专题6.1 平方根与立方根（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版2024）

专题6.1 平方根与立方根 · 典例分析 【典例1】整数满足，其中，则的最大值是 ． 【思路点拨】 本题考查平方，立方根，代数式求值，先根据已知条件确定b和可能的值，进而确定，推出，再分情况讨论求出和c可能的值，最后求出比较大小即可． 【解题过程】 解：整数满足， 为整数， ， 或或或， 或或或， 当时，，不成立， 又 ， ， ， ， 当，，，不是整数，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，不合题意； 当，，，不是整数，不合题意； 当时，，，不是整数，不合题意； 当时，，，不是整数，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上可知，整数的值为2，8，2，或2，8，，或2，，8，或2，，， 当整数的值为2，8，2时，； 当整数的值为2，8，时，； 当整数的值为2，，8时，； 当整数的值为2，，时，； 综上可知，的最大值是1024． 故答案为：1024． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 【思路点拨】 与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值． 【解题过程】 解：I．当和相等时， ， 解得：， ， ； II．当和互为相反数时，，解得：， ， ； 综上所述：a的值是64或． 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了算术平方根的非负性以及有意义的条件、求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【解题过程】 解：∵， ∴， 则原式， 解得， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故选：D． 3．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（　　） A． B．4 C． D．8 【思路点拨】 本题考查列代数式，算术平方根，设C的长为x，宽为y，则B的长为，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到x，y之间的关系式即可求出． 【解题过程】 解：设C的长为x，宽为y，则B的长为，宽为y， ∵A的面积为4， ∴， ∵拼接后的大正方形的面积是5， ∴， ∴， ∴图1中原长方形的长为：，宽为， ∴图1中原长方形的周长为， 故选：A． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）借助计算器可求得， ，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了算术平方根的规律，正确发现规律是解题的关键．根据规律，解答即可． 【解题过程】 解： ， ， ， ． 故选：D． 5．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【解题过程】 解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 6．（23-24八年级上·辽宁锦州·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 【思路点拨】 本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义、能对比平方根与立方根解答是解题的关键．利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解题过程】 解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵, ∴，故B选项的结论不符合题意； 任何实数a都有奇数次方根， ∵， ∴，当时，，当时，， ∴C选项的结论不符合题意； ∵当为奇数时，2的次方根随的增大而减小， ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 7．（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【解题过程】 解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 【思路点拨】 本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【解题过程】 解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选C． 9．（23-24七年级下·四川广元·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 【思路点拨】 根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【解题过程】 解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知：，则的算术平方根为 ． 【思路点拨】 本题考查了立方根的性质，算术平方根的计算，根据立方根的性质“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”，解题意可得，由此可得的值，代入计算算术平方根即可． 【解题过程】 解：∵， ∴，即与互为相反数， ∴， 解得，， ∴， ∴的算术平方根是， 故答案为： ． 11．（23-24七年级上·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 【思路点拨】 先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【解题过程】 解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【思路点拨】 本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【解题过程】 解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 13．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了非负数的性质，先根据题意得到，再由非负数的性质 ，据此化简绝对值推出，则，求出b、c的值即可得到答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的倒数等于它本身，则的立方根为 ． 【思路点拨】 此题考查立方根，代数式求值；根据题意得，，，以整体的形式代入所求的代数式，进而求立方根即可求解． 【解题过程】 解：因为，互为相反数，所以. 因为，互为倒数，所以， 因为的倒数等于它本身，所以. ①当，，时，， 所以的立方根是0； ②当，，时，， 所以的立方根为. 综上所述，的立方根是0或. 故答案为：0或． 15．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 【思路点拨】 ①根据“和谐组合”的定义求解即可； ②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可； 本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 【解题过程】 解：①∵，，， ∴三个数是“和谐组合”， 故答案为：是； ②分三种情况：①当时， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ②当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ③当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得； 综上所述，的值为， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了利用平方根和求立方根解方程，解一元一次方程，熟知求立方根和求平方根的方法解方程是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可.． 【解题过程】 （1）解：， 或， 或． （2）解：， ， ， ， ． 17．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）（1）如果的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． （2）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是4，求的值． 【思路点拨】 此题考查了算术平方根、平方根、立方根等知识， （1）根据的算术平方根是2得到，求出，再根据的立方根是求出，即可求出的平方根； （2）根据的平方根为解得，根据的算术平方根为它本身，得到，则，根据的立方根是4得到，解得，即可求出的值． 【解题过程】 解：（1）∵的算术平方根是2， ∴， ∴， 即， 又∵的立方根是， ∴， 则 即， ∴， ∴的平方根为； （2）∵的平方根为， ∴，， 解得， ∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有0或1，且， ∴，即， ∴， 解得，， ∵的立方根是4， ∴，解得，， ∴，，， ∴． 18．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图1，某公园有一块面积为的长方形土地，已知该长方形土地的长与宽之比为，现要对这块土地上进行规划，现有两种方案： 方案一：如图2所示，在长方形土地上开辟横竖两条宽为的小路，其余部分为花圃； 方案二：在长方形土地上开辟一个面积为的圆形花圃，其余部分为活动场地． （1）求该长方形土地的周长是多少？ （2）请直接写出方案一中的花圃面积（即图2中阴影部分）是多少． （3）请通过计算说明方案二是否可行（取3）． 【思路点拨】 本题主要考查了平方根和算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和算术平方根的定义． （1）根据长方形的面积和长与宽之比为，求出长方形的长和宽，得出周长即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可； （3）先求出圆形花圃的半径，从而得出直径，然后再进行比较即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：设长方形的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：，负值舍去， ∴长方形的长为，宽为， 则长方形的周长为：． （2）解：方案一中的花圃面积为： ． （3）解：面积为的圆形花圃的半径为： ， 则圆形花圃的直径为， ∵， ∴方案二是不可行． 19．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … （1）表格中________，________． （2）①已知，则________； ②已知，，求的值． 【思路点拨】 本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【解题过程】 （1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； （2）当时， ；当时， ； （3）计算：． 【思路点拨】 本题考查算术平方根： （1）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （2）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （3）分别将算式中的算术平方根去掉，再运用有理数加法结合律计算即可． 【解题过程】 （1）解：由题意，得：，； 故答案为：； （2）解：由题意，得：时，，时，； 故答案为：； （3）解： ． 21．（23-24七年级下·河南濮阳·期中）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算， （2）用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， （3）计算： 【思路点拨】 （1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可； （2）根据原题的算式写出规律即可； （3）利用（2）中找到的规律化简每个算式，再进行加减运算即可． 【解题过程】 （1）解：，， 故答案为：6，27； （2）由题意得到或； （3） ． 22．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________； 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数． 【思路点拨】 本题考查新定义运算，涉及开方运算中的算术平方根，读懂题意，掌握新定义的根整数运算是解决问题的关键． 【阅读理解】由根整数的定义，结合及即可得到答案； 【解决问题】由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； 【扩展探究】①由根整数的定义，逐次求解即可得到答案；②由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 【解题过程】 解：∵，，， ，即， ，， 故答案为：4，6； 【解决问题】解： ， ， ，， ∴， 或或， 故答案为：1或2或3； 【扩展探究】解：①第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 23．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． （1）根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； （3）对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【思路点拨】 本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【解题过程】 （1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 24．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    （1）请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． （2）请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【思路点拨】 本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【解题过程】 （1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）解：根据（1）中计算，可猜想， 理由如下： ． 25．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． （2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【思路点拨】 本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 26．（23-24七年级下·北京·期中）研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）． （1）若正整数a使得，则a的值为 ； （2）已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”． ①若为“团结数组”，且，则 ； ②若为“团结数组”，且，则 ， ； ③“团结数组”共有 个． 【思路点拨】 本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键． （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）①由可得，即可解答；②，，（t，m为正整数，且），由已知条件可得，进行求解即可；③设，，（x，y，z为正整数而且），可得，根据分子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：168． （2）①∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：378． ②∵ ∴， 由① ∴ 设，，（t，m为正整数，且） ∴，即，则， ∵，而时，，则， ∴， ∴， 故答案为：1512，168． ③设，，（x，y，z为正整数而且）， ∵ ∴ ∴， 又∵， ∴， ， 当时，，此时，， 当时，，∴， 当时，同②，，，， 当时，，，，， 综上所述，“三元数组”共有3个． 故答案为：3． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 平方根与立方根 · 典例分析 【典例1】整数满足，其中，则的最大值是 ． 【思路点拨】 本题考查平方，立方根，代数式求值，先根据已知条件确定b和可能的值，进而确定，推出，再分情况讨论求出和c可能的值，最后求出比较大小即可． 【解题过程】 解：整数满足， 为整数， ， 或或或， 或或或， 当时，，不成立， 又 ， ， ， ， 当，，，不是整数，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，不合题意； 当，，，不是整数，不合题意； 当时，，，不是整数，不合题意； 当时，，，不是整数，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上可知，整数的值为2，8，2，或2，8，，或2，，8，或2，，， 当整数的值为2，8，2时，； 当整数的值为2，8，时，； 当整数的值为2，，8时，； 当整数的值为2，，时，； 综上可知，的最大值是1024． 故答案为：1024． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（    ） A．3 B．64 C．3或 D．64或 2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（　　） A． B．4 C． D．8 4．（2024七年级上·全国·专题练习）借助计算器可求得， ，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·辽宁锦州·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 7．（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 9．（23-24七年级下·四川广元·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 10．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知：，则的算术平方根为 ． 11．（23-24七年级上·浙江温州·期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 13．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 14．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的倒数等于它本身，则的立方根为 ． 15．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： （1）； （2）． 17．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）（1）如果的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． （2）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是4，求的值． 18．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图1，某公园有一块面积为的长方形土地，已知该长方形土地的长与宽之比为，现要对这块土地上进行规划，现有两种方案： 方案一：如图2所示，在长方形土地上开辟横竖两条宽为的小路，其余部分为花圃； 方案二：在长方形土地上开辟一个面积为的圆形花圃，其余部分为活动场地． （1）求该长方形土地的周长是多少？ （2）请直接写出方案一中的花圃面积（即图2中阴影部分）是多少． （3）请通过计算说明方案二是否可行（取3）． 19．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … （1）表格中________，________． （2）①已知，则________； ②已知，，求的值． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； （2）当时， ；当时， ； （3）计算：． 21．（23-24七年级下·河南濮阳·期中）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算， （2）用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， （3）计算： 22．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：________，________； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值________； 【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数． 23．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． （1）根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； （3）对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 24．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    （1）请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． （2）请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 25．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． （2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 26．（23-24七年级下·北京·期中）研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）． （1）若正整数a使得，则a的值为 ； （2）已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”． ①若为“团结数组”，且，则 ； ②若为“团结数组”，且，则 ， ； ③“团结数组”共有 个． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$