10，即， ∴； （3）解：∵， ∴的整数部分为7，小数部分为， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵是整数，且， ∴，， ∴， ∴其算术平方根为5． · 学霸必刷 1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．其中正确的个数是（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的整数部分是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 3．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 5．（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 6．（23-24七年级下·江苏南通·期中）在，， 中，其中无理数的个数共有（   ） A．1979个 B．45个 C．1980个 D．1981个 7．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·福建福州·期中）若（m、n是正整数）， 且 则与实数的最大值最接近的数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如： ．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024九年级上·全国·专题练习）设，都是有理数，规定 ，则= ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）若a，b均为正整数，且，则的最小值是 ． 14．（24-25七年级上·浙江·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么的值为 ． 15．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 16．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则 ． 17．（23-24七年级下·广西南宁·期中）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 18．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根． （1）求a，b，c的值． （2）比较与的大小． 19．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. （1） ______. （2）求的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方跟. 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： （1）______，______，______； （2）求的值． 21．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． （1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； （2）请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； （3）应用上述结论，请计算的值． 22．（23-24七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：________；=________； （2）若，写出满足题意的正整数的值_________； （3）如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． （4）只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 23．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2） ；（保留一位小数） （3） ， ； （4）若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 24．（23-24八年级·江苏·假期作业）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． （1）______________，______________，的小数部分＝______________； （2）设的小数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的相反数． 25．（24-25八年级上·山东青岛·期中）提出问题：单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？ 探究方法：面积为2的正方形边长为，可知，因此设，且． 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． （1）仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含1位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程； （2）综合上述具体探究尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则___________（用含a、b的代数式表示）； （3）应用上探究结果，直接写出的近似值，___________（结果只包含2位小数）． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为________； （2）若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； （3）若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 无理数与实数 · 典例分析 【典例1】阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是______； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请求出的算术平方根． 【思路点拨】 本题考查了无理数的估算，求一个数的平方根，关键是确定出无理数的整数部分与小数部分； （1）估算出的整数部分，即可求得其小数部分；估算出的整数部分，即可确定的整数部分； （2）求出的整数数部分，即可求得m；估算出的整数部分，即可求得n，代入即可求解； （3）估算出的整数部分与小数部分，从而确定出p与q的值，进而求得的值，从而求得其平方根． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，则小数部分为， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为11， 故答案为：，11； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，则小数部分为，即， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为10，即， ∴； （3）解：∵， ∴的整数部分为7，小数部分为， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵是整数，且， ∴，， ∴， ∴其算术平方根为5． · 学霸必刷 1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．其中正确的个数是（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 本题考查了实数与数轴、实数的大小比较、无理数的估算、平方根与立方根，熟练掌握实数的性质和立方根的性质是解题关键．根据实数与数轴上的点是一一对应的关系即可判断①错误；根据算术平方根可得，再根据实数的大小比较法则即可判断②正确；根据无理数的估算可得，由此即可判断③正确；根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，解方程求出的值，从而可得的值，根据求解即可判断④正确；根据1的立方根是1即可判断⑤错误． 【解题过程】 解：∵实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示， ∴数轴上有一个点表示这个无理数，则说法①错误； ∵，， ∴，则说法②正确； ∵， ∴，即， ∵在两个连续整数和之间， ∴，则说法③正确； ∵正实数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴，则说法④正确； ∵， ∴1的立方根是1，则说法⑤错误； 综上，正确的个数是3个， 故选：B． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的整数部分是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【思路点拨】 本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断的整数部分． 【解题过程】 解：由题知，， 又， 则的整数部分是， 故选：B． 3．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【思路点拨】 此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，解题的关键是将等式进行适当的变形，根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【解题过程】 解： ， a，b是有理数， ， ，则， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【思路点拨】 本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可． 【解题过程】 解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【思路点拨】 本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【解题过程】 解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 6．（23-24七年级下·江苏南通·期中）在，， 中，其中无理数的个数共有（   ） A．1979个 B．45个 C．1980个 D．1981个 【思路点拨】 本题考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，开方开不尽的数是无理数，找出从整数1到2024中的完全平方数，即可判断． 【解题过程】 解：，，，，， 从整数1到2024中，有44个完全平方数， ∴原数据中共有44个数，不是无理数， 则无理数的个数为（个）， 故选：C． 7．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【解题过程】 解：由题知， 数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：A． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了实数的大小比较，根据题意得出，，再结合，即可得出，从而得解． 【解题过程】 解：， ，， ，， ， ， 故选：A． 9．（23-24七年级下·福建福州·期中）若（m、n是正整数）， 且 则与实数的最大值最接近的数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】 本题考查算术平方根，无理数的估算，根据的取值范围确定的取值，再根据、为整数，确定的最大值，再估算即可．解题的关键是掌握算术平方根的意义是正确估算的前提． 【解题过程】 解： ， ， ， ∵，则 即， 又、是正整数， 的最大值为23， 比16更接近23， 的最大值比较接近，即比较接近5， 故选：C． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如： ．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值，再求立方根即可． 【解题过程】 解：∵， ∴ 又∵，即 ∵和为两个连续整数， ∴ ∴ ∴的立方根值为， 故选：D． 11．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴所有可能的值为6和7，③正确； 若， 那么， ． ，故④不正确； 故选：B． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）设，都是有理数，规定 ，则= ． 【思路点拨】 本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【解题过程】 解：∵， ∴ ． 故答案为：1 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）若a，b均为正整数，且，则的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查无理数的估算，立方根及代数式求值，先估算，求出，再根据a，b均为正整数，得到取值范围，将最小值的代入计算即可． 【解题过程】 解：， ， 为大于2的正整数； ， b为大于2的正整数； 当时，有最小值，最小值为：， 故答案为：6． 14．（24-25七年级上·浙江·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了新定义，无理数的估算，根据新定义和无理数的估算方法分别求出的值，再根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【解题过程】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 【思路点拨】 本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简． 【解题过程】 解：根据数轴可知，则可知，， ； 故答案为：． 16．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则 ． 【思路点拨】 由平方根、立方根可得，，可求，由，可得，则，由，可得，即，，然后代值求解即可． 【解题过程】 解：∵正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为， ∴，， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵m为整数，， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·广西南宁·期中）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 【思路点拨】 按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【解题过程】 解：∵即时，，此时n=1，2，3， ∴； ∵即时，，此时n=4，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15， ∴=； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴=-44， ∴ =1-2+3-4+5-6+…+43-44 =(1-2)+(3-4)+…+(43-44) = =-22， 故答案为：-22． 18．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根． （1）求a，b，c的值． （2）比较与的大小． 【思路点拨】 本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，根据平方根求原数： （1）根据无理数的估算方法求出的范围即可求出a、c的值，根据平方根的定义即可求出b的值； （2）根据（1）所求先求出的结果，再根据实数比较大小的方法求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∵在两个连续的自然数和之间， ∴或 ∵是的一个平方根， ∴； ∴，或，； （2）解：当，时，， ∵， ∴， ∴； 当时，． 19．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. （1） ______. （2）求的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方跟. 【思路点拨】 （1）根据两点间的距离公式计算即可； （2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可． 【解题过程】 （1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， ∴ ． （3）解：∵与互为相反数 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 即的平方根是． 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： （1）______，______，______； （2）求的值． 【思路点拨】 （1）根据阅读材料解答即可求解； （2）根据阅读材料解答即可求解； 本题考查了无理数的估算，实数的运算，解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算． 【解题过程】 （1）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：， ， ，， ， ，， 原式． 21．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． （1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； （2）请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； （3）应用上述结论，请计算的值． 【思路点拨】 本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【解题过程】 （1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 22．（23-24七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：________；=________； （2）若，写出满足题意的正整数的值_________； （3）如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． （4）只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【思路点拨】 本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【解题过程】 （1）∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，6； （2）∵，，，x为正整数， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）∵第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴第四次之后结果为1； （4）（4）最大的是15，理由如下， 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15， 故答案为：15． 23．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2） ；（保留一位小数） （3） ， ； （4）若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 【思路点拨】 （1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【解题过程】 （1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解： 介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 24．（23-24八年级·江苏·假期作业）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． （1）______________，______________，的小数部分＝______________； （2）设的小数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的相反数． 【思路点拨】 （1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， ， ， ， 的小数部分为， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． 25．（24-25八年级上·山东青岛·期中）提出问题：单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？ 探究方法：面积为2的正方形边长为，可知，因此设，且． 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． （1）仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含1位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程； （2）综合上述具体探究尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则___________（用含a、b的代数式表示）； （3）应用上探究结果，直接写出的近似值，___________（结果只包含2位小数）． 【思路点拨】 本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键． （1）参照题目的过程解题即可； （2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可； （3）参照（1）中的过程，由，设，解题即可． 【解题过程】 （1）解：面积是31的正方形的边长是， 设，如图，面积为31的正方形分成2个小正方形和2个矩形， ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， 即； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：面积是31的正方形的边长是， ∵， 设， 如图，面积为31的正方形分成2个小正方形和2个矩形， ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， 即． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为________； （2）若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； （3）若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【思路点拨】 本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$