专题8.6 整式乘法（全章常考知识点分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题8.6 整式乘法（全章常考知识点分类专题） 【考点目录】 第一部分 基础夯实篇 【知识点一】单项式乘单项式 【考点1】计算单项式乘以单项式.................................................................................................................2 【考点2】利用单项式乘以单项式求字母的值或求代数式的值....................................................................3 【知识点二】单项式乘多项式 【考点3】计算单项式乘多项式....................................................................................................................4 【考点4】单项式乘多项式化简求值............................................................................................................6 【考点5】单项式乘多项式的应用................................................................................................................7 【知识点三】多项式乘多项式 【考点6】计算多项式乘多项式....................................................................................................................9 【考点7】计算多项式乘多项式化简求值...................................................................................................10 【考点8】多项式乘多项式不含某项问题...................................................................................................12 【考点9】多项式乘多项式几何面积问题...................................................................................................13 【考点10】多项式乘多项式规律探究.........................................................................................................15 【知识点四】乘法公式 【考点11】乘法公式的理解........................................................................................................................18 【考点12】运用乘法公式进行运算.............................................................................................................19 【考点13】运用乘法公式进行有理数简便运算..........................................................................................20 【考点14】运算乘法公式进行化简求值.....................................................................................................22 【考点15】运算乘法公式求字母参数.........................................................................................................24 【考点16】乘法公式与几何面积................................................................................................................25 第二部分 综合压轴篇 【考点17】幂的运算与整式乘法运算压轴题..............................................................................................27 【考点18】乘法公式与几何面积压轴题.....................................................................................................30 【考点19】整式乘法规律探究压轴题.........................................................................................................38 【题型展示与解析】 第一部分 基础夯实篇 【知识点一】单项式乘单项式 【考点1】计算单项式乘以单项式 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣2m8n7 ；（2） 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则进行计算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则，先算乘方，再算乘法． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式＝ ＝ ＝． 2．（24-25八年级上·河南开封·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式的运算法则；根据单项式乘单项式的运算法则逐项判断即可． 解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．单项式乘单项式，就是把系数和相同字母分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式，由此计算即可． 解：， 故答案为：． 【考点2】利用单项式乘以单项式求字母的值或求代数式的值 1．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． （1）求的值， （2）先化简，再求值：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解：（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 2．（22-23八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 【答案】18 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点拨】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 3．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【知识点二】单项式乘多项式 【考点3】计算单项式乘多项式 7．（22-23八年级上·河南开封·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相交；即可得出结论； （2）有乘方先算乘方，再根据单项式与多项式相乘的法则即可求解． 解：（1） （2） ． 【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握解题的方法是解题的关键． 1．（22-23七年级下·江西赣州·阶段练习）下列各题计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以多项式、单项式乘以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可． 解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【点拨】此题考查单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，B是一个多项式，在计算时，小马同学把看成了，结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘以多项式的运算，多项式除以单项式的含义，整式的加减运算，由除法的意义列式，求解B后，再进一步计算即可． 解：根据题意得， ∴． 故答案为： 【考点4】单项式乘多项式化简求值 8．（21-22八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值 ，已知，． 【答案】，37． 【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，最后把，代入中即可得． 解：原式= =， 把，代入得：=． 【点拨】本题考查了整式的混合运算——化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算法则． 2．（21-22八年级上·全国·课后作业）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用整式乘法将原式化简，解一元一次方程即可． 解： ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了整式的混合运算以及解一元一次方程，根据整式的混合运算法则将原式整理为一元一次方程是解题的关键． 5．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）若有理数满足，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可． 解：由得：， 所以： ． 故答案为：2028． 【点拨】本题考查的是代数式的求值，利用整体代入进行降次是解题的关键． 【考点5】单项式乘多项式的应用 9．（24-25八年级上·全国·期末）五千年文明，一座杭州城，溯源则见“良渚”．良渚便是这五千年文明的源头之一．如图是位于浙江省杭州市的良渚博物院的平面简化示意图，若良渚博物院的二分之一作为展厅，三分之一作为庭院，剩下的作为办公区域． （1）良渚博物院的面积是多少平方米？（用含a，b的式子表示） （2）若庭院地面的装修单价为每平方米m元，展厅和办公区域地面的装修单价为每平方米元，则良渚博物院地面装修费用为多少元？ 【答案】（1）平方米；（2）元 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用长方形的面积公式列式求解即可； （2）根据总费用=庭院地面的装修费用+展厅和办公区域地面的装修费用，即可求出结论． 解：（1）解： ． 答：良渚博物院的面积是平方米． （2）解： ． 答：良渚博物院地面装修费用为元． 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点在边上．四边形也为正方形，设的面积为，则（    ） A． B． C． D．与长度有关 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算，阴影部分面积正方形面积正方形面积三角形面积三角形面积三角形面积， 据此求解即可 ． 解： 设正方形的边长为， 根据题意得： 故选：B． 6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以单项式，根据题意可知，阴影部分面积可以分为四个长方形面积，根据长方形面积公式分别表示出四个长方形的面积，再求和即可得到答案． 解： ， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【知识点三】多项式乘多项式 【考点6】计算多项式乘多项式 11．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果． 解：（1）解： ； （2）解： ． 1．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义新运算，如，那么化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算，去括号法则和合并同类项，解题的关键是读懂题意，掌握去括号法则和合并同类项． 解： ． 故选：D． 6．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据即可求解 解：∵， ∴， 故答案为： 【考点7】计算多项式乘多项式化简求值 12．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据，求出，，最后将，的值代入化简后的式子即可求解． 解： ， ∵， ∴，， ∴原式 ． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，利用多项式乘以多项式的法则，进行计算后，整体代入法求值即可． 解：∵， ∴； 故选C． 7．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 解：根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 【考点8】多项式乘多项式不含某项问题 13．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若的积中不含项和项．求： （1）p、q的值； （2）代数式的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p、q的值． （1）利用条件中积不含项和项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）先化简，再利用第（1）问中的结果，代入求值． 解：（1）解：原式， ， ∵的积中不含项和项， ∴，， ∴，； （2）， ， ， ， ∵，， ∴原式 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知、是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式混合运算，理解不含的二次项的含义，掌握整式混合运算法则是解题的关键．根据题意，运用整式的混合运算展开，由不含的二次项可得，该项的系数为零，再代入计算即可． 解： ， ∵不含的二次项， ∴， ∵， 故选：B ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若的计算结果中项的系数为2，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中项的系数为2，确定出a的值即可． 解： ， 由结果中项的系数为2，得到， 解得：． 故答案为：1． 【考点9】多项式乘多项式几何面积问题 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明设计了两张卡片，第一张的宽是，长比宽多，第二张的宽是第一张的长，且第二张的长比第二张的宽多． （1）求第二张卡片的长与宽； （2）求第二张卡片的面积． 【答案】（1）第二张卡片的长是，宽是；（2）第二张卡片的面积是 【分析】本题考查了整式的加减和多项式乘多项式，熟练掌握多项式的法则是解题的关键； （1）根据整式的加减法则，列式即可； （2）根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则计算即可解答． 解：（1）解：∵第一张的宽是，长比宽多， ∴第一张的长为， ∵第二张的宽是第一张的长，且第二张的长比第二张的宽多， ∴第二张的宽是，第二张的长是，即； （2）解：第二张卡片的面积是． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（   ） A．纸盒的容积等于 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 【答案】C 【分析】本题考查了正方体，长方体的体积及表面积；由图得长方体的长为，宽为，高为，逐一进行求解，即可求解；会求长方体的体积及表面积是解题的关键． 解：A.纸盒的容积等于，结论正确，不符合题意； B.纸盒的表面积为，结论正确，不符合题意； C.纸盒的底面积为，结论错误，符合题意； D. 若制成的纸盒是正方体，，，结论正确，不符合题意； 故选：C． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长、宽的长方形，又精心在四周加上了宽的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘多项式等知识点，根据图形正确列出代数式是解题的关键． 由题意可知，小阳同学这幅作品的长为，宽为，然后根据“面积长宽”即可得出答案． 解：由题意可知：小阳同学这幅作品的长为，宽为， 小阳同学的这幅作品的面积是：， 故答案为：． 【考点10】多项式乘多项式规律探究 15．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． （1）从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； （2）运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； （3）若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】（1），，，，；（2）①；②；（3）19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 解：（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）杨辉三角是我国古代数学的伟大成就．如图，这个由数字排列成的三角形就称为杨辉三角，其每一横行都表示（为非负整数）的展开式中各项的系数． ， ， ， ， … 那么展开式中第四项的系数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． 解：观察杨辉三角中数据可知，每一行的首尾数字均为1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．依次类推，则： 第5行的数为1，4，6，4，1； 第6行的数为1，5，10，10，5，1； 第7行的数为1，6，15，20，15，6，1， 所以展开式中第四项的系数为20． 故选：D． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法的规律探索，熟练利用题中等式得出规律是解题的关键．利用规律得出，求出，再代入求解即可． 解：根据规律可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点四】乘法公式 【考点11】乘法公式的理解 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 先根据整式的乘法法则或公式计算，再根据完全平方公式的特征判断即可． 解：因为没有运用完全平方公式，所以A不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以B不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以C不符合题意； 因为运用完全平方公式，所以D符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）是一个平方差的形式，则“”里可以填（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 解：是一个平方差的形式， ， “”里可以填， 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列计算中，错误的有（   ） ①；     ②； ③；         ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键． 根据平方差和完全平方公式逐项分析计算是否正确即可解答． 解：，故①计算错误； ，故②计算错误； ，故③计算错误； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确． 综上，错误的共有4个， 故选：D． 【考点12】运用乘法公式进行运算 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 解：（1）解： ． ； （2）解： ． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据乘法公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 解： ， 当时，原式． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法－乘法公式．利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解． 解： ． 【考点13】运用乘法公式进行有理数简便运算 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）利用乘法公式简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式解答即可； （2）根据平方差公式解答即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 7．（24-25七年级上·上海宝山·期中）用简便的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．原式变形后用平方差公式计算即可． 解： 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）90000；（2）10000 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记公式的形式是解题关键． （1）将原式写成，利用完全平方公式即可求解； （2）将原式写成，利用平方差公式即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【考点14】运算乘法公式进行化简求值 4．（22-23七年级下·甘肃张掖·期末）已知，，则 【答案】2 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式求解即可． 解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 故答案为：2． 4．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）已知等式可以有不同的变形：可以变形为，，等等，请适当变形求值． （1）代数式的值为 ． （2）的值为 ． 【答案】 12 -4 【分析】（1）根据得到，再利用完全平方公式变形计算； （2）先将代入变形，再将代入计算． 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2） = = = = = =-4 【点拨】本题主要考查高次幂用低次幂转化的思想，代数式求值，以及完全平方公式的运用，灵活变形是解题的关键． 5．（21-22八年级上·吉林四平·期末）利用乘法公式解决下列问题： （1）若，，则 ； （2）已知，若满足，求值． 【答案】（1）144；（2）255 【分析】（1）根据完全平方公式的变形即可求解； （2）设，，由完全平方公式的变形即可求解． 解：（1）由进行变形得，， ∴=64+80=144； 故答案为：144； （2）设，， 由进行变形得， ， ∴ ． 【点拨】此题主要考查乘法公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 【考点15】运算乘法公式求字母参数 5．（24-25八年级上·江西赣州·期末）若多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】8或/或8 【分析】本题考查完全平方式，根据所给多项式可得两平方项分别为、，则一次项为，据此可得答案． 解：多项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：8或． 6．（24-25八年级上·广西柳州·开学考试）若式子是完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，先根据完全平方公式的乘积二倍项，再根据两平方项确定出这两个数即可确定的值． 解：是完全平方式， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如果关于x的多项式是完全平方式，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案． 解：∵ ∴ 解得或． 故答案为：或． 【考点16】乘法公式与几何面积 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差与几何图形面积的计算，理解图示面积的计算方法是解题的关键． 边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，则面积为，拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为，其面积为，两部分面积相等，由此即可求解． 解：根据题意，如图①中阴影部分的面积为， 拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， ∴， 故选：B ． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，用正方形卡片A类4张、B类9张和长方形卡片C类m张拼成一个大正方形，且这个大正方形的边长为，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的面积之间的关系．先根据正方形的面积公式，利用完全平方公式计算，即可得到答案． 解：由题意得：这个正方形的面积， ∴需要长方形卡片C类12张． ∴m的值为12． 故选：D． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ． 【答案】35 【分析】本题考查完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为，由图1、图2阴影部分的面积为5和30可得，，由完全平方公式得出的值即可． 解：设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为， 图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2中大正方形的边长为，因此面积为，阴影部分的面积为， 图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30， ，， ， ， 即两个正方形的面积和为35， 故答案为：35． 第二部分 综合压轴篇 【考点17】幂的运算与整式乘法运算压轴题 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，． （1）化简和； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据平方差公式，去括号，合并同类项，再化简即可，根据通分，分式的除法，完全平方公式、提公因式再化简即可． （2）由（1），可化为，化简得，由于，代入上式即可求得的值． 解：（1）化简： ． 化简： ． 故化简可得， ． （2）由（1），可化为， 化简可得， 又∵， 故， 即的值为． 【点拨】本题考查了整式的混合运算，平方差公式、完全平方公式、提公因式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数满足等式和，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、完全平方公式和其性质等知识，对已知条件进行恰当的变形，结合完全平方公式的非负性即可得出答案，熟练运用整式和完全平方公式的化简是解题的关键． 解： ． 3．（2024八年级·全国·竞赛）已知：a、b、c为互不相等的数，且满足，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用；根据完全平方公式计算，将，代入，即可求解． 解：证明：∵， ∴ ∴，即：． 4．（23-24八年级上·广东广州·期末）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M； 条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M； 我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 是的下确界． 又例如： ， 由于，所以，（不满足条件②） 故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）求的下确界． （2）若代数式的下确界是1，求m的值． （3）求代数式的下确界． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型、运算， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）将x看作常数进行配方，可将变型为，问题随之得解． 解：（1）， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 是的下确界． （2）∵代数式的下确界是1， ∴设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3） ， ，， （满足条件①） 当，，即，时，（满足条件②） 是的下确界． 【考点18】乘法公式与几何面积压轴题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，且．若图①中阴影部分的面积为3，图②中四边形的面积为5，求图②中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形的面积、正方形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可得、两式相加得．再根据图①可得，进而得到，最后根据图②中四边形的面积为5列式计算即可． 解：∵， ∴， ∴，， 两式相加得． ∵图①中阴影部分的面积为3， ∴． ∵， ∴． ∵图②中四边形的面积为5， ∴图②中阴影部分的面积为． 2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： （1）若x满足，求的值． （2）已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 解：（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______； （2）观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：_______ （3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为______； ②已知：，求的值； （4）两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1）；；（2）；（3）①25；②25；（4）8 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）方法一：直接求小正方形面积即可；方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算即可； （2）根据大正方形的面积减4个长方形的面积等于阴影部分的面积解答即可； （3）①根据（2）所求关系解答即可；②将（2）所求关系变形为，再求解即可； （4）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 解：（1）解：方法一：直接计算阴影部分的面积为； 方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算为； （2）解：由图2可知； （3）解：①由（2）可知； ②∵， ∴． ∵， ∴ ； （4）解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，图形见分析 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得正方形面积为，由拼成了一个正方形可得是一个完全平方式，即可得，据此即可求解； 情境三：能构成长方形，则能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解； 本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，掌握因式分解的应用是解题的关键． 解：情境一： 如图，设等腰梯形的高为， ∴， ∴， ∴图的面积为， 图的面积为， ∵， ∴， ∴可以得到的乘法公式为：； 情境二： 拼成的正方形面积为， ∵拼成的是一个正方形， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三： 赞同丁同学的说法． 理由：∵不能进行因式分解，即转化不了长乘以宽， ∴三种木片不能拼出一个面积为的长方形， 去掉一块以后，面积为， ∴该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图所示： 9．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． （2）观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； （3）根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）；；． 【分析】（）方法可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法可根据各个部分面积相加之和求出； （）由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和即可求解； （）根据题（）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 解：（1）解：方法：大正方形的边长为， ∴； 方法：大正方形面积各个部分面积之和， ∴； 故答案为：；； （2）解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 令， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 【考点19】整式乘法规律探究压轴题 1．（23-24八年级上·河南信阳·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应展开式中的系数． （1）根据上面的规律，写出的展开式； （2）利用上面的规律计算：； （3）的展开式的系数和为 ； （4）运用：若今天是星期三，经过天后是星期 ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）四． 【分析】（）根据规律即可求解； （）根据规律即可求解； （）由展开式找到系数和的规律，即可求解； （）根据规律展开后看最后一项即可求解； 本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键． 解：（1）解：由规律可得，； （2）解：由规律可得， ； （3）解：由展开式可得， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， ， ∴的展开式的系数和为， 故答案为：； （4）解：， ∵， ∴的余数为， ∴若今天是星期三，经过天后是星期四， 故答案为：四． 2．（23-24七年级下·重庆·期中）我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： （1）多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； （2）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 【答案】（1）8，7，128；（2）①357；②；③4051 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项为，即可求解； ③根据进行计算即可求解． 解：（1）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128； 故答案为：8，7，128． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴ ②由题意得：、、 ∴ ∴ ③ 3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为______； （2）利用上面的规律计算：； （3）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】（1）6；（2）32；（3）四 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）根据展开式，令，时，代入展开式即可得到所求代数式的值； （3）将变形为，展开后前21项和是7的倍数，所以除以7的余数为6，即可求解． 解：（1）解：根据表中数据得， 故答案为：． （2）解： ∴当，时，， ． （3）解：∵ （、、、、是一列常数）， ∴，刚好是的整数倍， ∴除以结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四． 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： （1）补充完整的展开式，　　　． （2）的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； （3）利用上面的规律计算：． （4）今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 【答案】（1）；（2）8，；（3）；（4）如果今天是星期五，过了天后是星期六． 【分析】此题主要了考查了杨辉三角的规律探索以及应用能力，关键是能根据完全平方式准确理解并运用杨辉三角． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案． （4）根据，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 解：（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    ， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… ∴共项，所有项系数的和为， ∴共8项，所有项系数的和为， 故答案为：8，； （3）解：由题意可知 ， ∴可取，， 即原式； （4）解：今天是星期五，过了天后是星期六， ∵（a，b，c，d，e，为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期五，过了天后是星期六． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.6 整式乘法（全章常考知识点分类专题） 【考点目录】 第一部分 基础夯实篇 【知识点一】单项式乘单项式 【考点1】计算单项式乘以单项式..............................................................................................................2 【考点2】利用单项式乘以单项式求字母的值或求代数式的值.................................................................2 【知识点二】单项式乘多项式 【考点3】计算单项式乘多项式..................................................................................................................2 【考点4】单项式乘多项式化简求值..........................................................................................................3 【考点5】单项式乘多项式的应用..............................................................................................................3 【知识点三】多项式乘多项式 【考点6】计算多项式乘多项式..................................................................................................................4 【考点7】计算多项式乘多项式化简求值...................................................................................................4 【考点8】多项式乘多项式不含某项问题...................................................................................................4 【考点9】多项式乘多项式几何面积问题...................................................................................................5 【考点10】多项式乘多项式规律探究.........................................................................................................6 【知识点四】乘法公式 【考点11】乘法公式的理解........................................................................................................................7 【考点12】运用乘法公式进行运算.............................................................................................................7 【考点13】运用乘法公式进行有理数简便运算..........................................................................................7 【考点14】运算乘法公式进行化简求值.....................................................................................................8 【考点15】运算乘法公式求字母参数.........................................................................................................8 【考点16】乘法公式与几何面积.................................................................................................................8 第二部分 综合压轴篇 【考点17】幂的运算与整式乘法运算压轴题..............................................................................................9 【考点18】乘法公式与几何面积压轴题....................................................................................................10 【考点19】整式乘法规律探究压轴题........................................................................................................12 【题型展示与解析】 第一部分 基础夯实篇 【知识点一】单项式乘单项式 【考点1】计算单项式乘以单项式 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 2．（24-25八年级上·河南开封·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 【考点2】利用单项式乘以单项式求字母的值或求代数式的值 1．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． （1）求的值， （2）先化简，再求值：． 2．（22-23八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【知识点二】单项式乘多项式 【考点3】计算单项式乘多项式 7．（22-23八年级上·河南开封·期中）计算： （1） （2） 1．（22-23七年级下·江西赣州·阶段练习）下列各题计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，B是一个多项式，在计算时，小马同学把看成了，结果得，则 ． 【考点4】单项式乘多项式化简求值 8．（21-22八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值 ，已知，． 2．（21-22八年级上·全国·课后作业）方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）若有理数满足，则的值为 ． 【考点5】单项式乘多项式的应用 9．（24-25八年级上·全国·期末）五千年文明，一座杭州城，溯源则见“良渚”．良渚便是这五千年文明的源头之一．如图是位于浙江省杭州市的良渚博物院的平面简化示意图，若良渚博物院的二分之一作为展厅，三分之一作为庭院，剩下的作为办公区域． （1）良渚博物院的面积是多少平方米？（用含a，b的式子表示） （2）若庭院地面的装修单价为每平方米m元，展厅和办公区域地面的装修单价为每平方米元，则良渚博物院地面装修费用为多少元？ 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点在边上．四边形也为正方形，设的面积为，则（    ） A． B． C． D．与长度有关 6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，阴影部分的面积为 ． 【知识点三】多项式乘多项式 【考点6】计算多项式乘多项式 11．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 （1）； （2）． 1．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义新运算，如，那么化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如果，则的值为 ． 【考点7】计算多项式乘多项式化简求值 12．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，化简的结果是（      ） A．4 B． C． D．8 7．（24-25八年级上·四川巴中·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【考点8】多项式乘多项式不含某项问题 13．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若的积中不含项和项．求： （1）p、q的值； （2）代数式的值． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知、是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若的计算结果中项的系数为2，则a的值为 ． 【考点9】多项式乘多项式几何面积问题 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明设计了两张卡片，第一张的宽是，长比宽多，第二张的宽是第一张的长，且第二张的长比第二张的宽多． （1）求第二张卡片的长与宽； （2）求第二张卡片的面积． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（   ） A．纸盒的容积等于 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长、宽的长方形，又精心在四周加上了宽的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是 ． 【考点10】多项式乘多项式规律探究 15．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． （1）从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； （2）运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； （3）若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）杨辉三角是我国古代数学的伟大成就．如图，这个由数字排列成的三角形就称为杨辉三角，其每一横行都表示（为非负整数）的展开式中各项的系数． ， ， ， ， … 那么展开式中第四项的系数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．20 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 【知识点四】乘法公式 【考点11】乘法公式的理解 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）是一个平方差的形式，则“”里可以填（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列计算中，错误的有（   ） ①；     ②； ③；         ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点12】运用乘法公式进行运算 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中． 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 【考点13】运用乘法公式进行有理数简便运算 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）利用乘法公式简便计算： （1）； （2）． 7．（24-25七年级上·上海宝山·期中）用简便的方法计算：． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： （1）； （2）． 【考点14】运算乘法公式进行化简求值 4．（22-23七年级下·甘肃张掖·期末）已知，，则 4．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）已知等式可以有不同的变形：可以变形为，，等等，请适当变形求值． （1）代数式的值为 ． （2）的值为 ． 5．（21-22八年级上·吉林四平·期末）利用乘法公式解决下列问题： （1）若，，则 ； （2）已知，若满足，求值． 【考点15】运算乘法公式求字母参数 5．（24-25八年级上·江西赣州·期末）若多项式是完全平方式，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·广西柳州·开学考试）若式子是完全平方式，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如果关于x的多项式是完全平方式，那么 ． 【考点16】乘法公式与几何面积 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，用正方形卡片A类4张、B类9张和长方形卡片C类m张拼成一个大正方形，且这个大正方形的边长为，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ． 第二部分 综合压轴篇 【考点17】幂的运算与整式乘法运算压轴题 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，． （1）化简和； （2）若，求的值． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数满足等式和，求的值． 3．（2024八年级·全国·竞赛）已知：a、b、c为互不相等的数，且满足，求证：． 4．（23-24八年级上·广东广州·期末）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M； 条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M； 我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 是的下确界． 又例如： ， 由于，所以，（不满足条件②） 故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）求的下确界． （2）若代数式的下确界是1，求m的值． （3）求代数式的下确界． 【考点18】乘法公式与几何面积压轴题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，且．若图①中阴影部分的面积为3，图②中四边形的面积为5，求图②中阴影部分的面积． 2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： （1）若x满足，求的值． （2）已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______； （2）观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：_______ （3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为______； ②已知：，求的值； （4）两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 9．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． （2）观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； （3）根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【考点19】整式乘法规律探究压轴题 1．（23-24八年级上·河南信阳·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应展开式中的系数． （1）根据上面的规律，写出的展开式； （2）利用上面的规律计算：； （3）的展开式的系数和为 ； （4）运用：若今天是星期三，经过天后是星期 ． 2．（23-24七年级下·重庆·期中）我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： （1）多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； （2）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）图中括号内的数为______； （2）利用上面的规律计算：； （3）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： （1）补充完整的展开式，　　　． （2）的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； （3）利用上面的规律计算：． （4）今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$